二次函数中分类讨论思想

1、1 1 / / 1010二次函数中的分类讨论思想、例题分析归类:(一)、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：(1 1)轴定，区间定；(2 2)轴定，区间变；(3 3)轴变，区间定；(4 4)轴变，区间变。1.1.轴定区间定例 1.1.( 20082008 年陕西卷)2222.本小题满分 1414 分)设函数f (x) = x3- ax2-a2x 1, g(x) =ax2-2x1,其中实数a = 0.(i)若a .0,求函数f (x)的单调区间；(n)当函数y = f(x)与y =g(x)的图象

2、只有一个公共点且g(x)存在最小值时，记g(x)的最小值为h(a)，求h(a)的值域；(川)若f (x)与g(x)在区间(a,a 2)内均为增函数，求a的取值范围.2.2.轴定区间动例 2.2.(全国卷)设 a a 为实数，函数f(x) =x2 |x-a|1,aR,求 f(x)f(x)的最小值。2 2 / / 10103.3.轴动区间定2评注：已知f(x)二ax bx c(- 0)，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得 上的最大值或最小值。例 3 3.求函数y = _x(x -a)在x -1 , 1上的最大值。4.4.轴变区间变例 4.4.已知y2=4a(x -a)(a 0),，求u

3、 = (x -3)2 y2的最小值。(二)、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值。例 5.5.已知函数f (x)二ax2- 2ax 1在区间-3,2上的最大值为 4 4，求实数 a a 的值。f (x)在m,n3 3 / / 10102x例 6.6.已知函数f(x)x在区间m, n上的值域是3m,3n，求 m m，n n 的值。练习:1 1、( 20082008 江西卷 2121).14132 24已知函数f (x) x ax -a x a (a 0)43(1)求函数y = f (x)的单调区间;4 4 / / 1010(2(2)若函数 y y二f (x)的图像与直线

4、y=1恰有两个交点，求a的取值范围.5 5 / / 10102 2、已知二次函数f(x) =ax2(21)x 1在区间- -号上号上上的最大值为 3 3，求实数 a a 的值。3 3、( 20082008 山东卷 2121.)(本小题满分 1212 分)设函数f(x) =x2exJax3bx2，已知x = -2和x = 1为f (x)的极值点.(i)求a和b的值；(n)讨论f (x)的单调性；232g (x)X3- X2，试比较3(川)设f (x)与g(x)的大小.6 6 / / 1010二次函数中的分类讨论思想例题答案:例 1.1.解：(I)f (x) =3x22ax -a2=3(x -?)

5、(x a)，又a 0,3卜a当或x3时，af (x)0；当-a：x： 时，f (x)叮0,a a.f (x)在(-：,-a)和(一：)内是增函数，在(-a, )内是减函数.333 2 2 2(n)由题意知x ax-a x T = ax -2x7,即x x_(a - 2) = 0恰有一根(含重根).a - 2w0，即-2wa匕、2, 又a =0, .a -.2,0)U(0,、.当a 0时，g (x)才存在最小值，.a(0,一2. 丁g (x) = a(x -1)2 a -1,aa1_2h(a) =a-一,a (0,、.2. h(a)的值域为(-：，1-.a2a1_(川)当a - 0时，f (x)

6、在(-：,-a)和(_,：)内是增函数,g(x)在(_,：)内是增函数.3a由题意得，解得a1；31 -a当a：0时,_ af（x）在（-二，3）和（a,让匕：）内是增函数，g（x）在（：，h内是增函数.aa cO由题意得a2 3，解得aw-3；31a+2CI. a综上可知，实数a的取值范围为（：，-3U1,=）.13例 2.2. (1 1)当x _a时，f (x) =(x)2a241131若a，则f(x)min= f(-a；224122若-，则f(xf(aa1123(2 2)当x a时，f (x) = (x ) a47 7 / / 1010121若a:2，则f (x)min= f (a) =

7、 a1; ;；1132若a，则f (x)min= f ( ) a22413111综上所述，当a时，f (x)mina;当a时，f (x)min= a 1;当a时，f(X)mina。42例 3.3.解析：函数y = _(x - *)2a图象的对称轴方程为x = ,应分-1乞？辽1,卫”1 , - 124 2 2 2 2即-2乞a乞2，a：-2和a . 2这三种情形讨论，下列三图分别为(1 1)a：-2;由图可知f (x)max= f(-1)aD(2)- 2岂a岂2；由图可知f(xf(|)28 8 / / 1010(2)若a 0,则f(x)max二f(2) =8a 19 9 / / 1010,+3

8、由8a 1 = 4，得a =8(3 3)若a：0时，则f (x)max= f(-1)=1 a由1 -a =4，得a = -33综上知a或a- -38练习答案：1、解：(1)因为f (x) =x3ax2-2a2x =x(x 2a)(x -a)令f (x)= 0得为=-2a, x2= 0,x3二a由a 0时，f (x)在f(x)=0根的左右的符号如下表所示x(-, -2a)-2a(-2a,0)0(0,a)a佝址)f (x)0+00+f(x)极小值0极大值D极小值0所以f(x)的递增区间为(-2a,0)与(a, ：)f(x)的递减区间为(-:：，-2a)与(0,a)-H-例 6 6. .解析 1 1

9、 :讨论对称轴若中 1 1 与m,m n,n的位置关系。2=f(n) = 3nf&九二f (m) =3mf(X)max解得0若若m +nm岂1：，则心也=f心,无解f (x)min= f (m) =3mf(x)max= f=3n，无解f(x)min二f(n) =3mf (x)max =f (x)min -综上，m = -4, n = 0丄122 2 :由f(x) (x -1)-f(X)max = f(n) =3nf(x)min= f (m) =3mm- -4, n =0若解析所以Si,Si,无解f(n) =3m1，知3n -, nJ,，则m, n - (-：，1，f(x)f(x)在m,

10、n上递增。解得评注：解法 2 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了 类讨论，解题过程简洁、明了。m m , n n 的取值范围，避开了繁难的分1010 / / 10105(2)由(得到f(x)极小值二f(-2a)3a4，f(x)极大值-f() =a要使f (x)的图像与直线y =1恰有两个交点，只要_5a4:：: a4或a4或兰a w1. .2 2、分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a 与a：0两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到f(x)的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验 其真假，过程简明。2a 11解：(1 1

11、 )令f () =3，得a -2a231此时抛物线开口向下，对称轴为- ：，且-2一,2故a不合题意；2211(2)令f (2) =3，得a，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故a符合题意;2222(3)若f ( ) =3，得a，经检验，符合题意。3312综上，a a 或 a a = = - - 一23评注：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点(闭区间的端点、抛物线的顶点)的函数值，再 检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法。3、21.解：(1)因为f (x)二ex(2x x2) 3ax22bx =xex(x 2) x(3ax 2b)，又

12、x = 2和x=1为f (x)的极值点，所以 (_2) =(1) = 0，I6a 2b = 0,1因此解方程组得a =-丄，b=1.l3+3a+2b=0,31(n)因为a，b - -1，所以f (x)二x(x 2)(ex -1)，令f (x)=0，解得x-2，x2=0，x3.因为当x(-二，-2)(0,1)时，f (x) : 0;当x (2,0)U(1,J时，f (x) 0.所以f(x)在(-2,0)和(1, 二)上是单调递增的；在(-：，-2)和(0，)上是单调递减的.(川)由(I)可知f (x) = x2ex4x3-x2,3故f (x) - g(x) = x2ex，-x3= x2(ex，-x)，