九年级数学相似三角形的判定知识点+例题

1、相似三角形的判定【学习目标】1、 了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理 能力【要点梳理】要点一、相似三角形在和二中，如果.；二一，45BC CA一一.一 ，我们就说 与厶相似，记作就是它们的相似比,，“s”读作“相似于”.要点诠释：（1）书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即则说明点 A 的对应点是 A,点 B 的对应点是 B,点 C 的对应点是 C;（2）对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个

2、三角形的相似比当相似比为 1 时，两个三角形全等要点二、相似三角形的判定定理1 判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似2 判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似3判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么 这两个三角形相似要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的4 判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么 这两个三角形相似要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需

3、找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似要点三、相似三角形的常见图形及其变换：【典型例题】类型一、相似三角形类型二、相似三角形的判定C2.如图所示，已知HABCD中，E 为 AB 延长线上的一点， AB=3BE DE 与 BC 相交于 F,请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比平行型垂亶蚩平穆1.下列能够相似的一组三角形为().A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形举一反三:F 列图形中，必是相似形的是（A.都有一个角是 40的两个等腰三角形)B.都有一个角为 50

4、的两个等腰梯形C.都有一个角是 30的两个菱形D 邻边之比为 2: 3 的两个平行四边形3.梯形ABCDK AB/ CD AB=2CDE、F分别为AB BC的中点，EF与BD交于M(1)求证：EDM FBMDB=9，求MB的长.已知：如图，ABC中,AB= AC(2 )若辭交田AD上一点，过C作CF/ AB延长BP交AC于E交CF于F.求证：BP=PE- PF.举一反三：1、如图，AD。丘是厶 ABC 的高，AD 和 CE 相交于点 F,求证：AF- FD=CF- FE.2、如图，F 是厶 ABC 的 AC 边上一点，D 为 CB 延长线一点，且 AF=BD 连接 DF,交 AB 于 E. 求

5、证：匹二些3、已知：如图正方形 ABCD 中, P 是 BC 上的点，且 BP=3PC Q 是 CD 的中点.4求证： AD3AQCP4、如图，弦丄和弦丄相交于.一；内一点，求证：（阴影部分） 与LABC相似的是哪一个?1F5、如图，正方形ABCD和等腰RtJTF,其中V；，G是CD与EF的交点.【巩固练习一】一、选择题1.下列判断中正确的是（）.A.全等三角形不一定是相似三角形C.不相似的三角形一定不全等不全等的三角形一定不是相似三角形相似三角形一定不是全等三角形门）求证：j. 若八，2.已知 ABC 的三边长分别为 A B C的两边长分别是 1 和，如果厶 ABC 与ABCB.相似，那么A

6、B C的第三边长应该是（） .忑C爲-C. -2 23.如图，在大小为 4X4D.).的正方形网格中，是相似三角形的是4.在厶 ABC DEF 中, /B=50, DE=6cm 相似的条件（）.A.只有B.只有/A=35, / B=100 , / D=35 ,DF=10cm / D=50 ;其中能使厶 ABC 与以 D E、F 为顶点的三角形/ F=45; AB=3cm BC=5cmC.和分别都是D.和都不是B.D.5.在矩形ABCDh E、F分别是CD BC上的点，若/AEF=90，则一定有（）.A. ADEAAEFB.ECF AEFCADEAECFD.AEFs AABF6.如图所示在平行四

7、边形 ABCD 中, EF/ AB DE EA=2 3, EF=4,贝 U CD 的长为（）.二、填空题7.如图所示，D E 两点分别在 AB AC 上，且 DE 和 BC 不平行，请你填上一个你 认为合适的条件使厶 ADSAACB.DE=8 AB=5,贝 U AC=_9.如图所示，在直角坐标系中有两点 A（4，0），B（0，2），如果点 C 在 x 轴上（C 与 A 不重合），当点 C 的坐标为 _ 或_ 时，使得由点 B、O C 组成的三角形与厶 AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）.1iY010.如图，已知 AB 丄 BD, ED 丄 BD, C 是线段 BD 的中点，且 AC

8、丄 CE ED=1，BD=4,那么A.165B.8C.10D.168 如图所示，/ C=ZE=90, AD=10,aD11._ 如图，CD/ AB, AC BD 相交于点 O,点 E、F 分别在 AC BD 上，且 EF/AB,则图中与厶 OEF 相似的三角形为 .12._如图，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 延长线上一点，连接 AE 交CD 于点 F,则图中 相似三角形共有对.AE13.如图，在ABC中,DE/ BC AD=3,AE=2,BD=4，求一的值及AC EC的长度.ACAD DB14.如图在梯形ABCDK AD/ BC/A= 90，且一=，求证:BD CBBDL CD三

9、.解答题15.已知在 Rt ABC 中，/ C=90 , AB=10, BC=6.在 Rt EDF 中，/ F=90, DF=3, EF=4,则厶 ABC 和 EDF 相似吗？为什么？【巩固练习二】一、选择题1.已知 AiBQ 与厶 AB2C2的相似比为 4: 3, A2B2C2与厶 A3BG 的相似比为 4: 5,则厶 ABG 与厶 A&Q 的相似比为（）.A.16 : 15B.15 : 16C.3 : 5D.16 : 15 或 15 : 162 .如图，P 是 Rt ABC 的斜边 BC 上异于B C的一点，过点 P 做直线截 ABC 使截得的 三角形与 ABC 相似，满足这样条件的直线共

10、有（）D.4 条5.如图，在 Rt ABC 中，/ C= 90, CD!AB 垂足为 D,则图中相似三角形有（A. 4 对B. 3 对C . 2 对D . 1 对6.如图，ABCD 是正方形，E 是 CD 的中点，P 是 BC 边上的一点，下列条件中，不能推出 ABP与厶 ECP 相似的是（）.A. / APB=/ EPC B. / APE=90B. 2 条C.3.如图，在 ABC 中，M 是 AC 边中点,E 是 AB 上一点，且 AE= AB,4连结 EM 并延长,BC 的延长线于 D,此时A. 2 : 1B. 3 :BC: CD 为().2 C. 3 : 1D. 5 :ABCD中, E是

11、AD上的一点,).B . FA：CD= AE：BC C .连接 CE 并延长交FA : AB= FE：ECBA的延长线于点D. AB= DCF,).D.BP : BC=2 3C.P 是 BC 的中点4.如图，在平行四边形 则下列结论中错误的是（A.ZAEF=ZDECA_二、填空题7._如图,/仁/2= / 3,则图中与厶CDE 相似三角形是 _和_8._ 如图， P 为线段 AB 上一点， AD 与 BC 交于 E,/ CPD=ZA=ZB, BC 交 PD 于 F, AD 交 PC 于 G,则图中相似三角形有对.9._ 如图，门门是正方形 ABCD 的外接圆，点 F 是 AB 的中点，CF的延

12、长线交门门于点 E,则 CF:EF 的值是.11._ 如图，在平行四边形 ABCD 中, M,N 为 AB 的三等分点，DM,DN 分别交 AC 于 P,Q 两点, 贝 H AP: PQ:QC=.10.如图，点 M 在 BC 上，点 N 在 AM 上，CM=CNANBM,则AMB厶 AN3AACMCMWABCA 中正确的有 _DNB12.如图，正方形 ABCD 的边长为 2, AE=EB,MN=1 线段 MN 的两端在 CB,CD 边上滑动，当CM=_ 寸， AED 与以 M N、C 为顶点的三角形相似三、解答题13.如图，和二二 都是等边三角形，且 B、C、D 共线，BE 分别和 AC AD 相交于点 M G, CE 和 AD 相交于点 N.求证：(1)CG 平分上BCD14.如图，ABC是等边三角形，点D E分别在BC AC上，且BD= CE AD与BE相交于点F.(1) 试说明ABDABCE(2)AEAF-与EBA相似吗？说说你的理由.15.已知点 P 在线段 AB 上，点 0 在线段 AB 的延长线上.以点 0