圆锥曲线动点问题

1、.圆锥曲线动点题1 、（ 12 分）设 F1 、 F2 分别是椭圆x 2y 21的左、右焦点 .4uuur uuuur（）若 P 是该椭圆上的一个动点，求PF1 PF2 的最大值和最小值;（）设过定点M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点A 、 B ，且 AOB 为锐角（其中O 为坐标原点） ，求直线 l 的斜率 k 的取值围2 、（ 12 分）如题（ 21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线y28 x的焦点，且与抛物线交于A、 B 两点。F题（ 20）图（）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（）若 a 为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交 x 轴于点 P，证明 |FP|-|F

2、P|cos2a 为定值，并求此定值。.3.、（本小题满分12 分）.如图 , 直线 y= 1 x 与抛物线y= 1 x2 4 交于 A、B 两点 , 线段 AB 的垂直平分线与直线28y= 5 交于 Q 点.(1) 求点 Q 的坐标；(2) 当 P 为抛物线上位于线段AB 下方 (含 A、 B) 的动点时 , 求OPQ 面积的最大值.4 如图 A(m, 3m) 和 B(n,3n) 两点分别在射线uuur uuur1OS 、 OT 上移动，且 OA OB，uuuruuuruuur2O 为坐标原点，动点 P 满足 OPOAOB （ 1）求 m n 的值； （ 2）求 P 点的轨迹 C 的方程，并说

3、明它表示怎样的曲线？（ 3）若直线 l 过点 E(2, 0)uuuruuur交（ 2）中曲线 C 于 M 、 N 两点，且 ME3EN ，求 l 的方程.| PA | | QB | ，求的取值围 . |AB|.5 如图， M 是抛物线上y2x 上的一点，动弦ME 、 MF 分别交 x 轴于 A 、 B 两点，且 MAMB （ 1）若 M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（ 2）若 M 为动点，且EMF90o ，求 EMF 的重心 G 的轨迹yMBOAxEF6 已知 F ( 2,0), F(2,0), 点 P 满足 | PF |PF2| 2 ，记点 P 的轨迹为 E.121（ 1 ）求轨迹

4、 E的方程；（ 2）若直线 l 过点 F2 且与轨迹 E 交于 P、 Q 两点 .（ i） 无论直线 l 绕点 F2 怎样转动，在 x 轴上总存在定点（ ii）过、Q作直线x1的垂线 PA、 QB，垂足分别为P2M (m,0) ，使 MP MQ 恒成立，数m 的值 .A、 B，记.答案1 、解：（）解法一：易知a2, b1,c3所以F13,0, F23,0 ，设 Px, y ，则uuuruuuur3 x, y , 3 x, yx2y23 x21 x21 3x28PF PF31244uuuruuuur因为 x2,2，故当 x0，即点 P 为椭圆短轴端点时，PF1PF2 有最小值 2uuuruuu

5、ur当 x2，即点 P 为椭圆长轴端点时，PF1PF2 有最大值1解法二：易知 a2, b1,c3 ，所以 F13,0, F23,0，设 Px, y，则uuur 2uuuur 2uuuur 2uuuruuuuruuuruuuurF1PF2uuuruuuurPF1PF2F1 F2PF1PF2PF1PF2 cosPF1PF2uuuruuuur2 PF1PF21x2y2x32y212x2y23 （以下同解法一）32（）显然直线x0不满足题设条件，可设直线l : ykx2, Ax1 , y2, Bx2 , y2 ，ykx21联立x2，消去 y ，整理得：k2x24kx30y2144 x1x24k3,

6、x1 x21k21k244由2134k23 0 得： k334k4 k4或 k22又 00A0B900cosA0B0uuuruuur0OA OBuuur uuur OA OB x1x2y1 y20又 y1 y2kx12 kx22 k2 x1 x22k x1x243k28k24k 21k 21k 21k214443k 2 10 ，即k24 2 k 2k21k2144.故由、得2 k3或3k2222 、（）解：设抛物线的标准方程为y 22 px ，则 2 p8 ，从而 p 4.因此焦点 F (p2，0） .,0) 的坐标为（2又准线方程的一般式为xp 。2从而所求准线l 的方程为 x2 。.（）解

7、法一：如图作ACl， BD l，垂足为 C、 D，则由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=| BD|.记、B的横坐标分别为x z，则Ax x| | xxp| FA | cos appFA| cosa4解得 |FA |4，FAAC22|1cos a2类似地有 | FB |4 | FB | cos a ，解得 | FB |4。1 cos a记直线 m 与 AB 的交点为 E，则|FE | |FA|AE| |FA| FA|FB| 1|FB |)1442(| FA|21 cos a1cos a2|FP|FE |4。cosasin 2a故|FP| FP | cos 2a4(1cos 2a)4&#

8、183;2 sin 2 a8。sin2 asin 2a解法二：设 A(x A , y A ) ， B( xB , yB ) ，直线 AB 的斜率为 ktan a ，则直线方程为将此式代入 y 28x ,得 k 2 x 24(k 22) x4k 20 ，故 xAxBk(k 22)k 2。记直线 m 与 AB 的交点为 E (x E , yE ) ，则xExAxB2(k 22)，2k 2yEk (xE2)4，k故直线 m 的方程为 y41x2k 24.kkk 2令 y=0, 得 P 的横坐标 xP2k 244 故k2|FP|xP24( k 21)4。k 2sin 2 a从而 |FP | FP |

9、cos 2a4(1cos2a )4·2 sin 2 a8 为定值。sin 2sin 2aay=1xX1= 4,x2=823.【解】 (1)解方程组得y=12x 4y=2,y =4812即 A( 4, 2),B(8,4), 从而 AB 的中点为 M(2,1).由 kAB=1,直线 AB 的垂直平分线方程y 1=1(x 2).22令 y= 5,得 x=5, Q(5, 5)(2) 直线 OQ 的方程为 x+y=0,12 4).设 P(x,x84 cosa 所以sin 2 ayk (x2) 。.x1 x 24 点 P 到直线 OQ 的距离 d=8=81x 28x32 ,22OQ5 2 ,S

10、OPQ=1OQ d =5 x28x32 .216 P 为抛物线上位于线段AB 下方的点 , 且 P不在直线 OQ 上, 4 x<4 3 4 或 43 4<x 8.2上单调递增 , 函数 y=x +8x 32 在区间 4,8 当 x=8 时 , OPQ 的面积取到最大值 30.uuuruuur(m,3m) (n,3n)2mn1 ，4 、解：（ 1）由已知得 OA OB2 mn1 y4uuuruuuruuur（ 2）设 P 点坐标为 ( x, y) （ x0A），由 OPOAOB 得( x, y)( m,3m)( n, 3n) (mn,3( mn) ，OxPxm n,消去 m ， n

11、可得 x2y24mn，3( myn)3B又因 mn1 ， P 点的轨迹方程为x2y21 (x 0) 43它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2 ，焦距为4 的双曲线 x2y21 的右支3（ 3）设直线 l 的方程为 xty2 ，将其代入 C 的方程得3(ty2)2y23即(3t 2 1)y212ty 90 ，易知 (3t 2 1)0 （否则，直线l 的斜率为3 ，它与渐近线平行，不符合题意）又144t 236(3t 21)36(t21)0 ，设 M (x1, y1), N ( x2 , y2 ) ，则 y1y212t, y1 y293t213t21 l 与 C 的两个交点 M ,

12、 N 在 y 轴的右侧x1 x2(ty12)(ty 22)t 2 y1 y22t ( y1y2 )4t292t12t43t 240，3t21213t 213t 3t 210，即 0t 2 1，又由 x1 x20 同理可得0 t2 1，33.uuuruuurx1 ,y1 )3(2x2 , y2 ) ，2x13(2x2 )由 ME3EN 得 (2y13y2由 y1y23 y2y22 y212t得 y26t，3t23t 211由 y1 y2( 3 y2 ) y22923，3y23t 2得 y23t 211消去 y2 得36t 23考虑几何求法！ ！(3t 21)23t 21解之得： t 21，满足

13、0t21 153故所求直线 l存在，其方程为：15xy2 50或15 xy2 50 5 、思路分析：（ 1 ）由直线 MF （或 ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点 E 的坐标，利用斜率公式来证明；（ 2）用 M 点的坐标将 E 、 F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去 y0 即得到 G 的轨迹方程（参数法） .解：（ 1）法一： 设 M ( y 02 , y0 ) ，直线 ME 的斜率为 k （ k0 ），则直线 MF 的斜率为k ，方程为 y y0k( x y02 ) y由y y0k( xy02 ) ，消 x 得 ky 2yy0 (1 ky0 ) 0 ，Oy2x

14、解得 yF1ky0， xF(1ky0 )2 ，kk2yEyF1ky01ky021 kEFkkk(定值 )xExF(1 ky0 ) 2(1 ky0 ) 24ky02 y0k 2k 2k2所以直线 EF 的斜率为定值法二： 设定点 M (x0 , y0 ) ， E (x1, y1 ) 、 F ( x2 , y2 ) ，MBAxEFy02x0 ,得 ( y0y1)( y0y1 )x01kMF1由x1x1 ，即 kME；同理y12y0 y1y0y2 MAMB ，kMEkMF ，即11y1y22 y0 y0y1，y0 y2所以， kEFy1y2y1y211（定值）xxy2y2yy2 y2011212（2

15、） 当EMF90o时,MABo所以k1,直线 ME 的方程为yy k (xy2 )45 ,00.由yy0xy02得 E(1y0 )2 ,1y0 )y2x同理可得 F (1y0 )2 , (1y0 ).xxMxExFy02(1 y0 )2(1 y0 ) 22 3y02333设重心 G（ x, y），则有xMxExFy0(1 y0 ) (1 y0 )y0y333消去参数 y0 得 y21 x2 ( x2) 92736、 解：（ 1）由 | PF1| PF2| 2| F1F2|知，点P 的轨迹E 是以 F1、 F2 为焦点的双曲线右支，由c2, 2a2,b23 ，故轨迹E 的方程为 x2y 21(

16、x 1).3（ 2）当直线 l的斜率存在时，设直线方程为yk( x 2), P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ) ，与双曲线方程联立消 y得 (k 23)x 24k 2 x4k 23 0 ，k 2300x1x24k20k 23x1x24k 230k23解得 k2>3（ i）MP MQ( x1m)( x2m)y1 y2( x1m)( x2m) k2 ( x12)( x22)( k 21)x1x2(2 k2m)( x1x2 ) m24k 2(k 21)(4k 23)4k 2 (2 k 2m)24k2k 23k 23m3 (4 m5) k2m2 .k23MPMQ,MP MQ0，故得 3(1m2 )k2 ( m24m5)0 对任意的k 23 恒成立，1m 20,解得 m1.m 24m50.当 m = 1 时， MP MQ.当直线 l 的斜率不存在时，由P(2,3), Q(2, 3) 及M ( 1,0) 知结论也成立，综上，当 m = 1时， MP MQ.（ ii） a1,c2, 直线 x1是双曲线的右准线，2由双曲线定义得：|PA|1|PF2 | 1 |PF2 |,|QB | 1 |QF2 |，e22方法一：|PQ|