(word完整版)中考压轴题突破：几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等),推荐文档

1、中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）一、基本图形最值问题在几何图形中分两大类：定点到定点:两点之间，线段最短；定点到定线:点线之间，垂线段最短。由此派生：定点到定点:三角形两边之和大于第三边；定线到定线:平行线之间，垂线段最短；定点到定圆:点圆之间，点心线截距最短（长）；定线到定圆:线圆之间，心垂线截距最短；定圆到定圆:圆圆之间，连心线截距最短（长）。举例证明：定点到定圆:点圆之间，点心线截距最短（长）。已知。半径为r, AO=d P是。上一点，求 AP的最大值和最小值。证明：由“两点之间，线段最短”得AP< AO+PO ACK AP+PQ彳3d

2、-r <AP&d+r, AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线 截得的线段 AR AC分别最小、最大值。（可用“三角形两边之和大于第三 边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些 图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定 点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。（一）直接包含基本图形例1.

3、在。中，圆的半径为 6, / B=30° , AC是。的切线，则 CD的最小 值是。简析：由/ B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即 为求定点D到定线AC的最短路径，求得当 CDL AC时最短为3。（二）动点路径待确定例2.,如图，在 ABC中，/ ACB=90 , AB=5, BC=3, P是AB边上的动点 （不与点B重合），将 BCP沿CP所在的直线翻折，得到 B' CP,连接B'A,则B' A长度的最小值是。简析：A是定点，B是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形

4、，一般有直线与圆两类。此题中 B的路径 是以C为圆心，BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为 AC-B'C=1 0如图，的半径为2,圆心M的坐标为(3, 4),点尸是上的任意一点，PA1PB,且产人PB与1轴分别交 于4B两点,若点4点3关于原点。对称，则的最 小值为()A3B.4C.6D.8解答答案：C.，查看视频讲解PA 上 PB,vXO=BO,.AB=2PO,若要使取得最小值，则P0需取得最小值,连接OM,交OM于点P,当点口立于尸位置时，OP取得 最小值.过点A"乍轴于点Q,则 OQ= 3, MQ =4,/.OM=5.又.”尸:2,.OP=3,.AB=2O

5、P=6.例3.在 ABC中，AB=AC=5 cos/ABC=3/5,将 ABC绕点C顺时针旋转， 得到 A'B'C，点E是BC上的中点，点 F为线段 AB上的动点，在 A'B'C 绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F',求线段EF长度的最大值与最小值的差。简析：E是定点，F是动点，要确定 F'点的运动路径。先确定线段 AB的 运动轨迹是圆环，外圆半径为 BC,内圆半径为 AB边上的高，F'是A'B'上 任意一点，因此 F'运运动轨迹是圆环内的任意一点，由此转化为点E到圆环的最短和最长路径。E到圆环的最短距离为E

6、F2=CE-CE=4.8-3=1.8 , E到圆环的最长距离为 EF产EC+CF=3+6=9,其差为 7.2。（三）动线（定点）位置需变换线段变换的方法：（1）等值变换：翻折、平移；（2）比例变换：三角、相似。【翻折变换类】典型问题：“将军饮马”例4.如图，/ AOB=30，点 M N分别是射线 OA OB上的动点，OP平分/ AOB且OP=q当 PMN勺周长最小值为 。简析：动线段（或定点）应居于动点轨迹的两侧，本题的三条动线段PMMN PN在OA OB的内侧。所以本题的关键是把定线段变换到动点轨迹的两侧，从而把三条动线段PM MN PN转化为连接两点之间的路径。如图，把点P分别沿OA OB

7、翻折得R、P2, 4PMN的周长转化为 PiM+MN+PN,这三条线段的和正是连接两个定点Pi、的之间的路径，从而转化为求 Pi、P2两点之间最短路径，得 PMN的周长最小值为线段 PiP2=OP= 6。例5.如图，在锐角 ABC中，AB=4, / BAC=45 , / BAC的平分线交 BC于 点D,M N分别是AD和AB上的动点，则BM+M的最小值是 。简析：本题的问题也在于动线段 BM MN居于动点轨迹 AD的同侧，同样把 点N沿AD翻折至AC上，BM+MU BM+MNI'转化为求点 B到直线AC的最短 路径，即BNUAC时，最小值为 2无。【平移变换类】典型问题：“造桥选址”例

8、6.如图，m1 n是小河两岸，河宽 20米，A、B iM是河旁两个村庄，要在河上造一座桥，要使a、br| -V之间的路径最短应该如何选址（桥须与河岸垂直）？1简析：桥长为定值，可以想像把河岸m向下平移与n重合，同时把点 A向下平移河宽，此时转化成n上的一点到 A、B的路径之和最短，即转化为定点 A'到定点B的最短路径。如下图：思路是把动线 AM平移至A'M,A'N+BN即转化为求定点 A'与定点B之间的最 路径。本题的关键是定长线段MNT动线段分隔，此时须通过平移把动线段A'N、BN变为连续路径，也可以把点 B向上平移20米与点A连接。例7.如图，CD是

9、直线y=x上的一条定长的动线段，且CD=2,点A (4, 0),连接AG AD,设C点横坐标为 m,求m为何值时， ACD的周长最小，并求 出这个最小值。解析：两条动线段 AG AD居于动点所在直线的两侧，不符合基本图形中定 形(点线圆)应在动点轨迹的两侧。首先把 AC沿直线CD翻折至另一侧， 如下图：现在把周长转化为 A'C+CD+AD还需解决一个问题：动线段 A'C与AD之间 被定长线段 CD阻断，动线段必须转化成连续的路径。 同上题的道理，把A'C 沿CD方向平移CD的长度即可，如下图。现在已经转化为 A''D+AD的最短路径问题，属定点到定点，当

10、 A''D与AD 共线时A''D+AD最短，即为线段 AA,的长。【三角变换类】典型问题：“胡不归”例8.如图，A地在公路 BC旁的沙漠里，AU BC的距离AHk 2,3, AB= 2, 19,在公路BC上行进的速度是在沙漠里行驶速度的2倍。某人在B地工作，A地家中父亲病危，他急着沿直线BA赶路，谁知最终没能见到父亲最后一面，其父离世之时思念儿子，连连问：“胡不归，胡不归！ ” （怎么 还不回来），这真是一个悲伤的故事，也是因为不懂数学而导致的。那么， 从B至A怎样行进才能最快到达？简析：BP段行驶速度是 AP段的2倍，要求时间最短即求 BP/2+AP最小，从

11、而考虑BP/2如何转化，可以构造含 30 0角利用三角函数关系把 BP/2转化 为另一条线段。如下图，作/ CBD=30 , PQ! BD,彳3PQ=1/2BP,由“垂线 段最短”知当 A、P、Q共线时AP+PQ= AQ'最小。【相似变换类】典型问题：“阿氏圆”“阿氏圆”：知平面上两点A B,则所有满足 PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆，如下图所示，其中PO: BO AO PO= PA: PB= k。FB 4,23H?米例 9.已知 A(-4 , -4)、B(0, 4) 、C(0,-6) 、D(0,-1), AB 与 x

12、 轴交于点E,以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为。E上一动点，求1/2AM+CM 的 最小值。简析：本题的主要问题在于如何转化1/2AM,注意到由条件知在 M的运动过程中，EM AE= 1: 2保持不变，从而想到构造相似三角形，使之与AEM的相似比为1: 2,这样便可实现 1/2AM的转化，如下图取 EN: EM= 1: 2,即可得 EMW EAM 再得 MN=1/2AM 显然，MN+CM勺最小值就是定点 N、C之间的最短路径。之后便是常规方法先求 N点坐标，再求 CN的长【解法大一统】万法归宗：路径成最短，折线到直线。（所求路径在一般情况下是若干折线的组合，这些折线在同一直线上时即 为最短路径）基本图形：动点有轨迹，动线居两边。（动点轨迹可以是线或圆，动线指动点与定点或定线、定圆的连线，动线 与折线同指）核心方法：同侧变异侧，分散化连续。（动线在同侧进，要变