2017全国初中数学联赛初二卷及详解

1、实用标准文案2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题 7分）1 .已知实数 a,b,c 满足2a+13b+3c=90, 3a+9b+c=72,贝U 至二c 的值为（）.a 2bA.2B.1C.0D.-12 .已知实数 a,b,c 满足a+b+c=1, 工 +L=0,贝U （a+1） 2+（b+3） 2+（c+5） 2的值为（）.a T b 43 c，5A.125B.120C.100D.813 .若正整数a,b,c满足awbwc且abc=2（a+b+c）,则称（a,b,c）为好数组.那么好数组的个数为（）A.4B.3C.2D.14 .已知正整数 a,b,

2、c 满足 a2-6b-3c+9=0 , -6a+b2+c=0,贝U a2+b2+c2的值为（）.A.424B.430C.441D.4605.梯形 ABCD 中，AD/BC,AB=3,BC=4 CD=2 AD=1,则梯形的面积为（）M，3 B.3C.3 26.如图，梯形 ABCD中，AD/BC,/A=90，点 E在 AB上，若 AE=42, BE=28, BC=70, / DCE=45 ,则 DE勺C.6028分，每小题 7分）值为（）D.627 .使得等式 什a成立的实数a的值为8 .已知必BC的三个内角满足 Av Bv Cv 100 .用。表示100 -C,C-B,B-A中的最小者，则。的最

3、大值为 8ab39 .设a,b是两个互质的正整数，且 P=M 为质数.则P的值为10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7,则这20个数之和的最小值第二试、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且 呢由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求二、（本题满分25 分）如图， ABC中，D为BC 的中点，DEF分/ ADB DFF分/ ADC BEX DE, CF DF,P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.三、（本题满分 25分）已知a,b,c是不全相等的正整数，且增为有理数,求5b c的最小值.文档大全实用标准文案如17年全国初

4、中数学联合竞赛试题初二卷参考答案第一试一、选择题：(本题满分42分，每小题 7分)1 .已知实数 a,b,c 满足2a+13b+3c=90, 3a+9b+c=72,贝U 3ble 的值为().a 2bA.2B.1C.0D.-1答案：B对应讲次：所属知识点：方程思路：因为所求分式的特点可以想到把a+2b, 3b+c看成一个整体变量求解方程.解析：已知等式可变形为 2(a+2b)+3(3b+c)=90 , 3(a+2b)+(3b+c)=72 ,解得 a+2b=18, 3b+c=18,所以竺上=1.a 2b2 .已知实数 a,b,c 满足a+b+c=1, +十=0,贝U (a+1) 2+(b+3)

5、2+(c+5) 2的值为().a 1 b 3 c 5A.125B.120C.100D.81答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.111解析：设 x=a+1, y=b+3, z=c+5,则 x+y+z=10, 十十一 =0 , x y z .xy+xz+yz=0 ,由 x2+y2+z2=(x+y+z) 2-2(xy+xz+yz)=100.则(a+1) 2+(b+3) 2+(c+5) 2 =100.3 .若正整数a,b,c满足aw bw c且abc=2(a+b+c),则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为().A.4B.3C.2D.1答案：B对应讲次：文档大全所属知识点：

6、数论思路：先通过awbwc且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+b+c) 6c,即abW6,显然a=1或2.若a=1,则 bc=2(1+b+c),即(b-2)(c-2)=6,可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5),共 2个好数组. 一 5右a=2,则b=M3,可得b=2,c=4 ; b=3,c= ,不是整数舍去，共 1个好数组.共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4).4 .已知正整数 a,b,c 满足 a2-6b-3c+9=0 , -6a+b 2+c=0,贝U a

7、2+b2+c2的值为().A.424B.430C.441D.460答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：由已知等式消去c整理后，通过a,b是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.解析：联立方程可得(a-9) 2+3(b-1) 2=75,则 3(b-1) 20,代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0,解得xi=0, x 2=3, x 3=-1 ,舍负，即a=-1或8,验证可得 a=8.8 .已知AABC的三个内角满足 Av BC 100 .用。表示100 -C,C-B,B-A中的最小者，则。的最大值为答案：20对应讲次：所属知识点：代数思路：一般来说，求几个中最小

8、者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况解析：. 0 100 -C, 0 WC-B, 0 B-A.-.0 b, 11|(a+b (ab),可得a+b=11, 10分a-b也是完全平方数，所以 a-b=1或4. 15分若a-b=1 ,贝U a=6, b=5;若a-b=4 ,则没有正整数解.因此 a=6, b=5, A=65. 20分二、(本题满分 25分)如图， ABC中，D为BC的中点，DEF分/ ADB DF分/ ADQ BEX DE, CF DF,P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.对应讲次: 所属知识点：平面几何思路：因为EF、P瑚在DEF中，所以想办法推出其性质，比较容易得出/E

9、DF=90 ,此时若能得出EF=PD 则自然可以得到结论.解析：由DEF分/ ADB DF平分/ ADG 可彳导/ EDF=90 .文档大全由 BE，DE#BE/DF,贝U/ EBD至 FDC.10分又 BD=DC Z BED=/ DFC=90 ,贝 UABED0 至FC, BE=DF .15分得四边形BDFE是平行四边形，/ PEDhEDB=Z EDP EP=PD.20分XA EDF是直角三角形，EF=2PD.25分三、（本题满分25分）已知a,b,c是不全相等的正整数，且噂a+b为有理数,求afc2的最小值.5b ca b c答案：3对应讲次:所属知识点：数论思路：通过a,b,c是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.注意到、后b-c=0,可以通过分母有理化来实现分离，再利用a,b,c互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值解析：麻c#0,由隼上b =5b c5a b 5b -c225b -c5ab-bc+2b2；ac）,后是有理数，可得b仅分 5b -c15分不妨设 av c,若 a=1