2015年高考新课标2理科数学真题及答案详解

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷n)理科数学本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。满分150分，考试时间120分钟。第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合 A= -2, -1,0,2 , B= x| (x-1) (x+2) 0，则 A n b=A. 1, 0 B.0, 1C. -1 , 0, 1 D.0, 1, 2(2)若 a 为实数且(2+ai) (a-2i) = 4i,贝U a=A.-1B.0C.1D.2(3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)

2、柱形图。以下结论不正确的是A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关(4)等比数列 an满足 ai=3, a+ a3+ %=21,则 a3+ a5+ an =A.21B.42C.63D.84设函数叫2：黑21,则f(2)+ f (嗨12)=A.3B.6C.9D.12(6) 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，贝U截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为A. 1 B. 1 C. 1 D. 18765(7)过三点 A

3、 (1,3) , B (4,2) , C (1,-7 )的圆交于 y 轴于 M、N两点，则|MN| =A.2 6B.8C.4,6D.10(8)右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入 a,b分别为14,18, 则输出的a=A.0B.2C.4D.14(9)已知A,B是球。的球面上两点，/AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球。的表面积为A.36 兀 B. 64 兀 C.144 兀D. 256 兀(10)如图，长方形 ABCD的边AB=2, BC=1,。是AB的中点，点P沿着边BC, CD与DA运动，/BOP

4、=x.将动点P到AB两点距离之 和表示为x的函数f(x),则f(x)的 一六， 图像大致A 0 B(A)(B)(C)0时，x f (x)-f (x)0成立的x的取值范围是A.( -oo5 1)U(0, 1)B.(1, 0)U(1, 十oo)C.(巴-1) U(-1, 0)D.(0, 1) U (1 , +8)第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)设向量a, b不平行，向量?a+ b与a +2b平行，则实数号.(用数字填写答案)x - y 1-0,(14)若x, y满足约束条件x-2y 0,则z= x+y的最大值为x 2y -2 0),直线l不过原点。且不平行于坐标轴，l与C有

5、两个交点A, B,线段AB的中点为M.(I )证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(II)若l过点(m, m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB 3能否平行四边行？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由.第9页共16页(21)(本小题满分12分)设函数 f x =emx+x2mx.(I)证明：f (x)在( s, 0)单调递减，在(0, +s)单调递增；(H )若对于任意 Xi, X26 -1,1,都有 I f(xi)- f(x2)I cd ,贝U ja+jb JC 十 Jd ；(H ) 4a + Jbv,c + Vd是 a-b 故xt + x, -kb - l 9b十E”工小

6、行.于是直线。”的斜率先期=应=即*0M/=一九 & k所以自线OM的斜率与/的斜率的乘积为定值.(II)四边形O/PB能为平行四边形.四为直线/过点，所以/不过原点且与C有两个交点的充要条件是kQ* 上*3.Q 由(I )得0M的方程为尸=-1士设点尸的桢坐标为号,用 2 k2m2 用 Aw得 x：即一;=i , 9必+81f 3万3将点仔的坐标代入/的方程得人若包刚凡=器瑞.四边形Q4PB为平行四边形当且仅当线段血与线段OP互相平分，即1 = 2口.于是 竹=2x*(网,解得=4-/，h = 4+由.3 庐3(产+9)因为匕0,七户3, 21,2,所以当/的斜率为4-万或4 + J?时，四

7、边形Q4PB为 平行四边形.一 72 一(21)解;若则当上时，”-】国口，f(x) 0,若E0.则当Hw(-ooj)时.小工一】0 + Ax)0 t当工W,+ M时, e-J-lQ断，(0O.故以。在(oc.O)单调递减.在。+8) 单词递墙又如)土虱-g-+2Y】时，由期。的单调性 g(m)0t We当用。，即eE+mne-i 排上,中的取ifi蒐国是b1,1】，(22)帐(1)由于A/BC是等腰三角形，AD1BC.所以就)是2c43的平分线一又因为。分别与/Hi月C相切于点E* F ,所以，三川广卜故/D1.EF,仄而EF/BC(II)由(I)知 AEAF. ADEF,故才。是 哥的垂直

8、平分线.乂1为00的弦,所以。在初上.连结。r OM ,则。E1XE,由AG等于。的半径得/。=龙,所以ZOAE = 30因此4BC和乂EF都是等边三角形.因为U2场,所以乂0 = 4,。=2,因为。必= OE = 2，DM=1侬=网,所以00 = 1.2于是/D = 5. AB =- *所以四边形ebcf的面租为:x（与亘y * * -1 KQu3y T= . * J1 I A-73 -(23)解;联立f I曲线G的直角坐标方程为必+ ,-2, = o.曲域G的直角坐标方程为 1 + 炉 - 2/ix = 0 .J = O,所以G与G交点的直他坐标为电O)和(9, 3.(H)曲线G的极坐标方

9、程为&=)SwR，/h)，其中ow&cjt. 因此A的极坐标为(2sinaT o)，B的极坐标为Q4coscr, a).所以| /B|=|2sinc - 2j5cosni= 4|sin(a! - *)|.当口二把时，砌取得最大值最大值为4 6(24)修()因为 (-Ja +=4i + A + 24ab , (4c + 括f = c + d + 14cd (由JR 设 口 + b = c + d ab cd (4a 4- Jb)2 (4c + V)2.因此 ya + yfb y/c4若 wb|-d|,则g-ag-dy,即(a + A)1 - ab cdt由(【)隔n:4iG日,(ii)若石+石W+忑，则(G +后3+历