2017春季中考数学第五讲-图形的平移、旋转、折叠问题(解析版)

1、2017春季中考数学第五讲图形的平移、旋转、折叠问题【基础回顾】考点聚焦1 .了解轴对称图形和图形成轴对称的概念，知道线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆等常见的轴对称图形；了解平移、旋转的概念、掌握平移变换、旋转变换的基 本性质，能按要求作出简单平面图形平移后的图形.2 .掌握中心对称的概念，会判断一些基本图形的中心对称性 ，理解中心对称与旋转变换的区别3 .探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合 ，能灵活运用轴对称、平移和旋转 的组合进行图案设计.考点一轴对称图形、轴对称变换例1、如图，将三角形纸片 ABCgDE折叠，使点A落在BC边上的点F处,且DE/ BC

2、,下列结论：BDF是等腰三角形；DE=1BC;四边形ADFE是菱形；/ BDF-+Z FEC=2/ A.其中一定正确的个数是 （）.A.1B.2C.3D.4【思路点拨】 如图，分别过点D, E作BC的垂线DG EH连接AF, 由于折叠是轴对称变换知 AF与DE垂直，因为DE/ BC,所以AF与 BC垂直，且AM=MF1rr以证明点 D, E分别是AB,AC的中点，即DE是 ABC的中位线，所以DE=1BC是正确的；由于折叠是轴对称变换2n G F H CFEC=2Z A是正确的；知AD=DF,AE=EF所以DA=DB=DFW以 BDF是等腰三角形是正确 的；因DG/ AF/ EH,所以/ BD

3、Gh DAM又因为DG是等腰三角形 BDF 的高，所以/ BDF=2Z DAM同 理 / CEF = 2 / EAM,所以 / BDFtZ 如图显然四边形 ADF环是菱形，是错误的.【参考答案】C【方法归纳】 轴对称图形的定义：把一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形 ，这条直线叫做对称轴.轴对称图形的性质：（1）对应 点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等、对应角相等，对应的图形是全等图形.【误区提醒】折纸问题是近年来中考中的热点问题，本题巧妙的运用平行线性质、折叠全等 不变性质得到三角形中位线，如果能顺利地判断出这一点，其他问题就将迎

4、刃而解.在解题时 不要受给出的图形影响，如 ABC像是等腰三角形，就认为 ABC就是等腰三角形，那样的话 四边形ADFE就是菱形了，造成判断上的错误.此外，轴对称图形是指一个图形，而轴对称变换 是指两个图形之间的关系.考点二中心对称图形、中心对称例2、下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）.【思路点拨】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图 形是轴对称图形；把一个平面图形绕某一点旋转180° ,如果旋转后的图形能和原图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形 .对照定义，可知A是轴对称图形，且有1条对称轴，但 不是中心对称图形；B是中心对称

5、图形，不是轴对称图形；C是轴对称图形，有1条对称轴， 但不是中心对称图形；D既是中心对称图形又是轴对称图形，有4条对称轴.【参考答案】B【方法归纳】如果一个图形绕着中心点旋转180。后能与自身重合，我们把这种图形叫做中心对称图形.成中心对称的两个图形的对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分【误区提醒】中心对称图形是指一个图形，而中心对称是指两个图形之间的关系考点三平移变换例3、如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2, 0）,点A在第一象限内，将 OAB沿直线OA的方向平移至 O' A B'的位置， 此时点A'的横坐标为3,则点B'的

6、坐标为.【思路点拨】 作AMLx轴于点M.根据等边三角形的性质得 OA=OB=2 / AOB=60 在RtOAW，利用含30°角的直角三角形的性质求出OM=1 AM=/3,从而求得点A的坐标为（1, 43）,直线OA的解析式为y=、5x,当x=3时，y=3返，所以 点A'的坐标为（3, 3而），所以点A'是由点A向右平移2个单位，向上平移 23个单位后得到的，于是得点B'的坐标为（4,2 ；3）.【参考答案】（4,23 ）【方法归纳】本题考查了坐标与图形变化一一平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图 形上某点的平移相同.平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移

7、减；纵坐标上移加，下移 减.也考查了等边三角形的性质， 含30。角的直角三角形的性质.求出点A'的坐标是解题的 关键.考点四旋转变换例4、在RtABC中，/BAC=90°，/B=30°，线段AD是BC边上的中线，如图1,将 ADC沿直线BC平移，使点D与点C重合，得到 FCE如图2,再将 FC遴点C顺时针旋转，设旋转角为a在旋转过程中，当/ACE=150°时，求旋转角a的度数；（2）探究旋转过程中四边形 ADEF能形成哪些特殊四边形？请说明理由.【思路点拨】（1）由题意分析可知此问需分两种情况讨论： 点E和点D在直线AC两侧； 点E和点D在直线AC同侧；（

8、2）在旋转过程中，总是存在AC=CE,DC=C的图形的对称性可知, 将会出现两种对角线相等的特殊四边形： 等腰梯形和矩形.抓住平移和旋转的性质，较易证明.解：在图 1 中，.一/ BAC=90 , / B=30° , / ACE4BAC+/B=120° .如图2,当点E和点D在直线AC两侧时，由于/ ACE=150 ,a =150° -120 ° =30° .当点E 和点 D在直线 AC同侧时,由于/ ACB=180 - / BAC-Z B=60° ,/ DCEh ACE-Z ACB=150 -60 ° =90 °

9、 .=180° - Z DCE=90 .旋转角 a 为 30° 或 90° ;(2)四边形ADEF能形成等腰梯形和矩形. / BAC=90 , / B=30° , AC=1 BC.2又AD是BC边上的中线，.AD=DC=BC=ACJ ADE正三角形.当 a =60° 时，如图 3, Z ACE=120 +60° =180° .-.CA=CE=CD=CF,四边形ADEF为矩形.当 “w 60° 时，/ACFw 120°，/DCE=360 -60 ° -60 ° - / ACFw 120&

10、#176; .显然 DEW AF.AC=CF,CD=CE, . 2 / FAC吆 ACF=2Z CDE吆 DCE=180 . / ACF吆 DCE=360 -60 ° -60 ° =240° , ./ FAC+Z CDE=60 . . . / DAF+Z ADE=120 +60° =180° .，AF/ DE又 DEW AF,AD=EF,.四边形 ADEF为等腰梯形.【方法归纳】旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某一个方向转动一个角度，这种图形的运动称为旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角.旋转变换的性质：经过旋转，图形上

11、每个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等 ，旋转变 换不改变图形的形状和大小，是全等变换.【误区提醒】 决定旋转变换的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度，作图按三个步骤进行：（1）在已知图形上找一些关键的点； （2）画出这些关键点的对应点； （3）顺次连接这些 对应点.考点五图形变换的应用 例5、如图，矩形纸片 ABCD,将 AMP和 BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP>AM）,点A和点B都与点E重合；再将 CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上的点F处.(1)判断 AMP, BPGi, CQD和 FDM中

12、有哪几对相似三角形?(2)如果 AM=1 , sin/DMF=3,求 AB 的长.5【思路点拨】（1）由矩形的性质得/ A=/B=/ 0=90° ,由折叠的性质和等角的余角相等，可得/ BPQhAMPh DQ0 所以 AMD BP6 CQD （2）先证明 MD=MQ然后卞艮据 sin Z DMF=DF =3DFMD=35 设 DF=3x, MD=5x 再分别表示出 AP, BP, BQ 根据 AMD BPQ 列出MD = 5比例式解方程求解即可.解：(1) AMf BP(Q 0QD.四边形 ABCD矩形，A=Z B=Z 0=90° . 由折叠的性质可知/ APMh EPM

13、/ EPQW BPQ. / APM廿 BPQW EPM+ EPQ=90 . /APM廿 AMP=90 , .BPQW AMP.AM即 BPQ.同理： BP6 0QD.根据相似的传递性可得4 AMP CQD(2) AD/ BC,DQCh MDQ.由折叠的性质可知/ DQCW DQM. ./ MDQ = DQM；. MD=MQ. . AM=ME BQ=EQBQ=MQ-ME=MD-AM. . sin /DMF把=3,则设 DF=3x, MD=5x 贝U BP=PA=PE, BQ=5x-1. MD - 522 ,AM即 BP（QAM =竺，即 1 3x ,解得 x=-（舍去）或 x=2,AB=6.BP

14、 BQ 3x -29万 5x - 1【方法归纳】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折的性质以及锐角三角函数的综合运用，图形的折叠是对称变换，是一种全等变换【误区提醒】 折叠问题要注意找正确边角的等量关系，本题求AB长时，关键是恰当的设出未知数表示出一对相似三角形的对应边并列比例式【例题讲解】1 .图形的平移：如图1,在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2, 0）,点A在第一象限内，将OAB沿直线OA的方向平移至 O'BA'的位置，此时点A的横坐标为3, 则点B的坐标为（）.A. （4,2由）B. （3,373）C.（4,3点）D.（3,273）

15、图2图3答案A .思路如下：如图，当点B的坐标为（2, 0 ）,点A的横坐标为1.当点A的横坐标为3时，等边三角形 A OCW边长为6.在 RtB' CD中，B' C= 4,所以 DO 2, B D= 2典.此时 B' （4, 273）2.图形的折叠：线AE翻折后点如图2,在矩形 ABCD中，AD=15,点E在边DC上, D落到点F,过点F作FGJ± AD,垂足为G.如果答案 3、5.思路如下:如图，过点 F作AD的平行线交 AB于M 交 因为 AD= 15,当 AD= 3GD寸，MF= A生 10,DC于 N.FN= GD= 5.在 RtAAMF, AF=

16、AD= 15, M展 10,所以AM= 575 .设 DE= m 那么 NE= 5J5m.联结 AE, ADE沿直由 AM产 FNE彳寻幽 =里,即MF NE5.5105.5 -3.图形的旋转： 如图3,已知 RtA ABC中,/ABC= 90° , AC= 6, BC= 4,将 ABC绕直角贝U AF=E不与B C重合），DEBE=顶点C顺时针旋转90°得到 DEC若点F是DE的中点，连接 AF, 答案 5 .思路如下：如图，作 FHI±ACT H.由于F是ED的中点，所以HF是ECM中位线，所以 HF= 3.由于 AE= AC- EC= 6 4=2, EH=

17、2,所以 AH= 4,所以 AF= 5.4 .三角形： 如图4, AB84DEF （点A、B分别与点D、E对应）， ABC固定不动， DEF运动，并满足点 E在BC边从B向C移动（点 始终经过点A, EF与AC边交于点M,当 AEM是等腰三角形时，I答案 11或1 .思路如下：6设 BEE= x.由 ABa ECM彳导AB =旦,即=旦EC ME6-x ME等腰三角形AEM三种情况讨论：如图2,如果 AE= AM那么 AElVb ABC所以2=5=2.解得x=0,此时E、B重合，舍去.ME 6 6-x5 EA 一 一如图3,当EA= EM寸，_=_=1.解得x=1.6-x MEEA 65一 1

18、11如图4,当MA= ME寸， ME* ABC所以旦=6=.解得x= 11 .5.四边形：如图，矩形 ABCD中，AB= 8, BC= 4 .点E在边 AB上，点 F在边 CD上, 点G、H在对角线AC上.若四边形 EGFH是菱形，则 AE的长是（）.图5图7图2图3答案C .思路如下：拖动点E在AB上运动，可以体验到，当EF与AE直时，四边形EGF比菱形（如图2）.如图 3,在 RSABC中，AB= 8, BC= 4,所以 AC= 4J5.由 cos / BAC= 胆=AO 得-8=遥,所以 AE= 5.AC AE 45 AEA6 .圆：如图1,。的半径为2, AB, CD是互相垂直的两条直

19、径，点 P是。上任意一点（P与A, B, C, D不重合），过点P作PMLAB于点M, PNI± CD于点N,点Q是MN的中点,当点P沿着圆周转过45。时，点Q走过的路径长为冗A.一4答案A .思路如下:冗B.一2冗C.一6D.拖动点P在圆周上运动一周，可以体验到，当点 路径是圆心角为 45。半径为1的一段弧.P沿着圆周转过45。时，点Q走过的如图2,四边形PMO遑矩形，对角线MNf OP互相平分且相等，因此点Q是OP的中点.如图 3,当/ DOP= 45° 时，D'Q 的长为 lx2n1=-84图2图37 .函数图像：如图7,直线l与半彳仝为4的。相切于点A, P

20、是。上一个动点（不与点 A 重合），过点P作PB± 1,垂足为B,联ZPA设PA= x, PB= v,则（xy）的最大值是 .答案2 .思路如下：拖动点P在圆上运动一周，可以体验到，AF的长可以表示xy,点F的轨迹象两叶新树丫，当AF最大时，OF与AF垂直（如图2）.如图3, AC为O O的直径，联结PC由 ACPo PAB 彳导处=PA ,即 8 =）.所以 y =1 x2 .AP PB x y81 o 1 o因止匕 xy=xx =_（x -4） +2.88所以当x=4时，x y最大，最大值为2.【课后练习】1 .如图1,在 ABC中，AB=4, BC= 6, / B= 60

21、76; ,将 ABC沿射线BC方向平移2个单位 后，得到 ABC',联结AC 则 ABC的周长为.（答案12 ）2 .如图2,已知在矩形 ABCD中，点E在边BC上，BE= 2CE,将矩形沿着过点 E的直线翻折 后，点C、D分别落在边BC下方的点C'、D处，且点C'、D'、B在同一条直线上，折痕与边 AD交于点F, DF与BE交于点G.设AB= t,那么 EFG的周长为 （用含t 的代数式表示）.答案 273t.思路如下：如图2-1 ,等边三角形EFG勺高=AB= t,计算得边长为晅t .3 .如图3,在 ABC中，AB=AC= 5, BC= 4, D为边 AC

22、上一点，且 AD=3,如果 ABD绕 点A逆时针旋转，使点 B与点C重合，点D旋转至D',那么线段DD'的长为.一 12答案 上.思路如下：如图 3-1 ,由 AB6 ADID,可得.5： 4=3： DD.54 .如图4,正方形 ABCD的边长为3cm, E为CD边上一点，/ DAE= 30° , M为AE的中点， 过点M作直线分别与 AD、BC相交于点P、Q.若PQ=AE,则AP的长等于 cm.答案1或2.思路如下：如图 2,当PQ= AE时，可证PQ与AE互相垂直.在 RtADE中，由/ DAE= 30 , AD= 3,可得 AE= 2代.在 RtAAPM,由/

23、PAIM= 30 , A阵 向 可得 AP= 2.在图 3 中，/ ADF= 30° ,当 PQ= DF时，D4 2,所以 A2 1 .5 .将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ABCQ转动这个四边形，使它形状改变.当/ B=90°时，如图5-1,测得 AC= 2.当/ B=60° 时，如图 5-2, AC等于（）.(B)2；图5-1(A) . 2 ;图5-2(C) J6 ;答案（A）.思路如下：拖动点A绕着点B旋转，当/ B= 90。时，是等腰直角三角形；当/ B= 60°时， ABC是等边三角形（如图 3）.ABCE,与边16.如图6,

24、在矩形 ABCD中，AD=8, E是AB边上一点，且 AE= - AB,4O O经过点CD所在直线相切于点 G（ / GEB为锐角），与边AB所在直线相交于另一点F,且 EG：EF= V5 :2,可以得到Ehh 4.r2 = 42+(8 r)2.解得 r = 5.此时AB= 12.图2图42.当边AD或BC所在的直线与。相切时，AB的长是答案12或4.思路如下：拖动点B运动，可以体验到，O O的大小是确定的，O O既可以与BC相切（如图3）, 也可以与AD相切（如图4）.如图 2,在 RtAGEHH,由 GH= 8, EG： EF=痣在RtAOEH,设。O的半径为r,由勾股定理，得设 AE= x,那么 AB= 4x.如图3,当。O与BC相切时，HB= r=5.由 AB= AE+ EHF HB 彳导 4x = x+4+ 5,解得 x=3.如图4,当。O与AD相切时，HA= r=5.由 AE= AH- EH 彳导 x=5-4= 1.此时 AB= 4.7.如图所示，在RtABC中，/ C=90° , / BAC=60 ,AB=8.半径为3的。M与射线 BA相切,切点为N,且AN=3.将RtAABC顺时针旋转120°后得到RtADE,点B,C的对应点分别是点 D,E.