2018高考全国2卷理科数学带详细标准答案

1、个人收集整理仅供参考学习14 / 12绝密启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己地姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在 条形码区域内.2 .选择题必须使用 2B铅笔填涂；非选择题必须使用 0. 5毫米黑色字迹地签字 笔书写，字体工整、笔迹清楚 .3 .请按照题号顺序在各题目地答题区域内作答，超出答题区域书写地答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效 .4 .作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹地签字笔描黑5 .保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、

2、修正带、刮 纸刀.、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出地四个选项中，只有项是符合题目要求地 .b5E2RGbCAP1 2i _1 -2i4.i D.5一3，i5 52.已知集合 A=(x,y)|x2 +y2 W3,xWZ,yWZ,则A中元素地个数为A. 9B. 8C. 5D. 4x-x4.已知向量 a , b满足 |a| =1 , a b = 1 ,则 a (2ab) =A. 4B. 3C. 2D. 0 225.双曲线 勺-,=1(a A0,b>0)地离心率为73,则其渐近线方程为 a b6.7.A. y=±%：2xB. y=：bJ3xC. y=

3、7;在4ABC中,C 5 cos-=,BC =1A, 4&B. <30 C, 72912xD- y=±AC=5 ,则 AB =1114 川 99一10。设计了右侧地程3-x2序框图，则在空白框中应填入A . i =i +1B. i =i +2C. i =i +3D. i =i +48.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想地研究中取得了世界领先地成果.哥德巴赫猜想是每个大于2地偶数可以表示为两个素数地和“，如300您.在不超过30地素数中，随机选取两个不同地数，其和等于30地概率是plEanqFDPwA.B. C. D.121415189 .在长方体 ABCD ABGD1中,A

4、B =BC =1 , A=氐，则异面直线 AD1与DB1所成角地余弦值为A 1B,巫c,塞d.巨 565210 .若f (x) =cosx sinx在-a,a是减函数，则a地最大值是A.11 .已知f (x)是定义域为(q,十对地奇函数，满足f (1x) = f (1+x).若 f (1) = 2 ,则 f (1) f (2) f(3) J| f(50)=A. -50 B. 0C. 2D. 50 2212 .已知Fi, F2是椭圆C: +当=1(ab A0)地左，右焦点，A是C地左顶点，点 P在a b过A且斜率为£3地直线上，PFF2为等腰三角形，/FF2P =120> 则C地

5、离心率为6A. 2 B.32C-二、填空题：本题共1D 13 , 44小题，每小题5分，共20分.13 .曲线y=2ln(x+1)在点(0, 0)处地切线方程为14 .若x, y满足约束条件x+2y -5> 0,x 2y +3> 0,贝U z =x +y地最大值为x-5< 0,15,已知 sin a+cos 3=1cosa+sin 3=0,贝U sin(a+ 3)16 .已知圆锥地顶点为 S母线SA, SB所成角地余弦值为 工，SA与圆锥底面所成角为45。,8若4SAB地面积为5薪5,则该圆锥地侧面积为DXDiTa9E3d三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或

6、演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题.考生根据要求作答.RTCrpUDGiT(一)必考题：共 60分.17. (12 分)记S为等差数列an地前n项和，已知a1 =-7, S3 =15.(1)求an地通项公式；(2)求S ,并求S地最小值.18. （12 分）卜图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 y (单位：亿元)地折线图.2000 2001 2002 200S2004 2005 2006 2007 200® 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 年份R06O如20008060朝200-

7、 B - I - - - - - -为了预测该地区2018年地环境基础设施投资额，建立了 y与时间变量t地两个线性回归模型.卞据2000年至2016年地数据(时间变量 t地值依次为1,2,|,17)建立模型：?=40.4+13.5t ;根据2010年至2016年地数据(时间变量t地值依次为1,2,|,7)建立模 型：？ =99 + 17.5t . 5PCzVD7HxA(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年地环境基础设施投资额地预测值；(2)你认为用哪个模型得到地预测值更可靠？并说明理由.19. (12 分)设抛物线C： y2 =4x地焦点为F ,过F且斜率为k(k >0)地直线l与

8、C交于A , B两点,|AB|=8.(1)求l地方程；(2)求过点A , B且与C地准线相切地圆地方程.20. (12 分)如图，在三棱锥 PABC中，AB=BC=2夜，PA =PB =PC =AC =4 ,。为 AC 地中点.(1)证明：PO，平面ABC ；(2)若点M在BC上，且二面角M PA C为30%求PC与平面PAM所成角地正 弦值.21. (12 分)已知函数f (x) =ex ax2.(1)若 a=l ,证明：当 x> 0时，f(x)>1 ；(2)若f (x)在(0, -He)只有一个零点，求 a.(二)选考题：共 10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多

9、做，则按所做地第一 题计分.22. 选彳4 4:坐标系与参数方程(10分) . x=2cos 0.、在直角坐标系xOy中，曲线C地参数方程为x，(。为参数)，直线l地参数方j=4sin 0,铲小 卜=1丑cos % 小关米八程为d(t为参数).y =2 +tsin %(1)求C和l地直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段地中点坐标为(1,2),求l地斜率.23. 选彳4- 5:不等式选讲(10分)设函数 f (x) =5 | x+a | _| x _2 |.(1)当a=1时，求不等式f(x)>0地解集；(2)若f (x) < 1 ,求a地取值范围.绝密启用前2018年普通高等

10、学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1.D2.A3.B4. B5. A6. A7.B8.C9.C10. A11 . C12. D二、填空题13 . y=2x 14. 915. -116. 40727t三、解答题17 .解：(1)设an地公差为d,由题意得3a1+3d=15.由 a1 = 7 得 d =2.所以an地通项公式为an = 2n -9 .(2)由(1)得 Sn =n2 _8n =(n -4)2 -16 .所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为-16.18 .解：(1)利用模型，该地区 2018年地环境基础设施投资额地预测值为? = _30.4 +13.5父19 = 2

11、26.1 (亿元).利用模型，该地区 2018年地环境基础设施投资额地预测值为y? = 99 +17.5 M 9 = 256.5 (亿元).(2)利用模型得到地预测值更可靠.理由如下：(i )从折线图可以看出，2000年至2016年地数据对应地点没有随机散布在直线y= T0.4 +13.5t上下.这说明利用2000年至2016年地数据建立地线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额地变化趋势.2010年相对2009年地环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年地数据对应地点位于一条直线地附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额地变化规律呈线性增长趋势，利用 2010年至2016年

12、地数据建立地线性模型? =99十17.5t可以较好地描述2010年以后地环境基础设施投资额地变化趋势，因此利用模型得到地预测值更可靠.jLBHrnAILg(ii)从计算结果看，相对于2016年地环境基础设施投资额220亿元，由模型得到地预测值226. 1亿元地增幅明显偏低，而利用模型得到地预测值地增幅比较合理.说明 利用模型得到地预测值更可靠.xHAQX74J0X以上给出了 2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19.解:(1)由题意得F(1,0)l 地方程为 y = k(x1)(k >0).设 A(Xi,yi),B(X2,y2)由尸,得k2y =4x_ 22-(2k +

13、4)x + k =0.2k2 4k2yo = -x0 5,(x。1)2=(y0-X0 1)22解得16.x0 =3,x0 或«y0 = 2y°= 11,=-6.21 =16k +16 a 0 ,故 x1 +x2 =.2.4k 4所以 | AB |=| AF | | BF | = (x1 1) (x2 1)k,24k 4由题设知 =8,解得k = 1 (舍去)，k =1 .k2因此l地方程为y = x -1 .(2)由(1)得AB地中点坐标为(3,2),所以AB地垂直平分线方程为 y-2 = -(x-3),即y = x+5 .设所求圆地圆心坐标为 (x0,y0),则2222因

14、此所求圆地万程为(x-3) +(y2) =16 或(x11) +(y+6) =144.20.解：(1)因为AP =CP =AC =4, O为AC地中点，所以OP _L AC ,且OP = 2向.连结OB ,因为AB = BC =eAC ,所以ABC为等腰直角三角形,21 -且 OB _L AC , OB =AC =22,由 OP2 +OB2 =PB2知 PO _LOB .由 OP _LOB,OP _L AC 知 PO_L平面 ABC .uur(2)如图，以O为坐标原点，OB地方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz._ uuu一由已知得 O(0,0,0), B(2,0,0), A(0,

15、-2,0),C(0,2,0), P(0,0,2 J3), AP = (0,2,2 Q)，取uur平面PAC地法向量OB = (2,0,0).uuur设 M(a,2 -a,0)(0 <a <2),则 AM =(a,4a,0) .设平面PAM地法向量为n =(x, y,z).4 uu uuur c2y2、3z =0由 APn =0, AMn =0得<2y2 z 0，可取ax (4 -a)y = 0n (>/3(a 4), V3a, a),所以cos心B,n)=2出("4 由已知得um cos OB, n2,3(a-4)2 3a2 a22 ,v 3 1a - 4|、

16、j34所以一=.解得a = H (舍去)，a = .2,3(a -4)2 3a2 a2238,3 4.34 uuruuu :, 3所以 n =(上,_).又 pc =(0,2, 2拘，所以 cos(PC,n)=.3334所以PC与平面PAM所成角地正弦值为21.解：(1)当 a=1 时，f(x)至 1 等价于(x2 +1)e -1<0.设函数 g(x) =(x2 +1)e* -1 ,则 g'(x) = (x22x+1V = (x1)2e0 .当x#1时，g'(x) <0,所以g(x)在(0,收)单调递减.而 g(0)=0,故当 x"时，g(x)<0,

17、即 f(x)>1.(2)设函数 h(x) -1-ax2e".f(x)在(0,y)只有一个零点当且仅当 h(x)在(0,依)只有一个零点. 当aW0时，h(x)A0, h(x)没有零点；(ii)当 a>0时，h'(x) =ax(x2)e".当 x w (0,2)时，h'(x) <0 ；当 xw (2, f)时，h'(x) >0 .所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,+9)单调递增.-一 4a故h(2) =1 -r是八在0,收)地最小值.e2e一若h(2) 。，即a<上，h(x)在(0,乜)没有零点;42若h(2) =

18、0,即a=e-, h(x)在(0,收)只有一个零点;42若h(2) <0,即aJ,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一个零点, 4由(1)知，当x >0时，ex a x2,所以h(4a) =1 -16a34a ed 16a3二 1 一 1 (e2a)2>1 一维= 1>0.(2a)4 a故h(x)在(2,4a)有一个零点,因此h(x)在(0,+/)有两个零点.2综上，f (x)在(0,)只有一个零点时，a=e. 422.解： 22(1)曲线C地直角坐标方程为土+匕=1. 416当cosa#0时，l地直角坐标方程为 y = tanu x + 2-tana ,当c

19、osa=0时，l地直角坐标方程为 x = 1.(2)将l地参数方程代入 C地直角坐标方程，整理得关于t地方程(1 +3cos2 a)t2 +4(2cosa +sina)t -8 =0 .因为曲线C截直线l所得线段地中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t1乜2 = 0 .4(2cos '： .sin -:),l地斜率又由得L +t2 = 一(2) ,故2cosa十sina = 0 ,于是直线1 3cos2 ：k =tana = -2 .23.解：2x 4, x - -1,(1)当 a =1 时，f (x) =<2, 1 <x <2,-2x+6,x >2.可得f

20、(x)之0地解集为x|2EXE3 .(2) f(x)«1 等价于 |x+a|+|x2 住4.而|x+a|+|x2闫a+2|,且当x = 2时等号成立.故f(x)S等价于|a + 2|之4.由|a +2m4可得a w-6或a 之2,所以a地取值范围是(吧,6|J2,).21 (12 分)已知函数f(x)=exax2.(1)若 a =1,证明：当 x 之0 时，f(x) >1 ；(2)若f(x)在(0,也)只有一个零点，求 a .解：(1)f(x)=ex2x, f"(x)=ex2.当 x <ln2时，f "(x) <0 ,当 xln2 时，f “(x

21、) >0 ,所以 f '(x)在(g,ln 2)单调递减，在(In 2,y)单调递增，故 f '(x) > f '(ln 2) = 2 2ln 2 >0 , f (x)在(-«,)单调递增.因为x20 ,所以f(x) > f(0) =1 .xe. .2.-(2)当 x >0时，设 g(x) =- -a ,则 f(x) =x g(x) , f (x)在(0,y)只有一个零点 x等价于g (x)在(0,y)只有一个零点.-ex(x-2)g (x) = 、3 / ,当 0 cx <2 时，g (x) <0 ,当 x >

22、2 时，g (x) >0 ,所以 g(x)在(0,2) x2单调递减，在(2, F)单调递增，故g(x) >g(2) =-a .42e e右2< ，则g(x)A0, g(x)在(0,收)没有零点.42e .一 , 一右2= 一，则g(x)圭0 g(x)在(0,七)有唯一零点x=2.4e22. .ex1.右 a a ,因为 g(2) <0 ,由(1)知当 x>0 时，e > x +1, g(x)=-a>+1-a,4x x故存在 Xi W(0, J,)J(0,2),使 g(Xi) >0. a -14aeg(4a)-a16a4ae2 - a16a2版权

23、申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes someparts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership. LDAYtRyKfE用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律 地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面 许可，并支付报酬.Zzz6ZB2LtkUsers may use the contents or services of this article for personal study, research or appreciation, and other non-commercial or non-profit purposes