三角形“四心”与向量的完美结合(精.选)

1、三角形的“四心”与向量的完美结合三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一.知识点总结1)。是ABC的重心 OAOB OC 0；。是ABC的重心，则S BOC1S AOC S AOB - S ABC3OAOB OC0； ;故uuur uuu uuu uuinPG 1(PA PB PC)3G为ABC的重心.word.2)O是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA ；。是 ABC （非直角三角形）的垂心,则 S BOC : S AOC : S AOB tan A :tan B : tan C故 tan AOA tan BOB tan COC 03)2O是 ABC 的

2、外心 |OA| |OB| |OC|(或 OA2OB2OC)。是ABC的外心则S BOC： S AOC： S AOB sin BOC：sin AOC：sinAOBsin 2A : sin 2B : sin 2c故 sin2AOA sin 2BOB sin 2COC 04)O是内心 ABC的充要条件是OA (B- C) OB (|AB | ACBA|BA |裔）OC窝。引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 AB，BC，CA的单位向量为e1©©,则刚才o是ABC内心的充要条件可以写成0A （e1e3) OB (eie2)OC (e2 e3)0。是 ABC内心的充要条件也可以是a

3、OA bOB cOC若。是ABC的内心，则SBOC -AOC : S AOB a ： b ：故aOAbOB cOC 0或sin AOAsin BOBsinCOC 0；uuu uuur |AB|PCuuin urn uurr uuu r|BC|PA |CA|PB 0 PABC的内心;uuinuuu向量(AB uuC)( |AB| |AC|0）所在直线过 ABC的内心（是BAC的角平分线所在直线）；范例（一）.将平面向量与三角形内心结合考查例1.O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP OA （AB AC轨迹一定通过 ABC的（AB AC)（A）外心（B）内心（C）重心

4、（D）垂心一 AB 一 ,一解析：因为空是向量AB的单位向量分别为e1和e2uuirAB的单位向量设uuu uurAB与AC方向上又 OP OA平分 BAC ,那么在 ABC 中，AP平分AP ,则原式可化为BAC ,则知选B.0, 则P点的 AB点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生” ，首先iAB是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它AB的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2.H是 ABC所

5、在平面内任一点，HA HB HB HC HC HA 点H是 ABCW垂心.由 HA HB HB HC HB (HC HA) 0HB AC 0 HBAC,同理HC AB , HA BC .故H是 ABC勺垂心.（反之亦然（证略）例3.（湖南）P是 ABC所在平面上一点，若 PA PBPB PC PC PA,则P是 ABC的(D )A.夕卜心B.内心C.重心D.垂心解析：由 PA PB PB PC得 PA PB PB PC0.即 PB (PA PC) 0,即PB CA则 PB CA,同理 PA BC, PCAB三角形垂心定义等相关知识等相关知识巧妙结合。所以P为 ABC的垂心.故选D.点评：本题考

6、查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4.G是 ABC所在平面内一点， GA GB GC =0 点G是ABC勺重心.证明 作图如右，图中 GB GC GE连结BE和CE贝U CE=GB BE=GC BGC时平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线将 GB GC GE代入 GA Gb Gc =0,得GA EG =0 GA GE 2GD ,故6是4 ABC勺重心.（反之亦然（证略）例5.P是 ABC所在平面内任一点.G是 ABC勺重心1 PG -(

7、PA PB PC).证明PG PA AGPBBG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC) GA GB GC =0AGBG CG =0,即 3PG PAPB PC由此可得-1PG (PA3PBPC）.（反之亦然（证略） uuu uuur uuurr例6若O为A.内心心ABC 内一点，OA OB OC 0uuu解析：由OAuuirOBB .外心D.重心 uur r uuu uuur OC 0得 OB OC是ABC的（C.垂uuu OA,如图以uuuuuuruuur四边形，则OBOCOD ,由平行四边形性质知uuinOE1 uuur-OD , |OA 2OEOOB OC为相邻

8、两边构作平行CED证其它两边上的这个性质，所以是重心，选 Db-。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三内分点，所分这比为点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的1角形重心性质等相关知识巧妙结合。（四）.将平面向量与三角形外心结合考查例7若O为ABC内一点,uuuOAuuurOC ,则。是ABC的（A.内心B .外心C.垂心D.重心解析：由向量模的定义知 O到 ABC的三顶点距离相等。故 O是 ABC的外心 ，选R 点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。（五）将平面向量与三

9、角形四心结合考查例 8.已知向量 OP1 , OP2 , OP3 满足条件 OP1 +OP2 +OP3 =0, | OP1 |=| OP2 |=| OP3 |=1 ,求证 RF2B是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五 B组第6题）1证明 由已知OPi+OP2=-OP3 ,两边平方得 OPi - OP2 =-,一 一 一 一 1同理 OP2 - OP3 =OP3 - OP1 =-, 2| PP2|=| P2P3|=| P5|= J3,从而 P1P2P3是正三角形.反之，若点 O是正三角形 P1BR的中心，则显然有 OP1 +OP2+OP3 =0且10Pl |=| OP2|=| OP3|.

10、即O是 ABC所在平面内一点,OPi +OP2 +OP3 =0 且| OPi |=| OP2 |二| OP3 | 点 O是正 PiP2P3的中心.例9.在 ABC中，已知Q G H分别是三角形的外心、 重心、垂心。求证：Q G H三点共线，且QG:GH=i2设 A(0,0)、B (xi,0)、C(X2,y 2),【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。D E、F分别为AR BG AC的中点，则有：D 碍,07（一由题设可设Q（xL,y3）、2 F(X2yr)G( uuuu AHX2uuur(X2,y4)QFXi y2,2 2y3)uurBC(X2 Xi,y2)uu

11、uu uurQAH BC uuuu uuurAHy，?BC x2(x2X2(X2 Xi)Xi)y 2y4y2uuinQQFuuinuuuuACuuiuQF ?ACxx2(2y3X2(X2 Xi)2y 2?)y22y3)uuurQH(X2Xiy3)(2X22Xi3x 2(x 2Xi)2y2yr)uuurQG（汽XiXiy 23y3）（2x26Xi _y2,3X2(X2 Xi)(2X2 Xi63x 2 (x 2Xi)2y23x 2(x 2Xi)6y22y2i uuuu =，QH3uuuu uuir即QH =3QG，故Q G H三点共线，且 QG GHM： 2【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代

12、数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形 式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、 共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。例i0.若。H分别是 ABC勺外心和垂心.求证 OH OA OB OC .证明 若 ABC勺垂心为H,外心为 O,如图.连BO并延长交外接圆于 D,连结AD, CDAD AB , CD BC .又垂心为 H, AH BC , CH AB ,.AH/ CD CH/ AD四边形AHCD；平行四边形，AH- DC DO OC ,故 OH OA AH OA OB OC .著名的“欧拉定理”讲的是锐

13、角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位置关系：(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线”；(2)三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到 外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题例11. 设Q G H分别是锐角 ABC勺外心、重心、垂心.求证 OG 1OH 3证明按重心定理 G是 ABC勺重心'OG 1(OA OB OC)3按垂心定理OH OA OB OC1 由此可得 OG OH . 3补充练习1 .已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足OP =- ( -OA

14、+ -OB+2OC),则点 P一定为三角形 ABC的(B )3 22A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点1 1 一 1 1. B 取 AB 边的中点 M,则 OA OB 2OM ,由 OP = ( 一 OA + OB +2 OC )可得32223OP 3OM 2MC , MP -MC ,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不3过重心，故选 B.uuur uuuuuu uuuuiu uuuur uuuuuLr uluiilu222222 一 .2 .在同一个平面上有abc及一点o满足关系式：0a + BC =OB + CA = OC +

15、AB，则O为ABC的A 外心 B 内心 C 重心2 .已知 ABC的三个顶点A、B、( D )D 垂心UUL LUUC及平面内一点P满足：PA PBuluPC( C )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心3 .已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满足:OP OA (AB AC),则P的轨迹一定通过 ABC的A 外心4.已知uuu uuuPA? PCB 内心 C 重心 D 垂心ABG P为三角形所在平面上的动点，且动点 P满足:uuu uuu uuu uuurPA?PB PB?PC 0 ,则P点为三角形的夕卜心B 内心 C 重心 D 垂心uuruuuuiur5.已

16、知ABG P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：a PA b PB c?PC0,P点为三角形的B夕卜心B 内心重心 D垂心角形ABC中P满足：2CA2CB2AB?CP则P点轨迹一定通过 ABC的：B )外心B 内心重心 D垂心一一 AB AC7.已知非零向量A BfACf足(+ )一 AB- BC=0且 |AB|AC 1|ACI则4ABC为()A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形uuuuiurD.等边三角形解析：非零向量与满足(-UUuLAuC) =0,即角a的平分线垂直于|AB| |AC|BC, AB=AC,又 COSAuuur uuurAB AC 1 uuur uuur = | AB| | AC | 2Z A=-,所以 ABE等边三角形，选 D.8. ABC的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, OHm(OA OB OC),则实数m =9.点。是三角形ABC所在平面内的一点，满足 OA OB OBOC OC OA ,则点。是 ABC 的(B )(A)(C)三个内角的角平分线的交点 三条中线的交点(B)(D)三条边的垂直平分线的交点 三条高的交点10.如图1,已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB,AC两边分别交于uuuv