【市级联考】安徽省合肥市2019届高三一模数学(理)试题(解析版)

1、合肥市2019年高三第一次教学质量检测数学试题（理科）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，E=-7,则复数二的虚部为（）.1十1A.B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】本道题结合复数的运算，化简z,计算虚部，即可。4-i）【详解】z = = L= 22,故虚部即为i的系数，为-2,故选D。1+1 （1 -1X1-1）2【点睛】本道题看考查了复数的化简，考查了复数的意义，关键在于化简z,属于较容易的题。2 .集合 A = 巾*-k2 W 0，旧=1x|xXO,则AUB=（）.A

2、.:：I ： B. . ,1, I:C. .'.-t ：-：> : D.:【答案】C【解析】【分析】先化简集合A,B ,结合并集计算方法，求解，即可。【详解】解得集合 A=xl（x-2）（x+ l）<0 i = xl-l<x<2 ,B=x|xl 所以 RUB = kxW2 ,故选 C。【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B ,难度较小。3 .执行如图所示的程序框图，则输出口的值为（）./呼/【一柬）A. 63 B. 47 C. 23 D. 7【答案】C【解析】【分析】本道题不断的代入i,n ,直到23,退出循环，即可。【详解

3、】n=15,i=2不满足条件，继续循环，得到n=11,i=3不满足条件，继续循环，n=23,i=4,满足条件，退出循环，输出n,即可。故选Co【点睛】本道题考查了程序框图的意义，关键找出当对应的n,输出，即可，难度较容易。4 .已知正项等差数列的前n项和为*（nEN* ）,町+ %-得=。，则加的值为（）.A. 11 B. 12 C. 20 D. 22【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，结合 1与4 1 = 2%，*nT = Q口 D%,代入，即可。【详解】结合等差数列的性质，可得而因为该数列为正项数列，可得%”,所以结合为1 = 3-1可，可得访1= 11维=22,故选Do【点

4、睛】本道题考查了等差数列的性质，关键抓住1 %4 =2airS2n_1 = （2n I）、，即可，难度中等。5 .已知偶函数 也）在6十回 单调递增，则对实数 鼻上3匕是（&）%£&）的 （）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】由函数的单调性以及充分条件和必要条件的定义即可判定出结果【详解】因为为偶函数，且在0,十8)单调递增，所以函数f(x)在一0单调递减，且函数Rx)关于y轴 对称.若3 0-4b时，根据函数单调性可得f(a)<f(b),即4卜f口,所以由a Ah不能推出;若心) >他)，根

5、据函数的单调性可得：间 >也|,也不能推出a>b,综上，a > b是f(a) >的既不充分也不必要条件 .故选D【点睛】本体主要考查充分条件和必要条件的判定，结合函数的单调性即可作答，属于基础题型6 .某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是().注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.互联网行业从业人员中A.90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的

6、人数 90后比80前多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多本道题分别将各个群体的比例代入，即可。【详解】A选项，可知90后占了 56%,故正确；B选项，技术所占比例为 39.65%,故正确；C选项，可知90后明显比80多前，故正确；D选项，因为技术所占比例，90后和80后不清楚，所以不一 定多，故错误。故选 D。【点睛】本道题考查了统计方面的知识，关键抓住各个群体的比例，逐一分析，得出结论，即可，难度较 容易。7 .平面口外有两条直线3,它们在平面口内的射影分别是直线n,则下列命题正确的是（）.A.若 a_Lb,则 mJ_n B.若 mJ_n,贝 UalbC.若则a/b D. 若

7、in和n相交，则a和b相交或异面【答案】D【解析】【分析】本道题可以通过发挥空间想象能力，对每个选项逐一排除，即可。【详解】A选项，若日J_b,则m不一定垂直n,可能m,n的夹角为钝角或者锐角，故错误；B选项，若mJ_n,则a不一定垂直b,可能a,b夹角为钝角或锐角，故错误；C选项，若m平彳T n,则a与b可能异面，故错误；D选项，若m和n相交，可能a在b的上方，此时异面，a与b也可能相交，故正确。故选D。【点睛】本道题考查了空间直线与直线的位置关系，关键发挥空间想象能力，逐一排除答案，即可，难度 中等。8 .若展开式的常数项为 60,则a值为（）A. B. 土， C. D.【答案】D【解析】

8、【分析】由二项式展开式的通项公式写出第 k十1项，求出常数项的系数，列方程即可求解.【详解】因为（ax.耳”展开式的通项为丁二备6飞-*-l）kxW = dai（-1）4型，令6-k =。，则k = 4,所以常数项为1）* = 60,即 15了 = 60,所以a= ±2.一故选D【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项展开式的通项即可求解，属于基础题型().9 .如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为/- r-A816A. 2，.二 B. C. D. y'333【答案】C【解析】【分析】本道题结合三视图，还原直观图，计算体积，

9、即可。【详解】结合三视图，还原直观图，得到故体积为h,即可，难度中等。1, 2, 3, 4, 5的五个小球, 次取出的两球号码连号，.若与第一次取出的两个小球三棱锥P-ABC即为该几何体，结合题意可知 AB=4 , AC=2 ,高h为2,1 1 18V =AB AC h = - - 4 2 2 = -,故选 C。3 23 23，1【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，计算体积关键抓住10 .某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一 则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球号

10、码相同，则为中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为（）.A.19 B.23C.41100【答案】C【解析】【分析】本道题分别计算两种情况对应的概率，分别相加，即可。4 2【详解】分两种情况，第一种第一次摸到连号，则概率为P(A) = f=£,第二种情况对应概率为5Cj-4 32 3 23P(B) - - -,所以概率为 RA) + P(B)=+=,故选 C°娱或 5。5 50 50【点睛】本道题考查了排列组合，考查了古典概率问题，难度中等。2211 .设双曲线u三-4= 1 (->0, b>0)的左、右焦点分别为F过F的直线分别交双曲线左右两支于点N ,a&qu

11、ot; b连结MF-NF?,若明，阿0"煽=|道，则双曲线C的离心率为().A. . B. . C. . D.【答案】B【解析】【分析】本道题设|MF= x,利用双曲线性质，计算x,结合余弦定理，计算离心率，即可。【详解】结合题意可知,设|MF=&则|NF=xjMN| =&x,则结合双曲线的性质可得,II - ''二 一 . 川%代入，解得工=2ma，所以=方十 22a,|NF2| = 22a qFNI% = 45°对三角形FiNFw运用余弦定理，得到0十2缶十-(2c尸=2(2a十2用磷2及acos450,解得c =2=/1:1故选B.【点

12、睛】本道题考查了双曲线的性质，考查了余弦定理，关键利用余弦定理，解三角形，进而方t算x,即可,难度偏难。12 .已知函数f(x) =；a/-2x十Inx有两个不同的极值点X, x?,若不等式 6 f(xj*恒成立，则实数L的取值范围是().A. |B. ! 3 , ' : C. <- D. :.-：【答案】A【解析】【分析】本道题计算导函数， 结合存在两个不同的极值点，计算a的范围，构造新函数虱a),计算最值，得到，的范围,即可。1 + 1【详解】计算导数得到 底x) = 2-2 + -=,结合kX构造新函数得到XXhg = 2"，2x+要使得f(x)存在两个不同的极值

13、点 河吗，则要求h(x) = O有两个不同的根，且2 1】一X. x3 = >。，的乂2=> 0,贝=斛得。2一，而-2台2a2,33I*xj-i *x9 = hK -2Xj i lnx1 I ax2 -2xI i-1畛=辄勺 + 当)-2ax1x2-2(xl I xq-Mx?=ln2a- 1 ,构造新函数 ag(a) = -ln2a-l,计算导数得到g'®= = ,结合前面提到的a的范围可知 g在| J)单调递增，故&ay Vg(a) <g() =,因而兀兰-3 ,表不为区间则是-工-，故选Ao【点睛】本道题考查了导函数与原函数单调性关系，考查了利

14、用导函数计算最值，难度偏难。第II卷(共90分)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上).x > 013.设XC满足约束条件0 ,则=2x-y的取值范围为 .x- y-3 < 0【答案】【解析】【分析】结合不等式组，绘制可行域，计算z的范围，即可。【详解】结合不等式组，绘制可行域，得到转化目标函数，得到y =2k£,A(O,I)SG0),从虚线平移，运动到A点,z取到最小值，为-1,运动到C点，z取最大值，为-6,故z的范围为(T【点睛】本道题考查了线性规划问题，关键绘制可行域，转化目标函数，计算z的范围，即可，难度中等。r r Tf f T T |a-Fb

15、|14 .若非零向量a,b满足a J. (a -I- 2b),则v -.陶【答案】1【解析】【分析】 先由；1向+北表示出的数量积，再由向量模的公式即可求解【详解】因为非零向量已满足；十位,所以6+而=。，即肾-齿吊=o,所以 2a 6 = - al", 因此j 二 |b|故答案为1【点睛】本题主要考查向量的数量积和向量模的计算，熟记数量积的运算公式和向量模的公式即可求解, 属于基础题型.15 .在锐角AABC中，BC = 2? sinB+sinC = 231nA ,则中线AD长的取值范围是 【解析】【分析】本道题运用向量方法，计算 AD的长度，同时结合锐角三角形这一条件，计算bc的

16、范围，即可。【详解】设AB = 2c = b, BC = a = 2 ,对与inB-3inC =为mA运用正弦定理，得到b + c=2a = 4,解得c = 4-h,结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组fb2 + c2 = b2 + (4- b)2>4355c2 + 4 -(4- b)3 -I- 4 >b2，解得-<b< -,故l?c = b(4 . b) = - b2-f 4h,结合二次函数性质,得至U <be < 4 ,运.2.a 224tT _ 4 > cI = (4 - b)E一 口，Li - I1 1用向量得到 ad = 3(ab - ac

17、),所以 ,=- 4 =窃-4氏,结合bc的范围，代入，得到I心|的范围为祗苧【点睛】本道题考查了向量的加法运算，考查了锐角三角形判定定理，考查了二次函数的性质，关键将模长联系向量方法计算，难度偏难。16 .在平面直角坐标系 出灯中，点(2". )( n E N ),记%!-"2nA2n_的面积为$口，则i = 1【解析】【分析】 本道题结合错位相减法，计算结果，即可.【详解】结合题意,得到A2n. Q加/(产,2项八配_ i(22n " Q),所以该三个点组成的三角形面积为13s = - 3 22n'1 2n = 3n 22'1-1,对面积求和设

18、 2& =或得到 i = 1Tn = 3 - 21 + 3 - 2 2 . 3n 2211-1 23Tli = 3 23 + . + 3(n- !)- 2211-1 I 3n- 22n+1两式子相减，得至IJ - 3Tn = 3-2 3 2, 斗.1-3 卢-3n -产，1 = 4”(2 - 6n) - 2 ,解得Z、= Tn = 2n-*W-1 i-i''【点睛】本道题考查了错位相减法，关键计算出三角形面积，求和，即可,难度偏难.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知函数 f(x) =+(I )求函数f(x)的最小正周期;【解析】(I)结合三角函

19、数两角和公式,化简£(工),结合T = 一,计算周期，即可.(II)判定2汉+工的范围，计算，结合余弦函数两WD角差公式，计算，即可.【详解】(I ) = £0= cos2x 匕同-晨必=与n2 222，函数f(x)的最小正周期为I=7L.1Tl 1(n)由f(u) = g可得，与词严 , =-.【点睛】本道题考查了三角函数两角和与差公式，关键化简三角函数，难度中等.18.在四棱锥 P-ABCD 中，BC = BD = DC=2而，AD = AB = PD = PR = 2(n )当平面PED 1平面ABCD时，求二面角C-PD-H的余弦值.【答案】(1)见解析；(2)匚.

20、13【解析】【分析】(II)建立空间坐标(I)结合平面与平面平行判定，得到平面BEM平行平面PAD,结合平面与平面性质，证明Z论.系,分别计算平面PCD和平面PDB的法向量，结合向量数量积公式，计算余弦值，即可.【详解】(I )取匕口的中点为M,连结EM, BM.由已知得，BCD为等边三角形，BM 1 CD. AD = AB = 2, BD = 2布，-YDE = EABD ,Z./VDC =90a ,BWAD.又EMH平面PAD, AD仁平面PAD,.BM/平面 PAD. .E为PC的中点，M为CD的中点，. EM/PD.又EM仁平面PAD, PDu平面PAD,EM / 平面 PAD. EM

21、 Pi BM = M.平面 BEM / 平面 PAD.,BE 匚平面 BEM, BE/平面 PAD.(n)连结A_C,交BD于点O,连结PO,由对称性知，。为BD的中点，且ACBD, PO±BD平面 PBD 1 平面 AB CD, PO 1 BD ,，？0_1_平面相03, PO = AO=I, 8 = 3.以。为坐标原点，6b的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系 。乂¥工.则D(0, ,布,0), C(3, 0, 0), P(0, 0,1).易知平面PBD的一个法向量为111Ma 0.0).设平面PCD的法向量为冗=(乂y. Z),则叫 1DC, n:-LDP,伫-DC

22、 = O-C = (3, G 0), R = (0. %瓦 1), 华工+岛=°c05(n|R=:' J N'|n2| 四13设二面角5口口-：6的大小为1100人，通过问询的方式得到他们在一周内的皿 U13贝 U cosS =13本道题考查了平面与平面平行判定和性质，考查了空间向量数量积公式，关键建立空间坐标系，难度偏难.为了做好今年的世界睡眠日19.每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了 睡眠时间（单位：小时），并绘制出如右的频率分布直方图:（I ）求这100人睡眠时间的平均数x（同一

23、组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位）；（n）由直方图可以认为，人的睡眠时间L近似服从正态分布 N（禺U2）,其中L近似地等于样本平均数 三，相近似地等于样本方差二336假设该辖区内这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间（39.2 , 50.8）的人数.附：际 E.若随机变量？.服从正态分布川寸），则POiphZ"十仃）= 0.6的6,二一 / I. 二-1 .【答案】(1) 45;(2) 6826人.【解析】【分析】(I)结合题表，计算期望，得到平均数，即可.(II)结合题意，得到该区间位于距离平均数一个标准差之内，计算概率,计算人数，即可.【详解

24、】(I )三=006 x 34 + 0.】片 * 38 + 0,20 x十 0.28 x 46十 015 x 5。十 0.x 54 十 0.02 x 5 = 44.72-45;(n)由题意得，口-仃=392 pi + 0-50.8,50.8) = 0.6826,所以估计该人群中一周睡眠时间在区间092 5。同的人数约为10000 x 0一6由6 = 6£加(人)；【点睛】本道题考查了正态分布曲线，考查了期望计算公式，难度中等.2 2壶20.设椭圆1©> 4 0)的离心率为 上，圆O:1产=2与x轴正半轴交于点A ,圆。在点A处的切线被 rd b-2椭圆C截得的弦长为2

25、湎.(I )求椭圆。的方程；(n)设圆。上任意一点F处的切线交椭圆c于点N,试判断|PM”FN|是否为定值？若为定值，求出该定值； 若不是定值，请说明理由.22【答案】(1)上+2=1 ；(2)见解析.63【解析】【分析】(I)结合离心率，得到a,b,c的关系，计算A的坐标，计算切线与椭圆交点坐标，代入椭圆方程，计算参数，即可。(II)分切线斜率存在与不存在讨论，设出 M,N的坐标，设出切线方程，结合圆心到切线距离公式，得到m,k的关系式，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数关系，表示 OM - CJN ,结合三角形相似，证明 结论，即可。【详解】(I)设椭圆的半焦距为 J由椭圆的离心率为 &

26、#39;知，b = c, a = Mb,.椭圆C的方程可设为 j + N=l.2b3 b322易求得&在0), .点(也物在椭圆上，+ -=1 ,2b b"222解得产；=6,，椭圆1c的方程为± +=1.b = 36 3(n)当过点p且与圆o相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为工二"，由(I)知，MW2.物,N诉-物,CM =,肉揄=(也一商最=0, - OM ±ON.当过点P且与圆。相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y =kx+m ,N(如巧),Im| 仁一、,尸即 m- = &k-+). 加十I联立直线和椭圆的方程得 x2

27、i 2(kx+rn)： = 6 ,A - (4km)2 - 4(1 + 2k2)(2m2 - 6) > 04kin(1 + 21?)x* - 4kmx + 2m_ -6 = 0,k.i + x2 =-一 I2mL 6X|X/F2LT'.'OM = (xj ¥i> DN= (x2, yj,.,.OM - QN = XX J= x1勺 + (kxL + rnXkx; + m),.2m - 6- 4km 、=(1 + k )XXr + km(x1 + 叼)+ nT = (1 + k=) 1+ km - + m21?+12k2- I(1+以一一6)一4岛12 +

28、嗔5 + 1)/-6 3(2k2)-6k2-6 .=0,2k2- I2k2 1 121?十 1二注 O'L综上所述，圆口上任意一点F处的切线交椭圆。于点”,N,都有OM_LDX.在RtAOMN 中，由 30MP与ANOP相似得，|OP|2=|PM|，|PN| = 2 为定值.【点睛】本道题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆位置关系，考查了向量的坐标运算，难度偏难。21.已知函数f(x) = /Tn(K十1)仔为自然对数的底数).(I )求函数长乂)的单调区间；(II )若gg = f(x)-ax , a E R ,试求函数g(x)极小值的最大值.【答案】(1)单调递减区间是0L,单

29、调递增区间是(0,十8);(2) 1.【解析】【分析】(I)计算Rxj导函数，构造函数 M2,判定单调性，得到Rx)的单调性，即可。(II)得到g(x)的解析式，结合导函数判定 期X)单调性，得到极小值，构造函数结合导函数，计算该函数的极值，即可。【详解】(I )易知X" I ,且f&) = /.一.X 丁 1令h(x) = e。二一,则h'(x) = /+一二>0,X- 1(x + I)2函数岖在丈£(.1,十s；上单调递增，且 h(0)-f(0)-0.可知，当xE(-l.5时，h(x) = f(*)uO,侬)=y-1咄+I)单调递减；当 xW(。.

30、十时，h(x) = f (x) > 0, f(x) = / - n(x 1)单调递增.二.函数f(x)的单调递减区间是 单调递增区间是 电 十8).(口 ) '-g(x) = Rk) - ax= 6 - ln(.x 十)-ax, g(x) = f(x) - a.由(I )知，且(犬)在乂 E ( - 1 .十8)上单调递增，当XT-时，g(X)T-9；当 XT 十 g 时，g 一 aO ,则 g(x)=(l 有唯一"解 X。.可知，当 X £ - 1. kJ 时，g (x) M 0 , g(x) = ex - ln(x -I II) - ax 单调递减；当x£(Xq, 时，g&)>0, g(x) =1n(乂十)-邕乂单调递增，一“，一、"i%1函数式X)在，一鹏处取信极小值g(xj =电口 -呵乂0- 1)-共0，且X。满足L -、 11.3 ”：,，：'<,： = -ll'i, .N)1 1, . I令中=(1 - x)eK - ln(x +1) 1 ,则叫x)匚-x ex;.kt(x + yl可知，当xE(-LO)时，q)'(x)A0,吠xj单调递