七升八暑假数学衔接学习讲义

1、图形的全等1.定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形观察右面两组图形，它们是不是全等图形为什么能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2.由全等图形类比得出:比如，在图中， ABCf DEF能够完全重合，它们是全等的。其中顶点A, D重合，它们是对应顶点；AB边与DE边重合，它们是对应边；A与 D重合，它们是对应角. ABCWZXDEF全等，我们把它记作“ AB登zXDEF .记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上B全等三角形的对应边 ,对应角 。全等三角形的对应边上的中线 ,对应边上的高 ,对应角的角平分线 全等三角形的周长 ,面积。几何语言：-AB登 ADEF (已

2、彳口)1 |'|AB=, AC=, BC= ()：IIZA= , ZC=, Z B=.()A.ABCADCB对应边有对应也有对应也有对应角有对应角有对应角有1AEB2DEACC（图6）/ACB=55，求出 AEC#内角的度数。B（图7）7, AABIDAEBC AB=3 cm） AC=8 cm求 DE的长3. 判断：(1全等三角形的边相等，角相等，中线相等，角平分线相等 .()OJ4.填空：如图所示，已知 AO隹ACODZC=Z A, AB=CQ则另外两组对应边为CD另外两组对应角为5.如图 3,已知 CD! AB 于 D, BEX ACT E,AB草zACD /C=20 ,AB=10

3、, AD=4 G为AB延长线上的一点，求/ ABE的度数和CE的长.CA DB G二、三角形的判定定理：边角边公理定理：两个三角形的两组对应边相等且它们的夹角相等，那么这两个三角形全等，简记为 “边角边"，符号表示："SAS"例1.下列哪组三角形能完全重合（全等）例 2.如图，在ABCftB' C'中，已知 AB= A B' , / B= / B' , BOB' C'.这两个三角形全等吗例3.在ABCffiB' C'中(自己画图)ABBBCABBBC(2)AB ABA AABCABC ( SAS )A

4、BCABC (ACACBCBCABC ABC ()练习1:1.根据题目条件，判断下面的三角形是否全等(1) AO DF,/C= /F, BO EF;(2) BO BR/ABC= /ABD(第1题)2 . 如图2, AOB?口ACO阶等吗为什么3 .如图，在 ABC, AB= AC, AD 平分/BAG 求证： AB国ACD4 .如图 3,已知 AD/ BC, AD= CB,证明： AB(C CDA.&D5 .如图4,已知AB= AG AD= AEE, /1 = /2,证明： ABDACE.6.如图，已知AB=AC AE=AD那么图中哪两个三角形全等并进行证4 明.BC7.已知:若不能,

5、练习21.已知:求证如图，AC=AD / CABW DAB AC皆 AADBAD/ BG AA CB（如图）.现有条件能证明 ADC CBA吗如果能请写出证明过程, 那么还需添加怎样的条件才能证明EEBC2 .已知：AD/ BC, AD=CB求证：zXADCACBA3 .已知：AD/ BC, AD=CB AE=CF求证：zAF阴ACEB4 .已知：EA=EC ED=EB求证： AEtACEB5 .已知：AC=DB AE=DF EZAD, FD± AR求证： EA阴AFDC6 .已知：AB=AC AD=AE / 1=/ 2求证：/ B=/ C、三角形的判定定理：角边角定理定理：两个三角

6、形的两组对应角相等且它们的夹边也相等，那么这两个三角形全等，简记为 角边角"，符号表示："ASA"例1.如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去2.如图，AD/ BQ BE/ DF, AE= CF,试说明： ADF1 CBE二例3.如图，在 ABC中，ADI BC于点D, BEX AC于与BE交于F,若BF= AC 试说明： ADC BDFI)fiBE m例4.在 ABC中，/ BA生90° , AB= AQ 直线m经过点A, BDL直线m, CH直线 5 垂足分 别为点D E

7、试说明：(1) ABD/AiAAE(C DP BN CE练习：1 .如图，已知AO=DQ /AOB与/DOC是对顶角，还需补充条件 =就 可根据“ ASA说明 AO隹 DOC或者补充条件 =就 可根据 “ SAS,说明 AOB1 DOCa .bZxCD2 .已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O, AB=AC / B=/ C。求证：zABE ACDAD，、E3 .如图，/ 1=/ 2, /3=/ 4,求证：AC=AD4 .如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板ABCD ,将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F ,与CB延长线交于点E.则四边形AE

8、CF的面积是多少四、三角形的判定定理：角角边定理定理：两个三角形的两组对应角相等且其中一角的对边也相等，那么这两个三角形全等，简 记为“角角边"，符号表示：“AAS"例1.如图：已知D、E分别在AR AC上，AB=AC, /BD8/CEB求证：BE=CD.例2.如图，在 AFDffiBEC,点 A E、F、C在同一直线上，AE=CF, /B=/D,AD/ BC 试证明 AD=CBE例3.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E,AE求证：AD CF .例4.如图，在 ABC中，/ B=2/ C,AD是4ABC的角平分线，/ 1=/ C,求证：zABD AAED.练习1:1 .

9、如图，AB=AC CD1 AB于 D, BH AC于 E。求证：AD=AE2 .如图，AC和 BD交于点 E, AB/ CD BE=DE 求证：AB=CD3 .已知BEX AR CF，AR 且BE=CF判断AD是ABC勺中线还是角平分线请说明理由4 .如图，AB=AC AD=AE 求证：OB=OC5 .如图，A已 AB, ACL AG AB=AC / B=/ C,求证：BD=C6 .已知 / BACW DAE /ABDN ACE BD=CE求证；AB=AC AD=AE练习2:1、如图，aABCiABAED点A点B,点C和点D是对应点。如果 AB=6厘米，BD=5厘米，AD=4 厘米，那么BC的

10、长是（）A. 4厘米 B . 5厘米 C . 6厘米 D .无法确定C第1题第2题2、如图，AABFNAACMAB=ACBN=CMZ B=50° , /ANC=120 ,贝U/MAC勺度数等于（）A. 1200000 .3 .如图示，AC BD相交于点O, zAO军ACOD / A=/ C,则其它对应角分别为工对应边分别为4 .如图示，点B在AE上，/CBEW DBE要使A AB（C A ABD,还需添加一个条件是 （填上你认为适当的一个条件即可）6.如图：E是/ AOB的平分线上一点,EC1 OA ED± OB 垂足为 C, DC5 .如图：在 ABC中，点 D E在 B

11、C上，且 AD=AE BD=CE / ADEW AED 求证：AB=AC.求证：(1) OC=OD (2) DF=CF五、三角形的判定定理：边边边公理定理：三边对应相等的两个三角形全等。简称为“边边边”简写为“SS6例 1.如图，在 ABCffiADCBfr, AC和 BD相交于点 Q AB=DC AC=BD 求证：OB=OCBC例2.如图，E、C两点在线段BF上，BE=CF AB=DE AC=DF求证： AB登 DEF例 3.如图，AB=CD BE=DF, AF=CE求证:BE/ DF练习1:1 .如图，已知 AB=AD如果要判定 AB登4ADC根据（S、S、S）全等的判定方法，还需要添加的

12、条件是02 .已知：如图，AB=DC AD=BC 求证：/ A=/ C。3.已知:8 , AB=AC , AD=AE , BD=CE .求证:A4. AABC, AB二AG 求证：Z B=Z C （自己画图）练习2:,补充条件后仍不一定能保证 AB登1 .在ABCS&A B C'中，AB=A B' , ZB=Z B'A' B' C',则补充的这个条件是（）A. BC=B C B . /A=/ AC . AC=A C2 .直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（）A . 45° B . 135°C . 45

13、6; 或 135°D .都不对3 .根据下列已知条件，能惟一画出三角形 ABC的是（）A. AB= 3, BO4, AO 8;B. AB =4, BO 3, / A= 30° ;C./A= 60° , / B= 45° , AB= 4; D. /O 90° , AB= 64 .三角形ABC中，/ A是/B的2倍，/C比/A+ /B还大12°,则这个三角形是 三角形.5 .以三条线段3、4、x 5为这组成三角形，则x的取值为.6杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是7. 4ABC中，/A+ /B=

14、/C, /A的平分线交BC于点D,若CD= 8cm,则点D到AB的距离为 cm8. 已知，如图，D是4ABC的边AB上一点，DF交AC于点E, DE=FE, FC / AB,C求证：AD=CF9.如图，ABC为等边三角形，点M ,N分别在BC,AC上，且BM CN , AM与BN交于Q点。求AQN的度数9.阅读下题及证明过程：已知：如图， D是4ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC/ABE之ACE 求证：/ BAEW CAE证明：在 AEBffi4AEC中，. EB=EC /ABEW ACE AE=AE.AEB AAE(C第一步丁 / BAEN CAE 第二步问上面证明过程是否正确

15、若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一 步，并写出你认为正确的证明过程.A六、勾股定理1 .观察：【邮票赏析】1955年希腊发行的一枚纪念邮票，邮票上的 图案是根据一个著名的数学定理设计的。观察这枚邮票上 的图案和图案中小方格的个数，你有哪些发现2 .体会：1 .分别以图中的直角三角形三边为边向外作正方形，求这三个正方形的面积2 .这三个面积之间是否存在什么样的未知关系如果存在，那么它们的关系是什么3 .是否所有的直角三角形都有这个规律呢请写出你发现的规律 .三.思考:勾股定理又称毕达哥拉斯定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一， 是用代数思 想解决几何问题的最重要的工

16、具之一， 也是数形结合的纽带之一。勾股定理约有400种证明方 法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。下面选几个图案，你能从中说出勾股定理的推导过程吗1 .以a、b为直角边，c为斜边做四个形状大小相同的的直角三角形，拼成一个正方形.2 .用二个形状大小相同的的直角三角形，拼成一个直角梯形形.3 .用二种方法分割边长为a+b的正方形.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。符号语言：在 RtzXABC, . /C=9(0, . .a,bJc2四.练习1:1、判断题(1)若a、b、c是三角形的三边，则a2 b2 c2.()(2)直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 .()2、求下

17、列直角三角形中未知边的长.3 .下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少153G84 .受台风影响，一棵9米高的树断裂，树的顶部落在离树跟底部 3米处，这棵树折断后离地 面有多局5 .如图，在四边形 ABCD中，/ BAD 90 , / DBC 90, AD 3, AB 4,BC 12,求 CD.练习 2：一、选择题1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为（ ）.（A） 30（B） 28（C） 56（D）不能确定2. 直角三角形的斜边比一直角边长 2 cm,另一直角边长为6 cm,则它的斜边长（ A） 4 cm（ B） 8 cm（ C） 10 cm（ D） 12

18、 cm3. 已知一个Rt 的两边长分别为3 和 4，则第三边长的平方是（）（ A） 25（ B） 14（ C） 7（ D） 7 或 254. 等腰三角形的腰长为 10, 底长为 12, 则其底边上的高为 （ ）（ A） 13（ B） 8（ C） 25（ D） 645. 五根小木棒，其长度分别为7， 15， 20， 24， 25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）76 .将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是(A)钝角三角形(B)锐角三角形(C)直角三角形(D)等腰三角形.7 .如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD勺面积是()(C) 9(D)(A) 25(

19、B)(第7题)(第8题)(第10题)二、填空题8 .如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 *.9 .在直角三角形ABC中，斜边AB =2,贝U AB2 AC2 BC2 =.10 .如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE,且AE =3, BE =4,阴影部分的面积是 .三、解答题11 .如图，已知一等腰三角形的周长是16,底边上的高是4.求这个三角形各边的长.12 .如图，一架米长的梯子AR斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为米, 如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将向外移多少米13 .如图，某沿海开放城市 A接到台风警报，在该

20、市正南方向100km的B处有一台风中心，沿 BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km那么台风中心经过多 长时间从B点移到D点如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险， 正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险七 、 勾股定理的逆定理一作图1画图：画出边长分别是下列各组数的三角形。 （单位：厘米）A： 3、 4、 3； B ： 3、 4、 5； C： 3、 4、 6； D： 5、 12、 13；2测量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数，并记录如下：A： B： C： D： 3判断：请判断一下上述你所画的三

21、角形的形状。A： B： C： D： 4找规律：根据上述每个三角形所给的各组边长，请你找出最长边的平方与其他两边的平方和之间的关系。A: B: C: D 5.猜想：让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系式时，这个三角形才 可能是直角三角形呢你的猜想是二.探索1、操作：、以6cmi 8cmi 10cm三个数为边画一个三角形，再以 6cmi 8cm两个数为直角边长，画 一个直角三角形。、把你所画的边长为6cmi 8cmi 10cm的三角形和6cmi 8cm为直角边的直角三角形分别 剪下来。、把你刚才所剪下来的两个图片叠合在一起。2、观察、猜想：叠合后的两个三角形存在什么关系你还能得出什

22、么结论呢3、归纳总结:如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形b符号语言：: a2+b2=c2 A ABE Rt A这个结论与勾股定理有什么关系像(3, 4, 5)、(6, 8, 10)、(5,12,13)等满足a2+b2=c2的一组正整数，通常称为勾股数。3 .实践：C例 1.已知：如图，AA4, CA3, /ADC= 90° , AB= 13, BO 12.求图庠浮（例2 .如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC= 6cm, BO 8cm,先将直角边ACS AD折叠, 使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长. A、4 .练习11 .在4

23、ABC中，/A、/R /C的对边分别是a、b、c,下列条件中，能判断 ABCJ直角三角 形的是（）A. a +b = c B. a:b:c =3:4:5 C. a=b=2cD.ZA= / B= /C2 .三角形三边长分别为a2+b2、2ab、a2-b2 （a、b都是整数，a>b）,则这个三角形是（）.A.直角三角形B.锐角三角形C. 钝角三角形 D. 不能确定3 .若ABC勺三边a、b、c满足条件a2+ b2+c2+50=6a+8b+ 10c,试判断 ABC的形状.3.已知某校有一块四边形空地 ABCD如图现计划在该空地上种草皮，经测量/A=90° AB"Bm'

24、;BC-IZmCDnSmQA-dm1每平方米草皮需100元，问需投入多少元C练习2:、选择题1 .下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（）D .200, 300, 400A. 2, 3, 4 B . 5, 7, 9 C .8, 15, 172 .五根小木棒，其长度分别为 7, 15, 20, 24, 25,现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）3 .三角形的三边长a、b、c,满足（a b）2 c2 2ab,则这个三角形是（）.A. 锐角三角形 B.直角三角形 C. 钝角三角形D.等边三角形4 .下列结论错误的是（）A.三个角度之比为1 ： 2 ： 3的三角形是直角三角形；B.三条边

25、长之比为3 ： 4 ： 5的三角形是直角三角形；C.三个角度之比为1 ： 1 ： 2的三角形是直角三角形；D.三条边长之比为8 ： 16 ： 17的三角形是直角三角形.5 .小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走 50米，小丽走直线用了 10分钟，小 芳先去家拿了钱在去图书馆，小芳到家用了 6分钟，从家到图书馆用了 8分钟，小芳从公园到 图书馆拐了个（）角.A.锐角B .直角 C .钝角 D .不能确定6 .下列各组线段中的三个长度 9、12、15;7、24、25;32、42、52;3a、4a、5a （a>0）;m2 n2、2mn m2 n2（m n为正整数，且m>n）其中

26、可以构成直角三角形的有（）A. 5组B .4组 C .3组 D .2组二、填空题1 .在ABC,若 AB2 BC2 AC2,则/ A+ / C=M.2 .若一个三角形的三边之比为 5: 12: 13,且周长为60cml则它的面积为.3 .已知两条线段的长为 5cm和 12cm,当第三条线段的长 为 Cm时，这三条线段能组成一个直角三角形.4 .直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为 :5 .正方形网格中的 ABC若小方格边长为1,则 ABC是图1图2图3三、解答题1 . 一个零件的形状如图2所示，按规定这个零件中/ A和/ DBCfB应为直角.工人师傅量得 这个零件各边尺寸如图3所示，

27、这个零件符合要求吗2 .已知：如图， ABC, AB 5cm, BC 3 cm, AC 4cm, CD!AB于 D,求CD的长及 ABC勺面积；2.已知 ABC的三边为m2222n , m n , 2mn点，且E最二BC.4对于mr n为任何正整数时（m> n）,你能说明 ABC%直角三角形吗4 .已知：正方形 ABCDfr, F是DC的中点，E为BC的上求证：EF± AF.八、平方根(1)一.回顾1 . 口答()2=9()2=25 ()2=14()2=16 ( )2=81()2 =0()2=1212 .想一想(1)如果一个数的平方等于2,这个数是几(2) 一个数的平方等于5呢

28、想知道这个数的结果吗如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做的a平方根，也称为a的二次方根。如果x2 a ,那么x就叫做a的平方根。例如：: ( 2)2 4,( 2)24,v ( 1)21,( 1)21,3939(+) 2 0.25,(1 .问题一：观察下面的式子： 12=1, (-1)2=1=.2=二 2是4的平方根 是的平方根9)2 0.25,是的平方根(1)请你写出一个与上面式子类似的式子你发现了什么结论2 .小结：一个正数的平方根有,个，它们互为.一个正数a的正四平方根，记作“质”,正数a的负的平方根记作“,这两个平方根合起来记作“ JG”，读作“正、负根号a”。例如：2的平方根记作 2

29、2, 4的平方根记作 44(2)2 4,( 2)2 4,2是4的平方根，即： <4 收 2一般地，营 a ，如725J525等3 .问题二:(1) 9的平方根是什么5的平方根是什么(2) 0的平方根是什么0的平方根有几个(3) 4, 8, 36有平方根吗为什么(4) 由此，你得到了什么结论4 .平方根的性质：一个正数的平方根有2个，它们互为相反数；0只有1个平方根，它是0本身；负数没有平方根。求一数a的平方根的运算，叫做开平方说明：“开平方”就是求一个数的平方根开平方与平方互为逆运算三.实践：例1.求下列各数的平方根：162(1) 25;(2) (3) 15;(4)281例2.求下列各式

30、中的x的值2 x 196（2）练习：一、选择题1 . 3的平方根是（）A. 3 B. -3 C5x2 10 0x 3 2=362.下列各式正确的是（3.下列各式无意义的是（A. 5B.4. 3一2正的平方根是（A. 1B. 1635. （ 23） 2的平方根是（A. ±8B.6. 使必有意义的x的喉± 3D.3)D)52C)C. 3D. 6)8C. -8是()D.不存在A.正数 B .负数C. 0、填空题7 . 125的平方根是, ( 1) 2正的平方根是: 28 . (1) 2的平方根是, 16正的平方根的平方根是 :9 . 252 242的平方根是,的负的平方根是 :1

31、0 .若后2 + | b-3 | =0 ,贝U a+b_ 5=11 .若 4x2=9,贝U x=.4的平方根是12 .如果一个数的平方根是a 3与2a 15,那么这个数是 。若5x± 1,贝U x=。三、计算：13 .一错误！14. J( 5)215. V1Q-616. 土 错误！17.龄 7)2187 11764四.字母x取何值时，下列关于x的代数式有平方根19 . x-320. x221. |x|+122. - x2- 3五.求下列各式中X的值.23. (|x) 2=1624. (x+5) 2=144 25 . 3x2 27=026. (2x+3) 2=16六.计算题27 . aJ2X-T + (y+2) 2=0,求 x3+y3的值.28 .请你在数轴上画出表示 小 的点，并简要说出你的画法.1111 1-10123九、平方根（2）1. 回顾1. .如果x 9 ,那么x=;如果x2 9 ,那么x .2. 一个正数的两个平方根为 m+1和m-3,则m=, n=3. v16的平方根是.4. ja7 2的最小值是,此时a的取值是.5. 想一想：下面两个问题都与平方根有关，每题都有两个解吗问题1:小明家装修新居，计划用100块正方形地板砖来铺设面积为25平方米的客厅地面, 请帮他计算，每块正方形地板砖的边长为多少时，才正好合适（不浪费）