下勾股定理典型例题归类总结

1、勾股定理典型例题归类总结题型一：直接考查勾股定理例 1 .在 ABC 中， C 90 .已知AB 17, AC 15,求BC的长已知AC 6 , BC 8 .求AB的长跟踪练习：1.在 ABC 中，C 90 .(1)若 a=5,b=12,则 c二;(2)若 a:b=3:4,c=15,贝U a= ,b=(3)若/ A=30° , BC=2,则 AB= , AC=.2 .在RtABC中，/C=90, /A,/B,/C分别对的边为a, b, c,则下列结论正确的是()A B 、 C 、 D 、3 .一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ()A 2、4、6 B、4、6、8

2、C、6、8、10 D、3、4、54 .等腰直角三角形的直角边为2,则斜边的长为()A B、 C、1 D、25 .已知等边三角形的边长为2cm,则等边三角形的面积为()A B、 C、1 D、6 .已知直角三角形的两边为2和3,则第三边的长为 .7 .如图，/ ACB=/ ABD=90 , AC=2 BC=1,贝U BD=.8 .已知 ABC中，AB=AC=10 BD是AC边上的高线， CD=2那么BD等于()A 4 B 、6 C 、8 D 、9 .已知RtABC的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。10 .如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.(1

3、)如图，以Rt ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积S1、S2、S3之间有何关系？并说明理由。(2)如图，以RtABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1、S2、S3之间有何关系？(3)如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180。，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。(此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”)题型二：利用勾股定理测量长度例1.如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?跟踪练习:BC的长是米，把芦苇拉到岸边,1 .如图（8）,水池中离岸边 D点米的C处，直立长着一根芦苇，出

4、水部分它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度 AC.2 .一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A 12 米 B、13 米 C、14 米 D、15 米3 .如图，有两颗树，一颗高 10米，另一颗高 4米，两树相距 8米.一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A 8 米 B 、10 米 C、12 米 D、14 米题型三：勾股定理和逆定理并用一一1 一例3.如图3,正万形ABCD43, E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB AB那么 DEF是直角三4角形吗？为什么？注：本题

5、利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。跟踪练习：1.如图，正方形 ABCD43, E为BC边的中点，F点CD边上一点，且 DF=3CF求证：/ AEF=90题型四：利用勾股定理求线段长度一一例1.如图4,已知长方形 ABCD43 AB=8cm,BC=10cm在边CD上取一点 E,将 ADEW叠使点 D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.跟踪练习：1 .如图，将一个有 45度角的三角板顶点C放在一弓宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，求三角板的最大边AB 的长 .2 .如图，在 ABC中，AB=BC /ABC=

6、90 , D为AC的中点，D已DF,交AB于E,交BC于F, (1)求证: BE=CF; (2)若 AE=3, CF=1,求 EF 的长.3 .如图，CA=CB,CD=CEZ ACB=Z ECD=90 ,D 为 AB边上的一点.若 AD=1, BD=3, 求 CD的长.题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直例 1. 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高米的墙上，任何东西只要移至5 米以内，灯就自动打开，一个身高米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？跟踪练习：1 .如图，每个小正方形的边长都是1, ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断ABC的形状，并说明理由.（1）求证：/ A

7、BD=90 ; （2）求的值2 . 下列各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是（ ）A、 9， 12， 15 B 、 7,24,25 C 、 D 、 ， ，3 .在 ABC中，下列说法/ B=Z C-/A;；/ A:/B:/C=3: 4: 5; a:b:c=5:4:3 ;：=1:2:3 , 其中能判断 ABC为直角三角形的条件有（）A、 2 个 B 、 3 个 C 、 4 个 D 、 5 个4 .在 ABC中，乙A / B、/C的对边分别是a、b、c.判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一个是直角？（1） a=26, b=10, c=24; （2） a=5, b=7, c=9; （3

8、） a=2,A 2个 B、3个 C、4个 D、5个5 .已知 ABC的三边长为a、b、c,且满足，则此时三角形一定是（）A、等腰三角形B 、直角三角形C、等腰直角三角形D、锐角三角形6 .在 4ABC 中，若 a=n2 1, b=2n , c=n2 1,则 ABC是（）A、锐角三角形B、钝角三角形C、等腰三角形D、直角三角形7 .如图，正方形网格中的 ABC是（）A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、锐角三角形或钝角三角形8 .已知在 ABC中，/ A、/日/ C的对边分别是 a、b、c,下列说法中，错误的是（）A、如果/ C-/B=/ A,那么/C=90B、如果/ C=90 ,那么C

9、 如果（a+b） （a-b）=,那么/ A=90°D、如果/ A=30° ,那么 AC=2BC9 .已知 ABC的三边分别为a, b, c,且a+b=3, ab=1,求的值，试判断 ABC的形状，并说明理由10 .观察下列各式：，根据其中规律，写出下一个式子为 11 .已知，mo n, mr n为正整数，以，2mn,为边的三角形是 三角形.12 .一个直角三角形的三边分别为n+1, n-1 , 8,其中n+1是最大边，当n为多少时，三角形为直角三角形？题型六：旋转问题：例题6.如图，P是等边三角形 ABC内一点，PA=2,PB=2 J3 ,PC=4,求 ABC的边长.跟踪练

10、习1.如图， ABC为等腰直角三角形，/BAC=90,E、F是BC上的点，且/EAF=45°,试探究BE2、CF 2、EF间的关系，并说明理由.题型七：关于翻折问题 例题7.如图，矩形纸片 ABCM边AB=10cm BC=6cm E为BC上一点，将矩形纸片沿 AE折叠，点B恰好 落在CD边上的点 G处，求BE的长.跟踪练习1 .如图，AD是4ABC的中线，/ ADC=45 ,把 ADC&直线AD翻折，点C落在点C的位置，BC=4,求BC 的长 .（ 一 ） 折叠直角三角形2 .如图，在 ABC中，/ A = 90° ,点 D为AB上一点，沿 CD折叠 ABC点A恰好

11、落在 BC边上的 A处,AB=4, AC=3 求 BD的长。3 .如图，RtABC中，Z B=90° , AB=3, AC=5.将 ABC折叠使 C与A重合，折痕为 DE,求BE的长.（二）折叠长方形1 .如图，长方形 ABCD43, AB=4, BC=5, F为CD上一点，将长方形沿折痕 AF折叠，点D恰好落在BC上的 点E处，求CF的长。2 .如图，长方形 ABC邛，AD=8cm AB=4cmr 7gEF折叠，使点 D与点B重合，点C与C'重合.（1）求 DE的长；（2）求折痕EF的长.3 .(2013懦德)如图，将长方形纸片ABC所叠，使边CD落在对角线AC上，折痕为C

12、E且D点落在对角线D'处.若AB=3, AD=4,贝U ED的长为()4 .如图，长方形 ABC邛,AB=6, AD=&沿BD折叠使 A至U A'处DA交BC于F点.(1)求证：FB=FE(2)求证：CA / BD(3)求 DBF的面积7.如图，正方形 ABCDK 点E在边CD上，将 ADE沿AE对折至/ AFE,延长EF交边BC于点G,G为BC 的中点，连结 AG CF. (1)求证：AG/ CF； (2)求的值.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例1、如图，公路 M明口公路PQ在P点处交汇，点 A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉

13、机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18 千米 / 小时，那么学校受到影响的时间为多少？例 2. 一辆装满货物高为米， 宽米的卡车要通过一个直径为 5 米的半圆形双向行驶隧道， 它能顺利通过吗？ 跟踪练习：1 .某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东 600方向移动，距风暴中心 200km的范围内为受影响区域。试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。2 . 一辆装满货物的卡车, 其外

14、形高米, 宽米 , 要开进厂门形状如下图的某工厂, 问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 ?3 . 有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整4 .如图，铁路上 A, B两点相距25km, C, D为两村庄，DAL AB于A, CB± AB于B,已知DA=15km,CB=10km 现在要在铁路 AB上建一个土特产品收购站 E,使得C, D两村到E站的距离相等，则 E站应建在离A站多 少 km 处？题型九：关于最短性问题例 1 、如右图 1 19 ，壁虎在一座底面半径为 2 米，高为 4 米的油罐的下底边沿 A 处，它发现在自己的正上方油罐

15、上边缘的 B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？（兀取，结果保留1位小数，可以用计算器计算）例2.跟踪练习：1 .如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为 9个小正方形，其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面 A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？2 .如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm, 3cm和1cm, A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到 B

16、点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从 A点出发，沿着台 阶面爬到B点，最短线路是多少？3 .一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm, 6cm, 12cm,一只蚂蚁想从盒底的 A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？4.如图将一根厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中，能全部放进去吗?题型十：勾股定理与特殊角(一) 直接运用30°或45°的直角三角形1 .如图，在 ABC中，Z C = 90° , / B = 3 0° , AD是 ABC的角平分线，若 AC=2J3 ,求AD

17、的长。2 .如图，在 ABC中，/ ACB = 90° , AD是 ABC的角平分线，CDLAB于 D, / A= 30° , CD=2 求 AB的 长。3 .如图，在 ABC中，AD± BC于 D, / B= 60° , / ,C= 45 ° , AC=2,求 BD的长。(二)作垂线构造30°或45。的直角三角形(1) 将105°转化为45°和60°1 .如图，在 ABC中，/ B= 45° , / A=105° , AC=2 求 BC 的长。2 .如图，在四边形 ABCD43, /

18、A=/C= 45° , /ADB4ABC=105 ，若 AD=2,求 AB的长；若 AB+CD=2V3+2,求AB的长。B(2)将75°转化为30°和45题型十一：运用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方程1 .如图，在 ABC中，/ C= 90° , AD平分/ CAB交 CB于 D, CD=3,BD=5 求 AD的长。2 .如图，在 ABC中，AD±BC于 D,且/ CAD=2/ BAD,若 BD=3, CD=6 求 AB的长。（二）巧用“连环勾”列方程1 .如图，在 ABC中，AB=5, BC=7, AC=4 J2 ,求 S ABC .

19、2 .如图，在 ABC中，/ ACB= 90° , CD!AB于 D, AC=3 BC=4,求 AD的长。3 .如图， ABC中，/ ACB=90 , CD! AB于 D, AD=1, BD=4,求 AC的长4 .如图， ABC中，/ ACB=90° , CD! AB于 D, CD=3 BD=4 求 AD的长题型十二：勾股定理与分类讨论（一） 锐角与钝角不明时需分类讨论1.在 ABC中，AB=AC=5 ,求 BC 的长2.在 ABC中，AB=15, AC=13 AD为 ABC的高，且 AD=12, 求 ABC的面积。(二)腰和底不明时需分类讨论3.如图1, 4ABC中，/A

20、CB=90 , AC=6, BC=&点D为射线 AC上一点，且 ABD是等腰三角形，求 ABD的周长 .(三)直角边和斜边不明时需分类讨论1. 已知直角三角形两边分别为 2 和 3 ，则第三边的长为2 .在 ABC中，Z ACB=90 , AC=4, BC=2以AB为边向外作等腰直角三角形ABR求CD的长3 .如图，D(2,1),以O西一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个写出落在 x 轴上的顶点坐标.题型十三： 或问题的证明1 .如图 1, 4ABC中，CA=CB Z ACB=90 , D为 AB的中点，M N分别为 AG BC上一点，且 DML DN

21、. (1)求证： CM+CN=BD(2)如图2,若M N分别在AG CB的延长线上，探究 CM CN BD之间的数量关系式。2 .已知/BCD=c, /BAD书,CB=CD. (1)如图 1,若 a = 3 =90° ,求证：AB+AD=AC 2)如图 2,若 “ = 3=90° , 求证：AB-AD=AC(3)如图 3,若 a =120°, 3=60°,求证：AB=AD=AC(4)如图3,若 “ = 3=120°,求证：AB-AD=AC；题型十四：问题的证明1 .如图，OA=OB OC=OD / AOBh COD=90 , M N 分别为 A

22、G BD的中点，连 MN ON求证：MN=ON.2 .已知 ABC中，AB=AC Z BAC=90 , D为BC的中点，AE=CF连DE EF. (1)如图1 ,若E、F分别在AR AC上，求证：EF=DE (2)如图2,若E、F分别在BA AC的延长线上，则(1)中的结论是否仍成立？请说明理由3 .如图， ABD中，。为AB的中点，C为DO延长线上一点，/ ACO=135 , / ODB=45探究 OD OC AC 之间相等的数量关系4 .如图， ABD是等腰直角, / BAD=90 ,BC/AD,BC=2ABCE平分/BCD 交AB于 E,交 BD于H.求证：（ 1） DC=DA； （ 2

23、 ） BE=DH题型十五：勾股定理（逆定理）与网格画图1. 如图，每个小正方形的边长为1, A、B C是小正方形的顶点，则/ABC的度数为.2. 如图，每个小正方形的边长都是1 ，在图中画一个三角形，使它的三边长分别是3,2 ， ，且三角形的三个顶点都在格点上3. 如图，每个小正方形的边长都是1 ，在图中画一个边长为的正方形，且正方形的四个顶点在格点上4. 在图中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有3 个5. 如图，在 4 个均匀由 16 个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4 个三角形中，与众不同的是 中的三角形，图 4 中最长边上的高为6. 如图，正方

24、形网格中的每个小正方形边长都为1 ，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图：(1)画一条线段 MN使MN= (2)画 ABC三边长分别为3, 2。7. 如图，在5X5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,线段AB的端点在格点上.8. 1)图 1 中以 AB 为腰的等腰三角形有 个，画出其中的一个，并直接写出其底边长9. 2)图2 中，以 AB 为底边的等腰三角形有 个，画出其中的一个，并直接写出其底边上的高题型十六：利用勾股定理逆定理证垂直1 .如图，在 ABC中，点 D为BC边上一点，且 AB=10, BD=6, AD=& AC=7,其求 CD的长.2 .如图，在四边形 ABCD43, / B=90° , AB=2, , CD=5 AD=4,求.3