2021年最新高考数学复习-三角函数

1、三角函数高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前， 重点突出。 因此， 在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、 周期性、 单调性、 奇偶性、 对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。一、知识整合1 熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点， 常规使用方法等； 熟悉三角变换常用的方法化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题2 熟练掌握正

2、弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数 y A sin( x ) 的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化二、 高考考点分析2004年各地高考中本部分所占分值在 1722分，主要以选 题题和解答题的形式由现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关 三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇 偶性等。第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如 辅助角公式、平方公

3、式逆用、切弦互化等。第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周 期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数 问题。如分段函数值，求复合函数值域等。三、方法技巧1 .三角函数恒等变形的基本策略。(1)常值代换：特别是用“ 1”的代换，如1=cos2e+sin2e =tanx cotx=tan45 等。(2 )项的分拆与角的配凑。如分拆项： sin2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x;酉己凑角：a = ( a+ B) B, = -22-等。(3)降次与升次。(4)化弦(切)法。(4)引入辅助角。 asin 0+bcos 0=J

4、a2 b2 sin( 0+ ),这里辅 助角 所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan =也确定。a2 .证明三角等式的思路和方法。(1)思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构, 使等式两边化为同一形式。(2)证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消 法、数学归纳法。3 .证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析 法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位 圆三角函数线及判别法等。4 .解答三角高考题的策略。(1)发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓 的“差异分析”。(2)寻找联系：运用相关公式，找由差异之间的内在联系。(3)合理转化：选择恰当

5、的公式，促使差异的转化。四、例题分析例 1 .已知 tan 后，求(1 ) cossn ； ( 2) sin2 sin .cos2cos2cos sin的值.解：(1)cos sincos sin. 2.sinsin cossin 1 -cos( sin1 cos22 cos1 tan1 tan. 2 sin1 .21 . 22sin cos 2 cos. 22sin cos2一.sinsin八2-2coscos2sin /2-1cos说明：利用齐次式的结构特点(如果不具备，通过构造的办法得到)，进行弦、切互化，就会使解题过程简化例2 .求函数y 1 sin x cosx (sin x cos

6、x)2 的值域。解：设 t sin x cosx 应sin(x)应,在，则原函数可化为 4y t2 t 1 (t I)2 3 ,因为 t 在M ,所以 24当 t 72 时，ymax 3 无，当 t J 时，ymin 4 ,所以，函数的值域为y 3,3物。 4例 3 .已知函数 f(x) 4sin2 x 2sin 2x 2, x R。(1)求f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及此时x的集合;(2)证明：函数f(x)的图像关于直线x对称。 8解：f (x) 4sin2 x 2sin 2x 2 2sin x 2(1 2sin2 x)2sin 2x 2cos 2x 2.2 sin(2 x -)

7、4(1)所以f(x)的最小正周期Tf因为x R,所以，当2x 2k u工即x ku2时，f(x)最大值为2石； 428证明：欲证明函数 f(x)的图像关于直线x；对称，只要证明对任意x R,有f( - x) f( - x)成立， 88因为 f( -x) 2 -2sin2( -x) -2、2sin( -2x)2、2cos2x,8842冗LTt1tLltf( 一 x) 22sin2( x) - 2、2sin( - 2x)2.2cos2x,8842所以f(x) f(x)成立，从而函数f(x)的图像关于直线x 888对称。例 4. 已知函数 y= 1cos2x+ sinx cosx+1(xR),(1)

8、当函数y取得最大值时，求自变量 x的集合；(2)该函数的图像可由y=sinx(x安)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：(1) y= 1cos2x+ sinx cosx+1= - (2cos2x1)+ - + 3 22444(2sinx cosx ) +1=1 cos2x+ sin2x+ 5 = 1 (cos2x sin-+sin2x co 4442 '6s)+ 564=1sin(2x+ -)+ 5所以y取最大值时，只需2x+ 6=-+2k兀,(k & ),即 x=-+k兀，(kZ)o所以当函数y取最大值时，自变量 x的集合为x|x= +k兀,k(2)将函数y=sinx依次

9、进行如下变换：(i)把函数y=sinx的图像向左平移 至,得到函数y=sin(x+ -) 的图像；(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x+ )的图像；6(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的工倍(横坐2标不变)，得到函数y=1sin(2x+ )的图像;26(iv )把得到的图像向上平移5个单位长度，得到函数4y=1sin(2x+ 一)+5 的图像。264综上得到y= 1 cos2x+立sinxcosx+1的图像。 22说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主 要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于s

10、inx,cosx的齐次式，降曷后最终化成y=Ja2 b2 sin (ax+ )+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题(1)还可以解法如下：当 cosx=0时,y=1 ;当cosx加时,1 -2. 313 -cos x sin x cosxtan xy= 2-2 2+1=-2 2+1sin x cos x1 tan x3<y<-44化简得：2(y 1)tan 2x 73 tanx+2y 3=0.tanxSR, .色3 8(y 1)(2y 3)洲，解之得:ymax=4,此时对应自变量 x的值集为x|x=k tt+- ,k S例 5 .已知函数 f (x) sin - co

11、s- v13 cos2 . 333(I )将f(x)写成Asin( x )的形式，并求其图象对称中心的横 坐标；(n)如果ABC的三边a、b、c满足b2=ac ,且边b所对的角为x,试求x的范围及此时函数f(x)的值域.2x . 3sin(-)3321 2x 3 2x 1 2x 3 2x 3f (x) - sin (1 cos) - sin cos 232323232(I)拄in(四一)=0 即四k (k z)得xk z33332即对称中心的横坐标为曳，k z2(n)由已知b2=acac 2ac ac 12ac2x3万.,2xsin( 一 322,222a c b a ccosx2ac2ac1

12、一 cosx 1,0 x ,235|3 万1 |T / Jini 即f(x)的值域为(回雪.22,5-92x31, v3 sin(- -)1, 332综上所述，x （0,-f(x)值域为(V3,i -.2有利于培养B、C的对边，且3sin A sinC sin B '说明：本题综合运用了三角函数、 余弦定理、基本不等式等知识, 还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题, 学生的运算能力，对知识进行整合的能力。例6.在&ABC中，a、b、c分别是角A、cosC 3a c cosB b '求sinB的值；若b 4后，旦a=c,求&ABC的面积。解：（1）由正弦定

13、理及cosC至£,有cosC cos B bcos B即 sinBcosC 3sin AcosB sinCcosB , 所以 sin(B C) 3sin AcosB ,又因为 ABC 兀，sin(B C) sin A,所以 sin A 3sin AcosB ,因为 sin A 0,所以cosB工 又0 B冗 所以sin B。1 cos2 B ?三。 33在&ABC中，由余弦定理可得 a2 c2 -ac 32 ,又a c3所以有4a2 32,即a2 24 ,所以ABC的面积为3.1S acsin B2-a2sin B 8.2。 2例7.已知向量a (2cos火 2 sin a)

14、, d = ( sin % cos a)(t2 3)b,b,(1)求函数k f的表达式;若t 1,3,求f(t)的最大值与最小值。解：(1),2所以 x y a1 (tJ 0 ,又kj2 (t2 ：t k(t2 3)0,所以k 4t3 4t"t)I34(2)由(1)可得，令f(t)导数3t243 0,解得t 1,列表如下:4而 f( 1) J f(1)% f(3)例8.已知向量at1(-1,1)1(1, 3)f(t)导数0一0+f(t)极大值递减极小值递增9,所以 f (t) max 2, f min1 °(cos % sin a), b=(cos g sin Q, |(1

15、)求 COS(oc0)的值;(2)(2)若 0 a ； 2B 0,且 sin B急，求sin。的值。解： (i)因为 a (cos 火sin o), b=(cos &sin 0), 所以 J b (cos a cos g sin a sin 0),又因为 |J b | 2-5 ,所以 (cos a cos B)2 (sin a sin B)2 2-5 5,5即 2 2cos( a B) 4,cos( a B) 3 ； 55/C儿儿-(2) 0 a , 0 0,0 a 022又因为 cos(a B) 3 ,所以 sin( a B) 4 ,51263sin B a，所以 cos § ? 所以 sin a sin( a0)0 | 例9 .平面直角坐标系