二次函数y=abc的图像及性质

1、二次函数y ax2 bx c的图象【教学目标】1、会用描点法画出二次函数 F二门户4上、”以即 与y =以五的图象；2、能结合图象确定抛物线+比、yS-期，、/= 口0-的尸+左的对称轴与顶点坐标；3、通过比较抛物线 ”口/4艮 与p =期2同的相互关系，培养观察、分析、总结的能力；【教学重点】画出形如A二以'4 、p =凯工一期。与形如 y = 口0-注产十2的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标 教教学难点】理解函数二mN、P = 比、了 =或亮一月产 与V鼻Of）上及其图象间的 相互关系【知识点梳理】知识点一、二次函数的定义：形如y=ax 2+bx+c（

2、a 却，a ,b , c为常数）的函数称为二次函数 （quadratic funcion）.其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.知识点二、二次函数的图象及画法二次函数y=ax 2+bx+c（a 制）的图象是对称轴平行于 y轴（或是y轴本身）的抛物线. 几个不同的二次函数.如果二次项系数a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只 是顶点的位置不同.1 .用描点法画图象首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点.2 .用平移法画图象由于a相同的抛物线y=ax 2+b

3、x+c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax 2的图象平移得到a值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a（x-h） 2+k的形式，确定其顶点（h , k）,然后做出二次函数 y=ax 2的图象.将 抛物线y=ax 2平移，使其顶点平移到（h, k）. T (X。)m +i - 1 一 .匐上&>由，下平事 国 中单枚Igfi gVS，品0 As知识点三、二次函数 y=ax 2+bx+c（a w。）的图象与性质1.函数y=ax 2 （a w。）的图象与性质:函数a的符号图象开口方向顶点坐标对称轴增减性最大（小）值y=ax2a>0向上

4、(0, 0)y轴x>0时，y随x增大而增大x<0时，y随x增大而减小当x=0时，y最小=0y=ax2a<0向下(0, 0)y轴x>0时，y随x增大而减小x<0时，y随x增大而增大当x=0时，y最大=02.函数y=ax 2+c（a w。）的图象及其性质当a>0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax 2相同，不同的是顶点坐标为(0 ,c),当x=0时,y最小二c(2)当a<0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax 2相同，不同的是顶点坐标为(0 ,c),当x=0时，y最大=c3 .二次函数y=ax 2+bx+c(a w0)的图象与性质：二次函数y=ax 2

5、+bx+c(a 制)的图象是一条抛物线.它的顶点坐标是b Aac - gK =对称轴是直线 二函数二次函数 y=ax 2+bx+c（a , b, c 是常数，a/0）a>0a<0图象当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限士延伸，顶点 2，4 w -）(1)当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限4是它的最低点.性质(2)在对称轴直线bX =加的左侧，抛物线自延伸，顶点 加4鼻是它的最高点.为X =(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左左问右卜降，化对桥轴的右侧，抛物线目左问右向右上升；在对称轴右侧，抛物线自左向右下降上升.知识点四、抛物线 y=ax 2+bx+c 中a、b、

6、c的作用a, b , c的代数式作用字母的符号图象的特征a1 .决定抛物线的开口方向；2 .决定增减性a>0开口向上a<0开口向下c决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0 , c)c>0交点在x轴上方c=0抛物线过原点c<0交点在x轴下方_ bA 丁决定对称轴的位k对称轴是直线ab>0对称轴在y轴左侧ab<0对称轴在y轴右侧b2-4ac决定抛物线与x轴公共点的个数b2-4ac>0抛物线与x轴后两个交点b2-4ac=0顶点在x轴上b2-4ac<0抛物线与x轴无公共点【典型例题】一 .2题型一：y axk的图象和性质例1、一条抛物线的开口方向、对

7、称轴与1 2 .y x相同，顶点纵坐标是-2 ,且抛物线经过点2(1,(1) 这条抛物线的函数关系式.例2、？在同一平面直角坐标系画出函数，=天=，=工°-1的图象.、 、由图象思考下列问题：(1)抛物线 犷 的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么口(2)抛物线产=工的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么的开口方向，对称轴，顶点坐标有何(3)抛物线y =»=工？-1与卜=记异同(4)抛物线产三口/1# &与y三门。一期二同尸三有什么关系例3、已知二次函数 y 8x2 (k 1)x k 7 ,当k为何值时，此二次函数以 y轴为对称轴写出其函数关系式.变式训练：1 21212一

8、1、已知函数 yx,y- x3, y- x2.333(1)分别画出它们的图象；(2)说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；1 2(3)试说出函数y -x2 5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.31 22、不回图象，说出函数 y -x2 3的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函 4、1 2一， ，一，一，数y-x通过怎样的平移得到的.423、若二次函数y ax2的图象经过点(-2, 10),求a的值.这个函数有最大还是最小值是多少题型二：y a(xh)2的图象和性质例1、不画出图象，你能说明抛物线y 3x2与y 3(x 2)2之间的关系吗？121212例 2、已知函数 y -x ,

9、y -(x 1) , y (x 1). 222(1)在同一直角坐标系中画出它们的图象；(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)分别讨论各个函数的性质.1 2例3、根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y x2得到抛物2八12f12线 y(x1)和y(x1)22变式训练:一一21、函数y 3(x 1),当x 时，函数值y随x的增大而减小.当x 时，函数取得最 值，最 值y=.2、不画出图象，请你说明抛物线y 5x2与y 5(x 4)2之间的关系. 2 ,3、将抛物线y ax向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2,且新抛物线经过点(1,3),求a的值.2题

10、型二：y a(x h) +k的图象和性质例1、把抛物线y x2 bx c向上平移2个单位，再向左平移 4个单位，得到抛物线y x2 ,求b、c的值.3 2例2、把抛物线yx2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数2关系式为.例3、在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.y3x2 , y 3(x 2)2, y3(x 2)2 1 ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.变式训练：1 21 2 .1、抛物线y 1 2x x可由抛物线yx向 平移个单位，再向 平2 2移 个单位而得到.2、将抛物线yx2 2x 5先向下平移1个单位，再向左平移 4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式

11、.193 193、将抛物线y-x x一如何平移，可得到抛物线 y- x2x 3222224、抛物线y 3x bx c是由抛物线y 3x bx 1向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求 b、c的值.题型四、y ax 2 bx c的图象和性质例1、通过配方，确定抛物线 y2x2 4x 6的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图.2例2、已知抛物线y x (a 2)x 9的顶点在坐标轴上，求 a的值.1 2 一 5例3、已知抛物线y -x 3x -,求出它的对称轴和顶点坐标，并回出函数的图象. 222例4、利用配方法，把下列函数写成y a(x h)2+k的形式，并写出它们的图象的开口方22向

12、、对称轴和顶点坐标.(1) yx 6x 1(2) y 2x 3x 4“、2, .、2(3)yx nx(4)yxpx q变式训练：21、(1)二次函数y x2x的对称轴是 .2(2)二次函数y 2x 2x 1的图象的顶点是,当x 时，y随x的增大而减小.(3)抛物线y ax2 4x 6的顶点横坐标是-2,则a=.212、抛物线y ax2 2x c的顶点是(-,1),则a、c的值是多少3.23、已知y (k 2)xk是二次函数，且当 x 0时，y随x的增大而增大.(1)求k的值；(2)求开口方向、顶点坐标和对称轴.224、当a 0时，求抛物线y x 2ax 1 2a的顶点所在的象限.5、已知抛物线

13、y x2 4x h的顶点A在直线y 4x 1上，求抛物线的顶点坐标.题型五、y ax2 bx c的最大或最小值22.例1、求下列函数的取大值或取小值：(1) y 2x 3x 5 ；(2) y x 3x 4 .例2、某产品每件成本是 120元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量 y（件）之间关系如下表:x （元）130150165y （件）705035若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元此时每日销售利润是多少例3、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，

14、经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.（1）若商场平均每天要盈利 1200元,每件衬衫应降价多少元（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多变式训练：21、对于二次函数 y x 2x m ,当x=时，y有取小值.2、已知二次函数 y a（x 1）2 b有最小值 -1,则a与b之间的大小关系是（）A. avbB. a=bC. a>bD.不能确定3、求下列函数的最大值或最小值：（1） yx2 2x;（2） y 2x2 2x 1 .24、已知二次函数 y x 6x m的最小值为1,求m的值.，5、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间 x

15、（单位：分）之间满足函数关系：y 0.1x2 2.6x 43（0 x 30） . y值越大，表示接受能力越强.（1 ） x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低（2）第10分时，学生的接受能力是多少（3）第几分时，学生的接受能力最强6、如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m ）,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x m ,面积为S m2. 匕"二号(1)求S与x的函数关系式;(2)如果要围成面积为 45 m 2的花圃，AB的长是多少米(3)能围成面积比45 m 2更大的花圃吗如果能，请求出最大面积，并说明围

16、法；如果不能，请说明理由.题型六、利用待定系数法求二次函数的函数关系式例1、某涵洞是抛物线形，它的截面如图26 . 2 . 9所示，现测得水面宽 1 . 6m ,涵洞顶点O到水面的距离为 2. 4m ,在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么例2、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.(1)已知二次函数的图象经过点A (0, -1 )、B (1, 0)、图 26. 2. 9(2)已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y轴交于点(0,1);(3)已知抛物线与x轴交于点M (-3, 0)、(5, 0),且与y轴交于点(0, -3);(4)已知抛物线的顶点为(3 , -2 ),且

17、与x轴两交点间的距离为4.C (-1 ， 2);2例3、已知二次函数 y x bx C的图象经过点 A (-1 , 12)、B (2, -3),(1)求该二次函数的关系式；(2)用配方法把(1)所得的函数关系式化成y a(x h)2 k的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴.例4、已知二次函数的图象与一次函数y 4x 8的图象有两个公共点 P (2, m)、Q (n,-8),如果抛物线的对称轴是 x= -1 ,求该二次函数的关系式.变式训练：1、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.（1）已知二次函数的图象经过点（0, 2）、（1, 1）、（3, 5）;（2）已知抛物线的顶点为（-1

18、,2）,且过点（2,1）;（3）已知抛物线与 x轴交于点M （-1 , 0）、（2, 0）,且经过点（1, 2）.2、二次函数图象的对称轴是x=-1 ,与y轴交点的纵坐标是-6,且经过点（2, 10）,求此二次函数的关系式.3、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽 AB=4m ,顶部C离地面10 ,且它的高度为4.4m .现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8m,装货宽度为2. 4m.请判断这辆汽车能否顺利通过大门.24、已知二次函数 y ax bx c ,当x=3时，函数取得最大值图象在x轴上截得的弦长为 4,试求二次函数的关系式.25、抛物线yx 2mx

19、n过点（2, 4）,且其顶点在直线 y 2x 1上，求此二次函数的关系式.【随堂练习】1、二次函数y=ax 2+bx 2+c的图象如图所示，贝U a 0 , b 0 , c 0 （填或“v" =.）2、二次函数 y=ax 2+bx + c与一次函数 y=ax +c在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）3、在同一坐标系中，函数 y=ax 2+bx与y=的图象大致是图中的（）x4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0 . 0225x 2+0. 9x+ 10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗5、

20、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2 + （a+c） x + c与一次函数y=ax +c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）6、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则它关于 y轴对称的抛物线的表达式是7、已知二次函数 y= (m2) x2+ (m + 3) x+m+2的图象过点(0, 5).(1)求m的值，并写出二次函数的表达式;(2)求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴.8、启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元,元，年销的资金做售量为10万件.为了获得更好的利益，公司准备拿出一定广告.根据经验，每年投入的广告费是 x(万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y倍,且y

21、= - %看+看如果把利润看作是销售总额广告费.(1)试写出年利润 S (万元)与广告费 x (万元)的函数表达式，并计算广告费是多少万兀时，公司获得的年利润最大最大年利润是多少万兀(2)把(1)中的最大利润留出 3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有 6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：项目ABCDEF每股(万元)526468收益(万元)0. 550. 40. 60. 50. 91如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1. 6万元，问有几种符合要求的投资方式写出每种投资方式所选的项目.9、已知抛物线y=a (x t1) 2 + t2 (a, t是常

22、数，aw0, two)的顶点是 A,抛物线y=x 2 2x +1的顶点是B (如图)(1)判断点A是否在抛物线y=x 2 - 2x + 1上，为什么(2)如果抛物线y=a (xt 1) 2+t2经过点B.求a的值；这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点 A能否成直角三角形若能，求出t的值；若不能，请说明理由.10、如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1 , CF= 4.,3直线FE交AB的延长线于 G,过线段FG上的一个动点 H ,作HM XAG于M .设HM=x : 矩形 AMHN 的面积为 y （ 1 ） 求 y 与 x 之间的函数表达式， （ 2 ） 当

23、x 为何值时， 矩形 AMHN 的面积最大，最大面积是多少11 、已知点 A （ 1 ，1 ）在抛物线 y= （ k2 1 ） x2 2 （ k 2） x 1 上（ 1 ）求抛物线的对称轴； （ 2 ） 若点 B 与 A 点关于抛物线的对称轴对称， 问是否存在与抛物线只交于一点 B 的直线如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由12、如图，A、B是直线c上的两点，AB=4cm ,过c外一点C作CD / c ,射湖C与c所成的 锐角/1=60。，线段BC=2cm ,动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1cm的速度，沿由 B 向 C 的方向运动； Q 以每秒 2cm 的速度，沿由 C

24、向 D 的方向运动设P、 Q 运动的时间为t秒，当t >2时，PA交CD于E. （1 ）用含t的代数式分别表示 CE和QE的长； （2）求4APQ的面积S与t的函数表达式；（3）当QE恰好平分4APQ的面积时，QE的长是多少厘米13 、如图所示，有一边长为 5cm 的正方形 ABCD 和等腰三角形PQR， PQ=PR=5cm ，PR=8cm，点B、C、Q、R在同一直线i上.当CQ两点重合时，等腰 PQR以1cm/秒的 速度沿直线c按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后，正方形 ABCD与等腰4PQR重合部分的面积为 Scm 2 解答下列问题：（ 1 ）当t=3 秒时，求S 的值；（ 2 ）当

25、t=5 秒时，求S 的值；14 、 如图 2-4-16 所示， 公园要建造圆形的喷水池， 在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ， O 恰在圆形水面中心， OA=1 25 米由柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线的路线落下为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高OA 距离为 1 米处达到距水面最大高度 2 25 米（ 1 ）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外（ 2 ）若水池喷出的抛物线形状如（ 1 ）相同，水池的半径为3 5 米，要使水流不致落到池外，此时水流最大高度应达多少米（精确到 0 1 米，提示：可建立如下坐标系：以O

26、A 所在的直线为 y 轴，过点 O 垂直于 OA 的直线为 x 轴，点 O 为原点）（ 5 、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为 40 只，且每日生产的产品全部售出.已知生产x只玩具熊猫的成本为R （元），每只售价为P （元），且R, P与x的表达式分别为 R=500 30x ， P=170 2x （ 1 ）当日产量为多少时，每日获利为 1750 元（2）当日产量为多少时，可获得最大利润最大利润是多少 16、阅读材料，解答问题.当抛物线的表达式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点 坐标出将发生变化.例如 y=x 22mx + m 2+2m 1，有y= (x m)

27、 2 + 2m1，x m,抛物线的顶点坐标为（m , 2m 1）,即y 2m当m的值变化时，x、y的值也随之变化，因而y值也随x值的变化而变化.把代入，得y=2x 1 .可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足表达式y=2x 1 .解答问题:（1）在上述过程中，由到所学的数学方法是 ,其中运用了 公式, 由、到所用到的数学方法是 .（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x 2-2mx +2m2 3m +1顶点的纵坐标y与横坐标x之间的表达式.【家庭作业】1 .抛物线y= -2x2 + 6x 1的顶点坐标为 ,对称轴为 2 .如图，若a<0, b>0, c&

28、lt;0,则抛物线y=ax 2+bx + c的大致图象为（）153 .已知二次函数 y= x2- 2x+6,当*=时，y最小=;当x 时,y随x的增大而减小.4 .抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为.5 .二次函数y=ax 2+bx + c的图象如图所示，则 ac 0 .（填、"v"或“="=）。116 .已知点（一1 , y1）、（-32, y2）、（2, y3）在函数 y=3x2+6x + 12 的 图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A. y1 >y2 >y3B. y2>y1>y3C. y2>y3> y1 D. y3>y 1>y27 .二次函数y= x2 + bx + c的图象的最高点是 （一1, 3）,则b、c的值是（）A. b=2 , c=4B. b=2 , c= 4 C. b= - 2 , c=4y=ax 2 + bx + c的图象，则下列式子能成立的是8 .如图，坐标系中抛物线是函数 ( )A. abc >0 B. a + b + c<0C. bva+cD. 2cv3b9 .函数y=ax 2