全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法

1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法 （ 有答案 ）常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1） 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形2） 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法 构造全等三角形3） 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（ 1 ）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 （ 2 ）可以在角平分线上的一点

2、作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。 （ 3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点， 然后从这两点再向角平分线上的某点作边线， 构造一对全等三角形。4） 过图形上某一点作特定的平分线， 构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的 “平移” 或“翻转折叠”5） 截长法与补短法， 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等， 或是将某条线段延长， 是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6） 已知某线段的垂直平分线， 那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线， 出一对全等三角

3、形。特殊方法： 在求有关三角形的定值一类的问题时， 常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来， 利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例1、已知，如图 ABC中，AB=5, AC=3则中线 AD的取值范围是 例2、如图， ABC中，E、F分别在 AB AC上，DE± DF, D是中点，试比较 BE+CFW EF的大小.例3、如图， ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证： AD平分/ BAE.应用：1、 （09崇文二模）以 ABC的两边AR AC为腰分别向外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE ,BADCAE 90 ,连接de M N>别是BG D的中点.探究

4、：AIMf DE勺位置关系及数量关系.（1）如图 当 ABC为直角三角形时，AMf DE勺位置关系是 , 线段AM DE勺数量关系是;（2）将图中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转（0< <90）后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由.二、截长补短1、如图， ABC 中，AB=2AC A叶分 BAC ,且 AD=BD 求证：CDLAC2、如图，AD)/ BC, EA,EB分别平分/ DAB,/CBA CD过点 E,求证;AB = AD+BC03、如图，已知在 VABC内， BAC 60 , C40°,P,Q分别在BC,CA上，并且AP,BQ分另

5、U是BAC ,ABC 的角平分线。求证： BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形 ABCD43, BC> BA,AD= CD, BD 平分 ABC,求证： A C 18005、如图在 ABC中，AB>AC, /1 = /2, P 为 AD上任意一点，求证；AB-AC> PB-PC应用：三、平移变换例1 AD为 ABC的角平分线，直线 MNL AD为MNk一点， ABC周长记为PA , EBC周长记为PB .求证PBA.例2如图，在 ABC的边上取两点 D E,且BD=CE求证：AB+AC>AD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图，已知在 ABC中，/ B=60

6、76; , ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O,求证：OE=OD2、如图， ABC中，AD平分/ BAC DGL BC且平分 BC； DEI AB于 E, DFL AC于 F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果 AB=a , AC=b ,求AE BE的长.应用：1、如图，OP是/ MON勺平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个(1)(2)作全等三角形的方法，解答下列问题：如图，在 ABC中，/ AC蝠直角，/ B=60° , AD CE分别是/ BAC / BCA勺平分线，AD CE相交 于点F。请你判断并写出 FE与FD之间的数量关系

7、；如图，在 ABO43,如果/ ACM是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在 （1）中所得结论是否 仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由。五、旋转例1正方形ABC邛，E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF 求 / EAF的度数.例2 D为等腰Rt ABC斜边AB的中点,(1)(2)当 MDN绕点D转动时,DML DN,DM,DNHJ交 BC,CA于点 E,F。求证DE=DF若AB=2,求四边形DECF勺面积。例3如图， ABC是边长为3的等边三角形， 角，使其两边分别交 AB于点M交AC于点BDC是等腰三角形，且 BDC 120°, N,连接MN则 AMN

8、的周长为以D为顶点做一个600应用：1、已知四边形ABCD中，AB AD, BCCD , AB BCB点旋转，它的两边分别交 AD, DC （或它们的延长线）于当/MBN绕B点旋转到AE当/MBN绕B点旋转到AECF时（如图1）,易证AE/ABC 120°, / MBN 60°, / MBN 绕E, F .CF EF .明；若不成立，线段 AE, CFCF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予证 EF又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明.2、(西城09年一模)已知：PA=V2,PB=4,以AB为一边作正方形 ABCD使P、D两点落在直线 AB的两

9、侧.(1)如图，当/ APB=45时，求AB及PD的长；(2)当/ APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应/ APB的大小.3、在等边 ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N, D为VABC外一点，且MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC.探究：当M N分别在直线AR AC上移动时，BM NG MN间的数量关 系及 AMN的周长Q与等边 ABC的周长L的关系.图1图2图3(I)如图1,当点M N边AR AC上，且DM=D附,BM NG MN之间的数量关系是 ;此L(II )如图2,点M N边AR AC上，且当DM DN时，猜想(I)问的两个结论还成立吗写出你的猜

10、想并加 以证明；(III ) 如图3,当M N分别在边AR CA的延长线上时，若AN=X ,则Q= (用X、L表示).参考答案与提示、倍长中线(线段)造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5, AC=3,则中线AD的取值范围是 解：延长 AD至E使AE= 2AD,连BE由三角形性质知AB-BE <2AD<AB+BE 故 AD的取值范围是 1<AD<4例2、如图， ABC中，E、F分别在 AR AC上，DE± DF, D是中点，试比较 BE+CFW EF的大小.解：（倍长中线，等腰三角形“三线合一”法 ）延长FD至G使FG= 2EF,连BG E

11、G,显然BG= FC,在4EFG中，注意到DEX DF,由等腰三角形的三线合一知EG= EF在 BEG中，由三角形性质知EG<BG+BE故：EF<BE+FC例3、如图， ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证： AD平分/ BAE.解：延长 AE至G使AG= 2AE,连BG DG,显然 DG= AC,/GDCW ACD由于 DC=AC故 / ADChDAC在 AD端 ADG 中，BD = AC=DG AD= AD,/ ADB=/ ADC吆 ACDW ADC它 GDC= / ADG ADE MDG 故有/ BADh DAG 即 AD平分/ BAE应用:1、1、（09崇文二模）

12、以 ABC的两边AR AC为腰分别向外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE,BAD CAE 90 ,连接DE M N>别是BG D的中点.探究：AW DE勺位置关系及数量关系.（1）如图 当 ABC为直角三角形时，AMWDE勺位置关系是 , 线段AMKDE勺数量关系是;（2）将图中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转（0< <90）后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由.解：(1) AML DE, AM=DE(2)结论仍然成立，证明：如图，延长 CA至F,使FA=AC FA交DE于点巳连接BF, . DAI BA, EA! AF,/ BAF=90&#

13、176; +/ DAF4 EAR在 18与4 EAD中：FA=AE / BAF± EAD BA=DAAFAB EAD (SAS , .BF=DE /F=/AEP / FPD+/ F=Z APE吆 AEP=90 , FBI DE,又 CA=AF CM=MB .AM/ FB且 AM=FB .AML DE, AM=DE二、截长补短1、如图， ABC 中，AB=2AC A叶分 BAC ,且 AD=BD 求证：CD!AC解：（截长法）在 AB上取中点F,连FD ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知DF± AB,故 / AFD= 90° ADH ADC （SAS/

14、ACD= /AFD= 90° 即：CDL AC2、如图，AD/ BC, EA,EB分别平分/ DAB,/CBA CD过点 E,求证;AB = AD+BC解：(截长法)在 AB上取点F,使AF= AD,连FE AD段 AFE (SAS/ ADE= / AFE,/ ADE+Z BCE= 180°Z AFE+Z BFE= 180°故/ ECB= / EFB FBE ACBE (AAS故有BF= BC从而;AB = AD+BC0nBAC,3、如图，已知在 ABC内， BAC 60 , C 400 , P, Q分别在BC, CA上，并且AP, BM别是ABC的角平分线。求证

15、：BQ+AQ=AB+BP解：(补短法，计算数值法)延长 AB至D,使BD= BP,连DP在等月BPD中，可得/ BDP= 40°从而/ BDP= 40° =Z ACP AD咤 ACP (ASA故 AD= AC又/ QBC= 40° =Z QCB 故 BQ=QCBD= BP从而 BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形 ABCD43, BO BA,AA CD, BD平分 ABC ,求证： A C 1800解：（补短法）延长 BA至F,使BF= BC,连FD BDH BDC （SAS故 / DFB= / DCB , FD= DC又 AD- CD故在等腰 BFD中/ D

16、FB= / DAF故有/ BAD吆 BCD- 180°5、如图在 ABC中，AB>AC, /1 = /2, P 为 AD上任意一点，求证；AB-AC> PB-PC解：（补短法）延长 AC至F,使AF= AB,连PD AB国 AFP （SAS故 BP= PF由三角形性质知PB- PC= PF- PC < CF = AF- AC= AB- AC应用：三、平移变换例1 AD为 ABC的角平分线，直线 MNL AD为MNk一点， ABC周长记为PA , EBC周长记为PB .求证PB > Pa.解：（镜面反射法）延长 BA至F,使AF= AC连FE人口为 ABC的角平

17、分线，MN，AD知 / FAE= / CAE故有 FAEACAE （SAS故 EF= CE在 BEF 中有：BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC从而 Pb=BE+CE+BC>BF+BC=BA+ACPBC=例2如图，在 ABC的边上取两点 D E,且BD=CE求证：AB+AC>AD+AE.证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AMg BN,DN. BD=CE, .DM=EM, .DM 阵 AEMA（SAS）, .DN=AE,同理BN=CA.延长 NDX AB于 P,WJ BN+BP>PN,DP+PA>AD,相力口得 BN+BP+DP+PA>PN+A

18、D,各减去 DP得 BN+AB>DN+AD, .AB+AC>AD+AE四、借助角平分线造全等1、如图，已知在 ABC中，/ B=60° , ABC的角平分线 AD,CE相交于点 0,求证：OE=OD DC+AE =AC证明(角平分线在三种添辅助线，计算数值法)/ B=60度，WJ/ BAC廿 BCA=120g;AD,CE均为角平分线，则 / 0AC+ 0CA=6(g=/ AOEW COD;ZA0C=12(g.在AC上截取线段AF=AE连接OF.又 AO=AOZ OAEW OAF .WJ/OA窜 A OAF(SAS),OE=OF;AE=AF;/AOF"OE=60g

19、.则 / COF= AOC/ AOF=6Cg=/ COD;又 co=co;ocd=ocf.故，OC挚 A OCF(SAS), OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图， ABC中，AD平分/ BAC DGL BC且平分 BC； DEI AB于 E, DFL AC于 F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果 AB=a , AC力，求AE BE的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接BQ DCDG垂直平分BC,故BD= DC由于 AD平分/ BAC DEXABT E, DF±AC于F,故有ED= DF故 RTA DBE RTA DFC (HD故有BE=

20、CEAB+AC= 2AEAE= ( a+b) /2BE=(a-b)/2应用：1、如图，OP是/ MON1平分线，请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图，在 ABC中，/ AC加直角，/ B=60° , AD CE分别是/ BAC / BCA勺平分线，AD CE相交 于点F。请你判断并写出 FE与FD之间的数量关系；(2)如图，在 ABO43,如果/ ACM是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否 仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由。五、旋转例1正方形 ABC邛，E为BC上的一

21、点，F为CD上的一点，BE+DF=EF求/ EAF的度数.证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABGWJ GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE AF=AG所以三角形AEF全等于AEG所以/ EAF之 GAEW BAEV GAB= BAE它 DAF又 / EAFV BAE它 DAF=90所以/ EAF=45度例2 D为等腰Rt ABC斜边AB的中点，DML DN,DM,DNiJ交BC,CA于点E,F。(1)当 MDN绕点D转动时，求证 DE=DF(2)若AB=2,求四边形DECF的面积。解：(计算数值法)(1)连接DCD为等腰Rt ABC斜边AB的中点，故有 CDL

22、AB, CD= DACD平分/BCA= 90° , / ECD= / DCA= 45°由于 DML DN 有/ EDN= 90°由于 CDAB,有/ CDA= 90°从而/ CDE= / FDA=故有 CD陵 ADI3 (ASA)故有DE=DF(2) Sa abc=2, S 四 DEC= S AC=1例3如图， ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且 BDC 1200 ,以D为顶点做一个600角，使其两边分别交 AB于点M交AC于点N,连接MN则 AMN的周长为;解：(图形补全法，“截长法”或“补短法”，计算数值法)AC的延长线与BD的延长

23、线交于点F,在线段CF上取点E,使CE= BM.ABC为等边三角形， BCD为等腰三角形，且/ BDC=120 , / MBDW MBC廿 DBC=60 +30° =90° ,/DCE=180 - ZACD=180 - Z ABD=90 , 又 BM=CE BD=CD . CD® BDM / CDEh BDM DE=DM/NDE=Z NDC廿 CDEW NDC廿 BDMW BDC-Z MDN=120 -60° =60° , .在 DMNF 口 DEN 中，DM=DE/ MDN= EDN=60DN=DN . DMN DENMN=NE在 DMAF口 DEF 中,DM=DE/MDA=0°- ZMDB=0