圆锥曲线中的四心

1、得到m,n的方程圆锥曲线中的“四心”云南省会泽县苗旺高级中学 杨顺武摘要：通过对三角形四心与圆锥曲线的有机结合， 达到训练学生的思维，提升学生的解题能力。同时起到培养学生的说思路、练本领、强 素质的作用.关键词：思维流程 内心 外心 重心 垂心 解题能力正文：圆锥曲线是每年高考的重点内容之一，从近几年的命题风格看，既注 重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征，又体现传统内容的横向联系和 新增内容的纵向交汇，而三角形在圆锥曲线中更是如鱼得水，面积、弦长、最值 等成为研究的常规问题。“四心”走进圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此， 在高考数学第二轮复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲

2、线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，从而战胜高考.例1、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过 A( 2,0)、3 B(2,0)、C 1,一 二点. 2(I )求椭圆E的方程：(H)若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F( 1,0), H (1,0),当ADFH内切圆的面积最大时，求A DFH内心的坐标；思维流程：(I )由椭圆经过A、B、C三点一设方程为mx2 ny2 1m, n(n) 由 DFH内切圆面积最大 转化为 DFH面积最大DFH面积最大值为33D为椭圆短轴端点转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大得出D点坐标为 0吏33解题过程:(I )设椭圆方

3、程为 mx2 ny2 1m 0, n 0一3 一、一 一将A(2,0)、B(2,0)、C%)代入椭圆E的万程，得4m 1, 1 i9 解得 m 一，n 一. m - n 143422椭圆E的方程上E 1 .43(n) | FH | 2,设A DFH边上的高为S dfh - 2 h h 2当点D在椭圆的上顶点时，h最大为百，所以S dfh的最大值为 & .6.所以,设A DFH的内切圆的半径为 R ,因为A DFH的周长为定值S DFH2R所以R的最大值为旦.所以内切圆圆心的坐标为33(0,)3点石成金： S的内切圆的周长 r的内切圆例2、椭圆长轴端点为 A,B, O为椭圆中心，F为椭圆

4、的右焦点，且AF FB 1,OF(I)求椭圆的标准方程;(H)记椭圆的上顶点为M ,直线l交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线l使点F恰为PQM的垂心若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由思维流程:(I)由(a c)(a c) 1 , c 1a J2,b 1 一 写出椭圆方程(n)由F为PQM的重心PQMF,MPFQk PQ_ 2 ._ 2 _ _3 3x 4 mx 2m 2 0得出关于解出m解题过程：22(I)如图建系，设椭圆方程为一251(a b 0),则c 1 a b又; AF FB 1 即(a c) (a c) 1 a2 c2 a2 22故椭圆方程为y2 12(II)假设存在直

5、线l交椭圆于P,Q两点，且F恰为PQM的垂心，则设 P(x1,y1),Q(X2,y2),M(0,1),F(1,0),故 kpQ 1,于是设直线l为y x m,由2y x2m得 x2 2y2 2223x 4mx 2m 2 00 x1(x21) 、201)又yX m(i 1,2)得 x1(x2 1) (x2 m)(x1 m 1) 0 即22x1x2 (x1 x2)(m 1) mm 0由韦达定理得c 2m2 2 4m,、22(m 1) m33XiX214 ,-解得m-或m 1 (舍)3、一4 一八八，经检验m4符合条件.3点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边， 然后转化为两向量乘积为22例

6、3、在椭圆C: 三21中， F2分别为椭圆C的左右两个焦点，P 43为椭圆C上的且在第一象限内的一点,PF1F2的重心为G,内心为I .(I )求证：IGF1F2 ;(n)已知a为椭圆C上的左顶点，直线l过右焦点F2与椭圆C交于M,N两点,1若AM,AN的斜率匕*2满足k k21,求直线l的方程.2思维流程：3) 由已知得巳(1,0), F2(1,0)设P%.)-重心6(8,2) 3 3_11II I _ _ IS PF1F22"干2|卜。| yo T SPF1F2 万(1EF2)r内切圆S PF1F23r内切圆y0y。内Q 3I的纵坐标为y3IG / F1F2IGF1F2(n)由h

7、"1 ,可知l的斜率一定存在且不为0,设为k122l的方程为y k(x 1)XiX2y k(x 1)x2 消去y一 一 143得(3 4k2)x2 8k2x 4k2 12 08k23 4k24k2 1223 4k2利用k1k 212得k的方程解出k解题过程:(I)设 P(xo，y°),重心 G(x,y),由已知可知 E( 1,0), F2(1,0)Xo ( 1) 1y00 03G有£)pff212 F1F2 y0y。pff2-(pf1 |pf2 F1F2 )r内切圆S PF1F23r内切圆y0内心I的纵坐标为x3IG / F1F2即IGF1F2 .(H)若直线l斜

8、率不存在,显然k1k20不合题意；则直线l的斜率存在.设直线l为y k(x 1),直线l和椭交于M(X, y) ， Nd, y2)。将y k(x 1)代入3x2 4y2 12中得到-22_ 22_(34k2)x28k2x4k2120依题意： 9k2 9 0得k 1或k1由韦达定理可知:又kAMkAN1k2 3(二x14xx2x1 x18k23 4k24k2 123 4k2yy2- x 1x2 1、k( )x1 2 x2 2 x1 2 x221x2)而x1 2 x2 2x1x24x1x2 2(x1 x2) 48k2 4(3 4k2)2k22224k2 12 16k2 4(3 4k2) 3k2k2

9、从而 kAMkANk(2 3 23k1)求得k 2符合k 1.故所求直线MN勺方程为：y2(x1).点石成金:重心的特点为坐标x1x2x3y1V2 V33例4、22已知双曲线C以椭圆二上1的焦点为顶点，以椭圆的左右顶点为 43隹百八、八(I )求双曲线C的方程;(H)若F1,F2为双曲线C的左右焦点，P为双曲线C上任意一点，M为PF1F2的外心，且 F1PF2 60，求点M的坐标.思维流程:(D()由已知易得双曲线中 a 1,c 2,b, 3写出双曲线的方程M是PF1F2的外心M 在 y 轴上，且 F1MF22 F1PF2F1MF21200, MF1F2300在 Rt MF1O 中，|F1O|

10、2, MF1O 300MO2 J33M(0,解题过程:2(I )由已知可知，双曲线的a 1,b JBc 2,则双曲线的方程为x2上1(H)因为M为外心，所以MFi MF2 ,则点M在线段F1F2的垂直平分线上即在y轴上又同弧上的圆心角是圆周角的2倍，F1MF2 2 F1PF2则 F1MF2 1200, MF1F2 300则MO在 Rt MF1O 中，F1O 2, MF1O 30°即 M (0,2 .3)3点石成金：外心的特点为到三个顶点的距离相等或说是三边的垂直平分线的交百八、22能力提升：1、椭圆：今 4 1(a b °)求椭圆的焦点三角形内心的轨迹方程. a b解：如图

11、(1),设点Px0,y0 ,内心I为(x,y),焦点Fi(c,0)、F2(c,0) ,PF1r1，PF22,则 r122ex0 .过内心I作ID、IE、IF垂直F1F2、F1P、P与于点D、E、F .点I是AFF2P的内心，点D、E、F是内切圆的切点，图(1)PE| IF1E1由切线长定理，得方程组：PF |F2F| 2 , F1D| |F2D 2c结合1 2 2ex0 ,解得：F1 D c e% .而 F1 D c x ,x ex0 ,既 x0 x e1又二 zF1F2P 面积 S dy。，S -(F1F2I |PFj |PFF)y (a c)| y ,cy0(a c) y ,既 yo| =

12、a-c|y . 2将代入与a2y01(a b2y 1.b2c2(a c)22可知，椭圆工a1(a b0)焦点三角形内心的轨迹是一个椭圆,它的离心率是:22、椭圆：与 ab 0)求椭圆的焦点三角形垂心的轨迹方程;解：如图(2),设点焦点 F( c,0)、F2(c ,0),则 F1H(x c,y),PF2 (c X0, y0).F1H ± PF2 ,图(2)P(X0 , y°),垂心 H 为(x, y),， (x c, y) (cX0,y0) =0yy。2一 y0y2b21(a0),22a X)W(a2 ax2)22将式代入式，整理得:y22b. a x它与哪些初由方程可以看出

13、，椭圆焦点三角形垂心的轨迹不是两条抛物线, 等函数图象有关请大家思考.3、已知动圆过定点F 0,1 ,且与定直线y 1相切.(I)求动圆圆心P的轨迹W的方程;(H)设过点F的直线l与轨迹W相交于A、B两点，若在直线y 1存在点C,使 ABC为正三角形，求直线l方程.(m)当直线l得斜率大于零时，求 ABC外心的坐标.解：(I)设动圆圆心为P(x,y),根据题意，得双(y 1)2 |y 1化简得x2 4y故动圆圆心P的轨迹W的方程为x2 4y.(R )设直线 l 的方程为 y kx 1 , A(xi, yi), B(X2, y2)，弦 AB 中点为 M (x°, y°), 一

14、，, y 1(i )当k 0时，由 2yx 4y此时AB 4,有图形的对称性可知,而 AC &0 2)2 ( 1 1)2 2<2得 A( 2,1),B(2,1)y 1上的点C只可能是(0, 1)故AB |AC,不合题意.r r r y kx 1(ii)当 k 0时，由 y 2得x2 4kx 4 0x 4yx1 x2 4k,xx224, y y2k(x1 x2) 2 4k 2贝Ux0 x-x 2k, y0近 2k2 1即 M(2k,2k2 1)22若在直线y 1上存在点C ,使 ABC为正三角形1则设直线MC:y (x 2k) (2k2 1),与y 1联立， k解得 x 4k 2k3,即 C(4k 2k3, 1)由 CM| -3AB,得(2k 2k3)2 (2k2 2)2 (y1 y2 2) 22即(2k 2k )(2k2)-(4k4)4化简得 k2(k2 1)2 2(k2 1)2即 k2 2,k 近故直线l的方程为y® 1(田)由(H)知，k J2,直线l的方程为y <2x 1,点C(8dW, 1)y 2v2x 1得 x2 4Mx 4 0x 4y则 x