初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题16相似三角形的性质_答案[精品]

1、专题16 相似三角形的性质例 110.5BEEGAEEcEFBE例 3144提示：t1t2t3SV ABCSVABC, SVABC解法一：如图1,过点O作AC的平行线交BC AB于点D,E. .DE/ AC / OAC/ 1,/AC1 = / BAO / OAC/ OCA AO=OC AE=OE AOm ACO -C AOOCEQ，; DE/ AC空 AECB CD，. / 2=/OBC / BCO/BCQ .OCD BCO，OC 史，xBC COX得ACg COABD C图1AB OC OC AE CDBC BC OE CD OCAC AB2BC1 (AO=OCAE=OE2BC AC AB

2、.解法二：如图2,不妨设 AB >AC,延长CA至点P,使CPAB,连接PB, POBA PC在 BAO PCO,BAO PCO ,AO CO BA竽 APCO / CPO/ABOO, A, P, B四点共圆， / OAB/OPB/OBC而/ CPO/ABO Z ABG/CPB又/ ACB:ZBCP . CBM ACPBACBCBC，注意到PCAB,PC2BCAC AB ,即 ABCS边成比例.例5提示：（1）BC=10如图1,过点D作DG/ AB交BC于点G,BGAD=3, G(=7, MM DG(3)当M N运动t秒时,由 MN。AGDC 得当NGMC寸，如图当MNNC时，如图CN=

3、tCNCD2,则,CM=10-2t,CMCGt=10-2t , t3,过点CN由 NEC DHC得CD当MNMC是，如图4,过点一 FC由 MF» DHC得HC10 2t10一；3N作 NEEL MC1 点ECHCM作MK CNT点MC 一,1t23105017D作DHL BC于点HF,则 FC2t解得25 .NC6017DCBB M H C图3B G M C图1M C图2AB MH C图4DNF例 6 (1) AD=DC / DAB/DCA. AD/ BC / DAB/ACB/ BCB60 , / DCA/ACB30 . / B=30° , ./ DA(=ZB=30 ,D

4、AB AABC过点D作DH AC于点E. . AD=DC，AC=2EC在 RtADEO,/ DCA30 ,EC cos DCADCDC23ECDC 1AC , 3 '2Sdac DC 1 c c-0.3,S ABC AC30.3 S-DAC.S ABC0.42-S 399.提示：由 AB64DCA得AB1 2CD2SJ ABCBCADDACW ABCT一定的“全等度”.(2) DACWABCW一定的“全等度”不正确.反例：若/ AC&40 ,则 DACCfABCT具有一定的“全等度” . / B=30 , / BCD60 ,./BAC=110° . AD/ BC ./

5、 D=120° .DACW ABCTB是钝角三角形，且两钝角不相等.DACW ABN相似.若/ ACB40 ,则 DACWABW具有一定的“全等度”10.提示：(1) /AB=/COE / BAF=/ C,可证明 ABM COE(2)如图，作OGLAC交AD的延长线于G则/ G/C,O为AC中点，AG2AR / FOG/BOA/COE45 , . FOG AEOC,OF OGOE OC又 AGBA / G=/ C, / AOG/ BAC .AGO ABCAOGAC=2OC.OF OG, 2 .OE OC(3)OFOE11.提示：（1）(2)2/x 4x016(3)不存在点D,使得1-

6、S成立，从而反面说明.412 . (1)当 MN=3 时,点P在BC上.(2)当0 x3 时，y 1x23当x 3时，y有最大值为3；当3 x6时，设 PMNf BC相较于点E、F, BC边上的高为4,S则出S2 ABC24一 x 434S PEFSpef1x2x332x 8x 12当=4时，y有最大值为4.1 . 405cm2 提示：DEBCFC ICBC BC1.2. 提示：RtBA炉RtACBA 3 . C.4. C提示：延长DA CB相交于G,SJ GAB2AB 1CD 9设 Sgab9 S ,Sabcd222_GA : GE : GD S gab ： S gEF : S gDC1:5

7、:9.5. EBIDADA(CAABC 吼 BD m2DCACm BCACBCBC DC ACDCACACACACBCBCBCBCBCBCBC6.提示：DE FG HI16一,IF3AB20DE , AF3AIIFAI20由 AF冬 ABC得AF GFAB BCAI4FB=4.37.设 BCa, BC边上白高 AD=h, PS=, RS=y.由 AS年 ABC彳导yS ABCnS矩形 PQRS ?1- -ah2h x nxy nxah整理得222nx 2nxh h11-2一 一V n 2n .2 2n222 n 2n n2n不是完全平方数,n2 2n为无理数,.从而-为无理数，于h曰BSBAx

8、为无理数.8.提不：（1）h6.(2)3t102 3t.(3)当CP=CQ寸,即10 t t ,得t 5.如图2,当QC=QP寸,过点QDL轴于D,则CD2PC1 10 t . . QDC BO(C . . CD CQ 2CO CB50得t13(3)如图3,当 PC=P(M,过 P作 PD %于 D,贝U CD1 . 1 .-CQ -t. . ACDPo COBCD CP一 一，即CO CBL2_810 t80,行得t而综上所述，当t5或50或变时， PC点等腰三角形. 1313却如图3A9 .设三角形边长为a, b, c.设x为正方形的边长，h为三角形的高，S为三角形的面积.设D E、F、G

9、是立于a边上的正方形的顶点. GFBC.AG田 ABC 上 h-xaaha'xa 一 aaha_ha a2S2S.同理可得:haXb2sxc2s2s.据题意xachcxbXc ,故得2sa ha2sb hb2S -,或ac hchahb， c 1.hc，但 S -aha2112bhb 产，故ahabhbchc.由得ahahbhahb，故 ahabhb ，或a hahb b，其中必有一成立.若式成立，由求得a hb,矛盾(直角三角形斜边大于直角c ,即 AB正三角形.,故 CPL AF11.(1) B(3,6). (2)作EGL轴于点G可求得E (2, 4),直线DE的解析式y边)，故式

10、成立.有得a b.同理可证b c ,故a bAF10 .(1)连结AC CF可证明 ACm DCE得 j2DE(2)" V2.证明 ADHh CPH / CPHN ADH=0DE(3)存在.如图1,当OD=DM=MN=NO=四边形 ODMN菱形.作MPLy轴于点P,则入- MP PD MD1MP/轴，MPSAFOID . . .又当 y 0 时， 一x 5 0 ,解得OF OD FD2x 10.F点的坐标为(10, 0) .OF=|0.在 RtAODF, fd VQD2OF 2102MP10PD _5_5575 ' MP 2>/5 , PDJ5 .，点M的坐标为2«, 5 J5 .，点N的坐标为20，娓图1如图2,当OD=DN=NM=MO=四边形 ODNM；菱形，延长 Ng轴于点 P,则 MPL轴.二点M在直线1 .1,yx 5上.，设M点坐标为 a, -a 5，在RtOPMK2 ,22OP2 PM 2 OM 2, a21a 552,解得 a1 4, a2 0 舍去.点M的坐标为（4, 3） . .点N的坐标为（4, 8）.NMK ODF点 P,则 NMW如图3,当OM=MD