广德中学自主招生数学试卷及答案

1、2015年广德中学自主招生数学试卷学生姓名 班级 得分注意事项：本卷共八大题，计 23小题，满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列运算中，正确的是【】A . x3 x3 x6B . 2x 3x2 6x3C . 2x 3 6x3D. 2x2 x x 2x2 .用科学记数法表示327 000 000正确的是【】A.3.27 X 106B.3.27 乂 107C.3.27 乂 108_ _ _9D.3.27 X1093 .已知y gx2的图象是抛物线，若抛物线不动，把 x轴，y轴分别向上、向右平移4个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式为【

2、】12A 、 y x 442C、y4.已知关于x的不等式组12B 、 y x 44212D 、 y x 442x a 0的解集为x b,则a与b的关系为x b 0A. a b B . a bC . a b D . a b5.为了判断甲、乙两个小组学生英语口语测验成绩哪一组比较整齐,通常需要知道两组成绩的（）A平均数 B、方差 C众数646.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积【|】4AA 4 4MB . 4M C . 4 D 主1辄左视俯视7 .乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入吁，户位上

3、升后，乌沙卡到了水中，设从乌展/到瓶的那刻走M后嬴扑为如图所示O图象中最符合故o情景的是【x（这则乌鸦喝胆的故事 瓶中水位白高七;y8 .二次函数A (x a)(x b) 1与x轴B交点坐标为(m,0),(n,0),且C a b, m n。则实数a,b, m, n的大小关系是【】A.m a b nB.ambnC.abmnD.amnb9 .如图，正方形ABCD的面积为256,点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt CEF的面积为200,则BE的长为【】A. 10 B . 11 C10.对于二次函数y ax2 bxc的图象中，：下面五条信息 c 0 ; abc 0 ; abc0 ； a+2b+4

4、c<0； c 4b 0 ,你认为其中正确信息的个数有【】A. 2个 B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题（本大题共4小题, 11因式分解：x2 y2 2x每小题5分，满分20分）1 _1612 .用一副三角板做出的锐角有 个13 .清明前夕，我校组织九年级学生乘车去合肥踏青寻春，若每辆坐45人则多10人无坐，若每辆坐48人则最后一辆车的人数超过其四分之一但不足其三分之一，参加春游的九年级学生共有 人.14 .将正奇数1,3,5,7,排成五列，如右图所示。则2001所在的那列从左边数起是第 列。学生姓名 15 13 11 9 得分注意事项：本卷共八大题，计23小题，满分150分，考试时

5、间120分钟题号1231471®2678910答案14题11. 12. 13. 14. 三.（本大题共2题，每题8分，满分16分）15 .先化简，再求值，（,与工）'，其中a V3 1a 1 a2 1 a 1【解】16 .如图，河旁有一座小山，从山顶 A处测得河对岸点C的俯角为30° ,测得岸边点D的俯角为45° ,又知河宽CD为50米.现需从里L顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC求缆绳AC的长（答案可带根号）河四（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.已知一次函数y kx b与反比例函数y工的图象交于点xP（ 3, m）, Q（2, 3）.（1

6、）求这两个函数的函数关系式；（2）在给定的直角坐标系（如图）中，画出这两个函数的大致图95 43-2 1D题图(3)当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？【解】18 .如图，在平面直角坐标系中，对正方形 OAB很次进行了几个变换，得到正方形OABG(1) 说出依次进行了哪几个变换？产5(2) 在每个变换中，点坐标是如何变化的？4p【解】二一五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19 .如图，某学校九年级数学兴趣小组组织；欠数李一 "公座有、 三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，-要求进入者把 自己当做数“ 1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个

7、 进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数, 才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口 进入.(1)小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说(2)小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负.游戏规则规完：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得(Q O 分，你认为这个游戏公平吗？解第1920 .某公司需在一个月(31天)内完成新建办公楼的装修工程.如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独 做，甲队比

8、乙队少用10天完成.(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数. 如果请甲工程队施工，公司每日需付费用 2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元.在规定时间内：A.请甲队单 独完成此项工程出.B请乙队单独完成此项工程；C.请甲、乙两队 合作完成此项工程.以上三种方案哪一种花钱最少？【解】六、(本题满分12分)21 .已知平面直角坐标系xOy (如图)，抛物线y -x2 bx c经过点 2一一 3A( 3,0)、C(0,-).(1)求该抛物线顶点P的坐标；(2)设Q是(1)中所求出的抛物线的一个动点，点 Q的横坐标为t, 当点Q在第四象限时，用含t的代数式表示QAC勺面积.y

9、【解】七、(本题满分12分)1 ；22 .如图，AB是半圆O的直径，AB=2.射线AM BN为半圆的切白发在一 AM1取一点D,连接B似半圆于点C,连接AC过O点作BC的垂x线OE垂足为点E,与BN相交于点F.过D点作半圆的切线1DP 切点为P,与BN相交于点Q(1)求证： ABG AOFB(2)当AABDfBFO勺面积相等时，求 BQ勺长；(3)求证：当D在AM上移动时(A点除外)，点Q始终是线段BF的中点.【解】八、(本题满分14分)23.如图，把含有30角的三角板ABOB入平面直角坐标系中，A,B两点坐标分别为（3, 0）和（0, 3.动点P从A点开始沿折线AO-OB-B悬动，点P在AQ

10、 OB BA上运动的速度分别为1,召，2 （长度单位/秒）.一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以3（长度单位/秒）的速度向上平行移动（即移动 3过程中保持l /X轴），且分别与QB AB交于E, F两点.设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AQQBBA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动.请解答下列问题：（1）过A, B两点的直线解析式是 ;（2）当t =4时，点P的坐标为;当1 =,点P与点E重合；（3） 作点P关于直线EF的对称点P'.在运动过程中，若形成的四边形PEP F为菱形，则t的值是多少? 当t=2时，是否存在着点 Q使得AFEQ sBEP若存在,【解】

11、求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.数学试题参考答案、选择题（每题4分，共40分）（第23题）题 号12345678910答 案BCBDBADACD二、填空题（每题5分，共20分）1111. （x y 1）（x y 1） 12 . 5 13 . 685 14 .二三.解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）D15.（本题满分8分）原式 a 1 a 2?o.J (a 1)(a 1)1当a <3 1时；原式1_3,3 113EAEAD= 45hC D16题16.（本题满分8分）作AB，C应CD勺延长线于点B,在 RtzABCt 因为/ ACB= /CAP30 ，/ADB=/所以

12、AC= 2AB DB= AB设 AB= x,贝U BD= x, AC= 2x, CB= 50+ x,因为 tan/ACB CB所以 AB= CB- tan/ACB= CB- tan30，所以X=f（50+ X）,即X=25（1g ,故缆绳AC的长为501 &米.17.（本题满分8分）n=-6 ,（1）设一次函数的关系式为y=kx+b，反比例函数的关系式为 反比例函数的图象经过点 Q （2, -3）,所求一次函数的关系式为y=-x-1 ;（2）两个函数的大致图象如图；（3）由两个函数的图象可以看出，当x<-3或0<x<2时，一次函数的值大于反比例函数的值，当-3<

13、x<0或x>2时，一次函数的值小于反比例函数的值。18 .（本题满分8分）略19 .（本题满分10分）解：（1）树状图略.P（进入迷宫中心）41.12 3（2）不公平，理由如下：由树状图可知，P（5的倍数）3 2 1 6 1P（非5的倍数白奇数） ，P（非5的倍数的偶数） 一 一.12 6122所以不公平20 .（本题满分10分）解：（1）设乙队单独完成此工程需用x天，依题意得：1， x x -10 12去分母得x 2 -34x+ 120 = 0解这个方程得x 1 = 4 , x2 = 30经检验知，x1 = 4 , x2 = 30都是原方程的解但x1 = 4不合题意，舍去，只取x

14、2 = 30.x10 = 20答：单独完成此项工程甲队需 20天，乙队需30天（2）因为，请甲队需2000X 20 = 40000元，请乙队需1400X 30=42000 元请甲、乙队合作需（2000 + 1400）X 12 = 40800元所以单独请甲队完成此项工程花钱最少。21 .（本题满分12分）（1）证明：连结BQAB AD AO, ODB是直角三角形，即：BD BO, BD是。O的切线（2）解： C E, CAF EBF, ACF 相似于 BEF ,AC是。O的直径 ABC 90, 在直角三角形BFA中，cos BFA -BF AF造表又SBEF8, SACF 1822.(本题满分 12 分)(1)将& 3,0)、C(0, 3)代入 y x2 bx c,得解得b 1, 3 c -2(3)2 3b c 0,23 c2所以抛物线白表达式为y其顶点P的坐标为（1 ,2）设 Q(t,2t2 t 3)23.（本题满分14分）1)解:由3 t |t得 t g；当点P在线段OB上时