平面向量在三角形中的应用VIP

1、O222222OABCOBCAOCAB O1.1 在同一平面上，有在同一平面上，有ABC及一点及一点满足关系式满足关系式，则，则A内心内心B垂心垂心C外心外心D重心重心是是ABC的（的（ ）变式训练：变式训练：()|ABACOPOAABAC (0,)1.2 已知已知O是是ABC所在平面内的一定点，动点所在平面内的一定点，动点P满足满足，则动点则动点P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABC的（的（ ）A内心内心B垂心垂心C外心外心D重心重心()|sin|sinABACOP OAABBACC (0,)1.3已知已知O是是ABC所在平面内的一定点，动点所在平面内的一定点，动点P满足满足，A内心内心 B垂

2、心垂心C外心外心D重心重心，则动点，则动点P的轨迹的轨迹一定通过一定通过ABC的（的（ ）O222222OABCOBCAOCAB O1.1 在同一平面上，有在同一平面上，有ABC及一点及一点满足关系式满足关系式，则，则A内心内心B垂心垂心C外心外心D重心重心是是ABC的（的（ ）OCAB2222OABCOBCA 解：由解：由2222OAOCOBOBOAOC 即：即：()0OCOBOAOC AB 化简有：化简有：,OABC OBAC同理有：同理有：OABC为为的垂心的垂心. .B变式训练：变式训练：()|ABACOPOAABAC (0,)1.2 已知已知O是是ABC所在平面内的一定点，动点所在平

3、面内的一定点，动点P满足满足，则动点则动点P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABC的（的（）A内心内心B垂心垂心C外心外心D重心重心解：由已知解：由已知()|ABACAPABAC 所以动点所以动点P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABC的内心的内心. A变式训练：变式训练：ABCDEFP()|sin|sinABACOP OAABBACC (0,)1.3已知已知O是是ABC所在平面内的一定点，动点所在平面内的一定点，动点P满足满足，A内心内心 B垂心垂心C外心外心D重心重心，则动点，则动点P的轨迹的轨迹一定通过一定通过ABC的（的（ ）|sin|sinABBACC 解：由正弦定理知：解：由正弦定理知：(

4、)|sin|sinABACOP OAABBACC 又又()|sinAPAB ACABB 所以所以故点故点P轨迹通过轨迹通过ABC的重心的重心D变式训练：变式训练：ABC)(OCOBOAmOHm的外接圆的圆心为的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为，两条边上的高的交点为H，则实数，则实数 OCOBOAOH解法一：解法一：特例法特例法ABC为一个直角三角形，则为一个直角三角形，则O点斜边的中点，点斜边的中点，设设顶点，这时有顶点，这时有H点为直角点为直角，1.m 高考真题再现,DAAB CHABAHDCOHOAAHOAOBOC 解法二：解法二：连连BO延长交延长交 O于于D，连，连AD、CD.C

5、HDA同理，同理，AHDC，DCDOOCOBOC 又又OHABDC 四边形四边形AHCD为平行四边形为平行四边形CAHBOABCOGH三角形的欧拉线：三角形的欧拉线： 外心外心O、重心、重心G、垂心、垂心H三点共线且三点共线且OG = = GH123()3OGOHm OAOBOCmOG 5121,3PACABCSS512PBCABCPACPABABCSSSSSACBDPENM解法一：利用平面向量基本定理解法一：利用平面向量基本定理ACABAP4131ABCPBCSS例例2. 设设P为为ABC内一点，且满足内一点，且满足，则，则14PABABCSS典型例题典型例题ACABAP41311113()

6、3434APABACABAC 11313344PABABDABCABCSSSS44141313333343PACPADABDABCABCSSSSS512PBCABCPACPABABCSSSSS法二：法二：构造三角形的重心构造三角形的重心34ADAC 取点取点D使得使得则点则点P为为ABD的重心的重心，连接，连接BD,P DABCACABAP4131ABCPBCSS例例2.设设P为为ABC内一点，且满足内一点，且满足，则，则512变式训练：变式训练：032PCPBPAACPBCPABP,2.1 已知已知P为为ABC内一点，且满足内一点，且满足，则，则面积之比为面积之比为ABCABOABCCAOA

7、BCBCOSSSSSS,OCOBOA2.2 设设O为为ABC内一点，记内一点，记，则则变式训练：变式训练：032PCPBPAACPBCPABP,2.1 已知已知P为为ABC内一点，且满足内一点，且满足，则，则面积之比为面积之比为3:1:2解法一：利用平面向量基本定理解法一：利用平面向量基本定理1132APABAC 得得 032PCPBPA由由1,3PACABCSS12PABABCSS111(1)326PBCABCABCSSS111:3 :1: 2263ABPPBCACPSSS230PAPBPC ACPBCPABP,2.1 已知已知P为为ABC内一点，且满足内一点，且满足，则，则面积之比为面积之

8、比为法二：构造三角形及重心法二：构造三角形及重心2PBPB 3PCPB 0PAPBPC 则则P为的重心为的重心.AB C1,2PABPABSS16PBCPB CSS13PACPACSS令令111:3 :1: 2263ABPPBCACPSSS013103OAOBOCOAOBOC 解法一：特例法取解法一：特例法取O为为ABC的重心，则的重心，则ABCABOABCCAOABCBCOSSSSSS,OCOBOA2.2 设设O为为ABC内一点，记内一点，记，则则变式训练：变式训练：ADAEAOADAEABACABAC 0OAOBOC BODEABCABOABCCAOABCBCOSSSSSS,OCOBOA2

9、.2设设O为为ABC内一点，记内一点，记，则则()ABACOBOCOA 1r由题知由题知,CAOABOABCABCSSADAESABSAC法二：法二：过过O分别作分别作、的平行线的平行线OD、OE，交交于于D，交，交于于E，则，则00.OAOBOC ， ， ，ABCSBCOCAOABOSSS，引申：引申： 设设O为为ABC内一点，内一点，记记= =m, , 则则分别为分别为 2、已知、已知A、B、C是平面上不共线的三点，是平面上不共线的三点，O为平面为平面ABC内内1(1)(1)(12 ), ()3OPOAOBOCR A内心内心 B垂心垂心C外心外心D重心重心任一点，动点任一点，动点P满足等式满足等式则动点则动点P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABC的（的（ ）bACaAB,bnAQamAP,nm113、已知、已知G为为ABC的重心，令的重心，令点点G分别交分别交AB