江苏省南通、泰州、扬州、淮安四市届高三第三次调研测试数学试题

1、江苏省南通、泰州、扬州、淮安四市2022届高三第三次调研测试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1. 设集合A 3 , m , B 3 m, 3，且AB，那么实数 m的值是 .2. 复数z (1 i)(1 2i) (i为虚数单位)，那么z的实部为.lx|W 13. 实数x, y满足条件那么z 2x+y的最小值是 .|y|w 1,4. 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在50 , 150中，其频率分布直方图如下列图.在50,75)中的频数为100，那么n的值为 .第4题第5题5. 在如下列图的算法流程图中，假

2、设输出的y的值为26,那么输入的x的值为 6. 从集合1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中任取一个数记为 x,那么Iog2x为整数的概率为.27. 在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x28y的焦点，贝UF到双曲线x2-1的渐近线的距离为9 .& 在等差数列an中，假设an+an+2 4n+6n N*，那么该数列的通项公式an .9. 给出以下三个命题： “ a> b是“ 3a>3b的充分不必要条件； “ a> 8'是“ COSaV COS g'的必要不充分条件； “ a 0是“函数f(x) x3+ax2x R为奇函数的充要条件.其

3、中正确命题的序号为 10. 一个空间几何体的所有棱长均为1 cm,其外表展开图如下列图，那么该空间几何体的体积V cm3.第11题11. 如图，正方形 ABCD的边长为2,点E为AB的中点.以A为圆心，AE为半径，作弧交 AD于点F.假设P为劣弧EF上的动点，贝U PCPD的最小值为12.函数f(x)322x 3x mx 5,m，0仝x仝1假设函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，那么实 x>1.数m的取值范围为.13.在平面直角坐标系 xOy中，过点P 5, a作圆x2+y2 2ax+2y 1 0的两条切线，切点分别为M(xi,yi), N(x2, y2)，且 上丸x_2 0

4、,那么实数a的值为 .X2 xy1 y2214.正实数x, y满足x3yx410，那么xy的取值范围为.y二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域 内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 .本小题总分值14分如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，B1C丄AB，侧面BCC1B1为菱形.1求证：平面 ABC1丄平面BCC1B1;2如果点D, E分别为A1C1, BB1的中点，求证：DE /平面ABC1.16 .本小题总分值14分函数f (x) Asin( x )其中A,为常数,且A>0,>0,v v的局部图象如下列图.2 21求函数f(x)的解析式

5、；2假设f()-，求sin(2 )的值.2 617. 本小题总分值14分如图，在平面直角坐标系2 2xOy中，椭圆 § 葺 1 (a>b>0)的两焦点分别为F1(3 , 0), F2(.3 ,a b一 10，且经过点.3 ,-.21求椭圆的方程及离心率;2设点B，C, D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点0对称.设直线CD，CB，OB, 0C 的斜率分别为 k1, k2, k3, k4,且 k*2 k3k4. 求k1k2的值；18. 本小题总分值16分为丰富市民的文化生活，市政府方案在一块半径为划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区,200 m,圆心角

6、为120°的扇形地上建造市民广场. 规 其中A, B分别在半径 OP, 0Q上，C, D在圆弧PQ 求OB2+OC2的值.上, CD / AB;A OAB区域为文化展示区，AB长为50. 3 m ;其余空地为绿化区域，且CD长不得超过 200 m.1试确定A, B的位置，使 OAB的周长最大？2当厶OAB的周长最大时，设/ DOC=2 ，试将运动休闲区ABCD的面积S表示为 的函数，并求出 S的最大值.19. 本小题总分值16分ai数列an, bn中，ai=1, bn (1 D , n N，数列bn的前n项和为Sn.an 1 an 1n 11假设 an 2 ，求 Sn；2是否存在等比

7、数列an，使bn 2 Sn对任意n N*恒成立？假设存在，求出所有满足条件的数列an的通项公式；假设不存在，说明理由；3假设 a1<anW，求证：Ow Snv 2.20. 本小题总分值16分1函数 f(x) a Inxa R.x1假设a=2，求函数f(x)在(1, e2)上的零点个数e为自然对数的底数2假设f(x)恰有一个零点，求a的取值集合；3假设 f (x)有两零点 X1, x2(X1V X2)，求证：2< X1+X2V 3ea 1 1.江苏省南通、泰州、扬州、淮安四市2022届高三第三次调研测试数学附加题21. 【选做题】此题包括 A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相

8、应的答题区域内作答.假设多做，那么按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A .选修4 1:几何证明选讲本小题总分值10分如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点 A作圆O的切线交BC的延长线于点 P, AH丄PB第 21 A题于H.求证：PA AH PC HB .B .选修4 2:矩阵与变换本小题总分值10分0 1在平面直角坐标系 xOy中，点 A0, 0，B2, 0，C 1 , 2，矩阵M 1 ，点A, B,-02C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为A , B , C，求 ABC的面积.C .选修4 4:坐标系与参数方程本小题总分值10分x r cos在平面直角

9、坐标系 xOy中，曲线C的参数方程为'为参数，r为常数，r > 0.以原点y r sin ,O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为2 cos( ) 2 0 .假设直4线I与曲线C交于A, B两点，且AB 2.2，求r的值.149 、 36 莎abbccd adD .选修4 5:不等式选讲本小题总分值10分实数 a, b, c, d满足a>b>c>d，求证:【必做题】第22、23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第22题22. 本小题总分值10分如图，正四棱柱 ABCD AiB

10、iCiDi中，AA 2AB .1求ADi与面BBiDiD所成角的正弦值；2点E在侧棱AAi上，假设二面角 E BD Ci的余弦值为 3 ,3求些的值.AAi23. 本小题总分值iO分袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球，如 果取出白球，那么把它放回袋中；如果取出黑球，那么该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中.重 复上述过程n次后，袋中白球的个数记为Xn.I求随机变量X2的概率分布及数学期望 E(X2)；2求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式.江苏省南通、泰州、扬州、淮安四市2022届高三第三次调研测试数学学科参考答案及评分建议、填

11、空题：本大题共 14小题，每题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1. 设集合A 3 , m , B 3 m, 3，且AB，那么实数 m的值是 【答案】02. 复数z (1 i)(1 2i) (i为虚数单位)，那么z的实部为【答案】3lx|W 13. 实数x, y满足条件那么z 2x+y的最小值是|y|w 1,【答案】34.n名学生的课外阅读时间，所得数据都在为了解学生课外阅读的情况，随机统计了率分布直方图如下列图.在50, 75)中的频数为100，那么n的值为 _50 , 150中，其频5.【答案】1000Nyjx2 2x+2yj 5输出y -结束开始/输入xY在如下列图的算法流程

12、图中，假设输出的y的值为26,第5题那么输入的x的值为【答案】46. 从集合1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中任取一个数记为x,那么Iog2x为整数的概率为4【答案】4927. 在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x28y的焦点，贝UF到双曲线x21的渐近线的距离为9_.【答案】& 在等差数列an中，假设an+an+2 4n+6n N*，那么该数列的通项公式an 【答案】2n+19. 给出以下三个命题： “ a> b是“ 3a>3b的充分不必要条件； “ a> 8'是“ COSaV COS g'的必要不充分条件； “ a 0是“函

13、数f(x) x3+ax2x R为奇函数的充要条件.其中正确命题的序号为【答案】10. 一个空间几何体的所有棱长均为1 cm,其外表展开图如下列图，那么该空间几何体的体积V 【答案】13第11题11.如图，正方形ABCD的边长为2,点E为AB的中点.以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F .假设P为劣弧EF上的动点，那么PCPD的最小值为【答案】5 2.512.函数f(x)2x3mx23x m, 0 <5,x W 11假设函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点, x>1.那么实数m的取值范围为【答案】5, 0M(x1,13. 在平面直角坐标系 xOy中，过点P 5, a作圆

14、x2+y2 2ax+2y 1 0的两条切线，切点分别为 y1), N(x2, y2)，且 上也 1生2 0 ,那么实数 a的值为 .X2 为y1 y【答案】3或2414. 正实数x, y满足x 3y 10，那么xy的取值范围为 .xy【答案】1, 83、解答题：本大题共 6小题，共计90分请在答题卡指定区域.内作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.15.本小题总分值14分如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，BiC丄AB，侧面BCCiBi为菱形.1求证：平面 ABC1丄平面BCC1B1；2如果点D, E分别为A1C1, BB1的中点，求证：DE /平面ABC1.解：1因三棱柱 AB

15、C A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，故 B1C 丄 BC1.又B1C丄AB，且AB, BC1为平面 ABC1内的两条相交直线,故BQ丄平面ABC1.因 B1C 平面 BCC1B1,故平面ABC平面BCC1B1.2丨如图，取AA1的中点F，连DF , FE .又 D 为 A1C1 的中点，故 DF / AC1, EF / AB.因DF 平面 ABC1, AC1 平面 ABC1,故 DF /面 ABC1.同理，EF /面 ABC1.因DF , EF为平面DEF内的两条相交直线,故平面DEF /面ABC1.因DE 平面DEF ,故 DE /面 ABC1.C1第15题答图10分12分14分16.

16、本小题总分值14分函数f(x) Asin( x )其中A,为常数,且A>0,>0,v V的局部图象如下列图.2 21求函数f(x)的解析式；32假设f() 一，求sin(2 )的值.2 6解：1由图可知，A 2,T 2，故 1，所以，f(x) 2sin(x ).又 ff) 2sin(2-33)2，且 2 V V 2，故于是，f(x) 2sin( x ) 32由 f ()，得 sin(2所以，si n(26)Sin 2(cos2(-)=1 2si n2(1 8 '7分9分12分14分如图，在平面直角坐标系2 2xOy中，椭圆笃耸a b1 (a > b> 0)的两焦

17、点分别为F1(3 , 0), F2( 3 ,17.本小题总分值14分第17题42a而从由椭圆的定义知,2a ( -33)2 (0 1)2(33)2 (0 ；)2 4, 10)，且经过点(.3 ,).21求椭圆的方程及离心率;2设点B, C, D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称.设直线CD , CB ,OB, OC 的斜率分别为 k1, k2, k3, k4,且 k1k2 k3k4. 求k1k2的值； 求OB2+OC2的值.F1解 : 1方法依题意,c 3, a2 b2+3,丄 由J 牛1，解得b2 l(b2b23 b22故所求椭圆方程为：y2 1 4离心率e 3 2方法二

18、即 a 2.又因c 3，故b2 1 .下略.2丨设 B(x1, y1), C(x2, y2),那么 D( x1, y1),2 2于是k1k2y2yy2y2y221X217)12222X2X1X2X1X2X2X14方法一由知，k3k4k1 k21，故X1X24y1 y2422所以，xix22 4yiy22,即xix22 161 生1 生16 4xf X2 x1x2,44所以，xf 也 4.11分又22乞y；2X2-y；2X2X22-y444所以,OB2+OC222y12X2y； 5.方法二y；，故 y1 y2 1. 14分1由知，k3k4 k1k242将直线y k3x方程代入椭圆亍y2414k3

19、2同理，X；41 4k：2 2所以，为X241 4k；1 4k41 4k；211分4F同方法18.本小题总分值16分为丰富市民的文化生活，市政府方案在一块半径为 200 m,圆心角为120°的扇形地上建造市民广场. 规 划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A, B分别在半径 OP, OQ上，C, D在圆弧PQ上，CD / AB;A OAB区域为文化展示区，AB长为50 . 3 m ;其余空地为绿化区域，且CD长不得超过 200 m.1试确定A, B的位置，使 OAB的周长最大？2当厶OAB的周长最大时，设/ DOC=2 ，试将运动休闲 区ABCD的面积S表示为 的函数，

20、并求出 S的最大值.解：1设 OA m, OBn, m, n (0,200,在厶OAB中，AB22 2 2OA OB 2OA OB cos, 3Q2 2 2即(50 3) mnmn, 2分所以，(50.3)2(mn)2mn > (m n)2® 吐 3(mn)2 , 4分44所以m n < 100，当且仅当m=n=50时，m n取得最大值，此时 OAB周长取得最大值.答：当OA、OB都为50 m时， OAB的周长最大.2当厶AOB的周长最大时，梯形 ACBD为等腰梯形.过O作OF丄CD交CD于F，交AB于E,那么E、F分别为AB, CD的中点,所以 DOE ，由 CD &l

21、t; 200，得 (0,.6DA O第18题答图在厶 ODF 中，DF 200sin , OF 200cos又在 AOE 中，OE OAcos 25，故 EF 200cos 25 .310分所以，S 丄(50 3 400sin )(200cos2625( . 3 8sin )(8cos 1)25)625(8 3cos8sin64sincos3) ,(0,.-612分一直没有交代范围扣2分令f()8 3cos8sin64sin cos3 ,(0,6f ()8 3sin8cos64cos216si n(-)64cos2 ,(0,66又 y= 16sin(-)及 y=cos2 在(0,-上均为单调递

22、减函数,6因f ()616(-于是，f()在所以当_时6 ,答：当,2(。，6上为单调递增函数.14分(0,石上为单调递减函数.4 -) > 0，故f ( ) > 0在(0,上恒成立,2 6f ()有最大值，此时 S有最大值为625(8 15. 3).梯形ABCD面积有最大值，且最大值为625(8 15 3) m2.16分19.本小题总分值16分数列an , bn中,a1=1，bn(1字)-,an 1an 1n N，数列bn的前n项和为Sn.n 11假设an 2 ，求Sn；2是否存在等比数列an，使bn 2 Sn对任意n N*恒成立？假设存在,求出所有满足条件的数列an的通项公式；

23、假设不存在，说明理由;解：3假设1当 an所以，Sna1<anW，求证：0WSnv 2.2n 1 时,bn1(1 4)3(12六)2满足条件的数列an存在且只有两个，其通项公式为an = 1 和 an= ( 1)n 1证明：在bn 2Sn中,令 n=1,得 b3=b1.设 an= qn 1 ,贝Ubn= (1由 b3=b1，得(1.1(1 -)-. q q假设q= 1，那么n 1 bn=0,满足题设条件.此时an = 1和an=( 1)综上，满足条件的数列an存在，且只有两个,是an=1，另n 1an= ( 1)10分因 1=a1<anW ，故 an>0 , Ovanan 1

24、W 1,于是2电W 12an 1所以,所以,Sn b1+ b2+bnA 0 .13分bn(1字)>0, n 1, 2, 3,爲1 爲116分1 x解：1由题设，f (x)，故f(x)在(1, e2)上单调递减. 2分x所以f(x)在(1, e2)上至多只有一个零点.又f(1)f(ej 1 ( A) v 0,故函数f (x)在(1 , e2)上只有一个零点. 4分又,bn一a；1-(1ana、1(1 2-)-)(1 )an1an1an1an 1an 1an11an11(1 n-)()-W 2().an 1anan 1an1aa 1故,1111 1 1Snb1+b2+ +bn W2(-)2(

25、-)2( )a1a2a2a3anan 11112(-)2(1)v 2.aan1an 1所以，0 W SnV 2 .20. 本小题总分值16分1函数 f(x) a ln xa R.x1假设a=2，求函数f(x)在(1, e2)上的零点个数e为自然对数的底数2假设f(x)恰有一个零点，求a的取值集合；3假设 f (x)有两零点 x1, X2(X1V x2)，求证：2v X1+X2V 3ea 1 1.e1 x2f (x)，令 f (x) 0,得 x 1 .x当x> 1时，f (x) v 0, f(x)在(1,)上单调递减；当0 vxv 1时，f (x) > 0, f (x)在(0, 1)

26、上单调递增，故f(X)max f(1) a 1 . 6 分 当f(X)max 0,即卩a 1时，因最大值点唯一，故符合题设； 8分 当f (X)max V 0,即av 1时，f(x)v 0恒成立，不合题设； 当f (X)max >0,即 a> 1 时，一方面，ea > 1, f(ea)A v 0；e 另一方面，e a v 1, f (e a) 2a ea w 2a eav 0(易证：ex> ex),于是, f(x )有两零点，不合题设.综上，a的取值集合为1 . 10分3证：先证 X1+X2>2.依题设，有 a In Xj In X?，于是2 ' in .

27、Xx2XtX2為x2,丄记一 t, t> 1，那么 IntXitx1故Xit 1tint于是，X1 + X2 X1(t+1)2t 1tintX 什 X2 22(2tint)int记函数 g(X) X - in x , x> 1. 2x因 g (x)(X 1)22x2>0,故 g(x)在(1,)上单调递增.于是，t > 1 时，g(t) > g(1) 0 13分又 int> 0,所以，X1+X2>2 再证 X1+X2V 3ea 故 S AB 2 1 1 因 f(x) 0 h(x) ax 1 xinx 0,故 X1, X2 也是 h(x)的两零点.由 h

28、(x) a 1 inx 0,得 x ea 1 (记 p ea 1).仿1知，p是h(x)的唯一最大值点，故有h( p)>0, x1< p< x2 .(X p)2X(X p)2> 0,故h(x)单调递增.作函数h(x) in x坐一耳in p，贝V h (x)x p故，当 x> p 时，h(x)> h(p) 0;当 0< x< p 时，h(x)<0.于是,ax1 1 X1i nx1<2x1 (人p)X p2整理，得(2 in p a)x1 (2p ap pin p 1)X1p > 0,2a 1a 1即，x1(3e1)x1 e &g

29、t; 0.2a 1 八a 1同理，X2 (3e1)X2 e < 0.2a1 八a 12a1 八a 1故，x2(3e1)x2 e < x1(3e1)X| e ,(X2 xJ(X2 X1)v(3ea1 1)(X2 X1),于是，X1 X2<3ea 11 .16分综上，2< x什X2< 3ea 1 121. 【选做题】此题包括 A、B、C、D四小题，请选定其中两题并在相应的答题区域内作答假设多做，那么按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A .选修4 1:几何证明选讲本小题总分值10分如图，BC为圆0的直径，A为圆0上一点，过点 A作圆0的切线交B

30、C的延长线于点 P, AH丄PB于H.求证：PA AH PC HB .第 21 A题证：连 AC, AB.又 AH 丄 PB,故 AH1 2 CH HB，即AHCHHBAH因FA为圆0的切线，故/ PAC / B .在 Rt ABC 中，/ B+ / ACB 0°.在 Rt ACH 中，/ CAH + Z ACB 0°所以，Z HAC；Z B.所以，Z FACZ CAH ,FCPA亦AHPA所以，即CHAHCHPCPAHB阳所以，即PA AHPC HBPCAH第21A题答图10分B .选修4 2:矩阵与变换本小题总分值10分因BC为圆0的直径，故AC丄AB .0 11 ，点

31、 A, B,-0210分在平面直角坐标系 xOy中，点 A0, 0，B2, 0，C 1 , 2，矩阵MC在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为 A , B , C，求 ABC的面积.厂0020 12解：因M,M,M1 ,0 001 22即 A(0,0),B(0,1),C(2,1) GZk2). 6 分C .选修4 4:坐标系与参数方程本小题总分值10分x r cos在平面直角坐标系 xOy中，曲线C的参数方程为'为参数,y r sin ,r为常数，r > 0.O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 2cos(-)2 0 .4以原点假设直线I与曲线C交于A,

32、 B两点，且AB 2 2，求r的值.解：由 2cos( ) 20，得 cos sin 20,4即直线I的方程为x y 20 .rcos，得曲线C的普通方程为x2y2r2，圆心坐标为0,0,r sin ,所以，圆心到直线的距离 d 2，由AB 2 r2 d2，那么r10分D .选修4 5:不等式选讲本小题总分值10分实数a, b, c,d 满足 a > b> c> d,求证:证：因 a>b>c>d，故a b> 0, b c>0, cd> 0.故(a b) (b c)(c d)2 3)236 ,14所以，-10分a b b c c d a d【

33、必做题】第22、23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.Ci22.本小题总分值10分Ai如图，正四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，AA 2AB .1求ADi与面BBiDiD所成角的正弦值;2点E在侧棱AAi 上 ,假设二面角 E BD Ci的余弦值为 -3 ,3求些的值.AA,ADiC第22题Bi解：i以D为原点，DA , DC, DDi分别为x轴，y轴,建立如下列图空间直角坐标系D xyz.设ABi，那么 D0, 0, 0，Ai, 0, 0,B i,i, 0， C 0, i, 0， Di 0, 0, 2,Ai i,0, 2， Bi i, i, 2， Ci 0, i,2.i设ADi与面BBiDiD所成角的大小为ADi ( i , 0, 2),2分设平面BDiD的法向量为nx, y, z,DB(i,i,0) , DDi (0,0,2),0,n DDi0 ,即 x y 0,z0.令xi,那么yi ,所以n (i,i , 0) , sin|cosADi,n | |所以ADi与平面BBiDiD所成角的正弦值为i00.2设 E(i, 0 ,),0w w 2.设平面EBD的法向量为 ni xi ,yi , zi,平面B