郑州大学远程教育学院高等数学模拟试卷4

1、高等数学(一)模拟试卷第九套得分评卷人、选择题：1-10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,1当 x > 0 时，3x2 2x3是 3x2 的()A.高阶无穷小B 低阶无穷小2.3.4.C.同阶无穷小但不是等价无穷小x2 -1设 y = * x _1a +x,A. -1D.等价无穷小1,在点x =1处连续，则a等于B. 0设f (0) =0,且叫丄存在,A. f (x) B.f (0)曲线在点y =1 nx - 2在点(e.A. y = XeC. y = 1x1eB.-1D.5.设f(X)在点x0的某邻域域存在，且lim0A. 2f(X02h)

2、 - f (x°)等于(hB.C.6.设 f (x)A.0B.87.设 f (x)sinA. 1C.f(x) limX0 xC.D.等于f (0)D.1-f (0)2的切线方程为1y x 1e1y x _ 2ef (x0)为f (x)的极大值D. -22f(x)dx等于(C.tdt20f(x)dx D.，则逅)等于B.122 0f(x)dxC. - cos 1D.1 - cos 1x、工 眄：x + 2y _z +1 =0, 小十=8.设平面则平面二！与二2的关系为()兀2 ：2x +y +4z十3 = 0,A.平行但不重和B.重和C.垂直D.既不平行，也不垂直:(_1心9级数L(k

3、0)()n =1nA.绝对收剑B.条件收剑10.微分方程y y =0的通解为(A.y = GexC2eC.y 二Ge»C2C.发散D.收剑性与k有关)b. y =GexC2D. y =Ge» C2得分评卷人、填空题：11-20分.把答案填在题中横线上.小题，每小题4分，共40分.11.lim 丄sinx2x)2 x12.13.y =1 n(1 - x2)的单调增加区间为14.15.设：:(x) = Jn(1 t)dt,则：(x)=16. limnY2n _5dx17. 设是收敛的，则k的取值范围'e xlnkx18.已知平面二：2x y - 3z 2 = 0 ,则过

4、点(0,0,0)且与二垂直的直线方程2CZ19.设 z 二 tan(xyx)则'=20.微分方程y ' y = 0的通解为得分评卷人三、解答题: 算步骤21-28小题，共70分，解答时应写出推理、演21.（本题满分8分）设 y = 3x In x,求 y .22.（本题满分8分）计算Fx2奴23 .（本题满分8分）求 x2 y2.在条件下X y = 1的条件极值24 .（本题满分8分）求y”_2y：y=0的通解.25.（本题满分8分）e计算f In xdx26.（本题满分10分）计算. .（1 -x2 -y2）dxdy,其中区域D由y =x, y =0,x2 y2 =1围成的在

5、第一象d限内的区域.27.（本题满分10分）JT在曲线y =sin x（0 _x _勺）上求一点Mx,y ）,使图9-1中的阴影部分面积s1,s2之和s +s2最小.图9-128.（本题满分10分）x dt证明：4x -13 - 0在区间（0，1）内有唯一实根° 1 +13参考答案与详解1 . D【解析】本题考查的知识点为无穷小阶的比较、选择题：每小题 4分，共40分233x 2x3 2x由于lim 2lim1，可知点x T3x2心30时3x2 2x3与3x2为等价无穷小,故应选D.2.C【解析】本题考查的知识点为函数连续性的概念由于y为其分段点，x =1为分段点.在x =1的两侧f

6、(x)的表达方式不同，因此讨论y=f(x)在x =1处的连续性应该利用左连续与右连续的概念.由于lim y = lim (a x)x1 x1 -二 a 1,2x 1 (x1)(x+1) c lim y = limlim2.x r x 1 x1 x 1 x1当x=1为y =f (x)连续点时，应有lim y存在，从而有lim y =lim y,即 a+1=2, X1可得a=1,因此选C.3.B【解析】本题考查的知识点为导数的定义"存在，因此x由于 f (0) = 0, limPmf .可知应选B.4.D【解析】本题考查的知识点为导数的几何意义与切线方程由于 y = ln x -2,从而

7、1xyxe曲线过点(e, -1 )的切线方程为1y -1 (x-e),e因此y = x -2e可知应选D.5.C【解析】本题考查的知识点为极值的必要条件；在一点导数的定义由于f(x°)为f(x)的极大值，且f (冷)存在，由极值的必要条件可知(冷)=0f（x。2h） f（x。） ，.2f（x。2h）-f（x。）】limhh 02h=2f （xo） =0,可知应选C.6. A【解析】本题考查的知识点为定积分的对称性质由于所给定积分的积分区间为对称区间，被积函数f(x) = x3 x为连续的奇函数.由定积分的对称性质可知2 3,xx)dx=0,可知应选A7. B【解析】本题考查的知识点为

8、可变上限的积分由于f (x) 口xo sin tdt 二-costJI=1 -cos 2从而知nf（2）jr=1COS 1,2可知应选B.8.C【解析】本题考查的知识点为两平面的位置关系由于平面二1,二2的法向量分别为厲=(1,2,-1),n2 =(2,1,4),n1 n2=1221(_1)4 二 0,可知ni_n2从而丨-：2.应选C.9. A【解析】本题考查的知识点为级数的绝对收剑与条件收剑由于(-讥n3k1：13设Vn 亍，则二Vn3为的P级数，可知为收剑级数nn n 4 n 4 nco可知、收剑，所给级数'、 （一2 k绝对收剑，故应选n 4 nA.微分方程为特征方程为特征根为

9、 方程的通解为lim sin x2x迄x二丄 sin22 二丄sin4.2 210. B【解析】本题考查的知识点为二阶常系数齐次微分方程的求解y -y =0.r2 -r =0A = 1,2 = 0.y = GexC2 .二、填空题：每空 4分，共40分.111. sin 4.2【解析】本题考查的知识点为连续性与极限的关系1 2由于y si nx为初等函数，定义域为（-=0）, （0：），点（x=2）为其定义区间x（0,二）内的点，从而知212. 2xcosx dx.【解析】本题考查的知识点为一元函数的微分由于 y =sinx2,y =cosx2 (x2) =2xcosx2故 dy = y dx

10、 = 2xcosx2dx13 .(0,).【解析】本题考查的知识点为利用导数符号判定函数的单调性 由于y = ln(1 x2),其定义域为(-：；二).2x又由于y2,令y、0得唯一驻点x=01 +x当x 0时，总有y 0 从而y单调增加.可知y = 1 n(1 x2)的单调增加区间为(0, ：).-1214.-ln(4 X2) c.2【解析】本题考查的知识点为不定积分的凑微分法2 dx4 x2-1 d(4 _x )24-x2V|n(4 -x2) C.215. ln(1 - x).【解析】本题考查的知识点为可变上限积分求异x(x) = 0 In(1+t)dt,则(x)= I n(1x),16.

11、【解析】本题考查的知识点为极限运算由于limn'2n -517. k 1【解析】本题考查的知识点为广义积分的收剑性 由于ee血 1b 1kdxlimkdxlim，xln x b 八：e xln x b "二 e lnbdlnlim-b k 11lnk4x(1)存在，可知k 1.lnk b18.2 1-3【解析】本题考查的知识点为直线的方程和平面与直线的关系由于直线与已知平面垂直，可知直线的方向向量s与平面的法向量n平行可以取s=n =(2,1,-3)，又已知直线过点(0,0,0)，由直线的标准式方程可知为所求xcos2(xy _x2)【解析】本题考查的知识点为二元函数的偏导数

12、z = tan( xy -x2)(xy -x2)y= 22cos (xy - x )；z1= 22.y cos (xy - x )20. y =Gcosx C2 sinx.【解析】本题考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程的求解2特征方程为r 1 = 0，特征跟为r二_i，因此所给微分方程的通y 二 Gcosx C2sinx.三、解答题：共70分121 解：y = 3x In x, y = (3x) (ln x) = 3xln 3x【解析】本题考查的知识点为导数运算.22. 解：I _x_dx = -1 (1_x2)_2d(1 _xj = - 1-x2 C.1-x22【解析】本题考查的知识点

13、为不定积分的运算需指出，由于Xdx不是标准公式的形式，可以利用凑微分的分法求解'J1 -X223. 解：构建啦格朗日函数.F (xx, y, ') = x2 y2' (x y -1),令2x0,令Fy2 y ，= = = 0,令x y -1 = = = 0.1可解得唯一组解x =-21 1(y,)为所给2 2所给问题可以解释为在直线x 1,上求到原点的距离平方最大或最小的点.由于实际上只能存在距离平方的最小值，不存在最大值，因此问题的极小值点.极小值为z1 1(2,2)【解析】本题考查的知识点为二元函数的条件极值通常的求解方法是引入啦格朗日函数，当求出可能极值点之后，

14、往往利用所给问题的实际意义或几何意义判定其是否为极值点.24.解：特征方程为r2 -2r 1 = 0,特征根为r = 1 （二重根） 方程的通解为y=(CiC2x)ex.【解析】本题考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程解的结构解：令u = I n x V = 1则eIn xdx = xln xe=e x =1.1【解析】本题考查的知识点为定积分的分部积分法26.解：利用极坐标计算,卫 1(1 -x2 y2)dxdy 二 °4 d°(1 - r2)rdrD1.16解：如图9-2 ,M (x, y) = M (x,sin x),x3 = 0 (sin x -sint)dt

15、= xsin x cosx -1,y*Y=s in xs厂10xx图9-2S2 二 2(sin t sin x)dt31二 cosx sin x xsin x,2n .s = 3 s2 二 2xsin x 2cosx sin x 72rjijis2xsinx 2xcosx-2sinx -一cosx = (2x - 一)cosx,2 2令S = 0得驻点x ,(舍掉).4 2S= 2cosx -(2x - 一)sin x.2S"=4i>0,X431可知x为极小值点.此时S = s S2最小4兀<2yX 4sin 42兀72因此m(42)为所求点.x28 .证由于f(x) =4x -13 ，则f(x)为0,1上的连续函数01 +ti ii03dt ： dt =1,1 + t30f(1) =3 -0壬0 1 t32,可知f(x)在0,11的两个端点异号因此由闭区间上连续函数的零点定理可知至少存在一点.(0