流体动力学基础

1、第三章 流体动力学根底本章将阐述研究流体流动的一些根本方法，以及流体运动学方面的某些根本概念，并应 用物理学中的质量守恒定律、牛顿第二定律和动量守恒定律等推导出理想流体动力学中的几 个重要的根本方程：连续性方程、欧拉运动方程和伯努利方程、动量方程等。并举例说明它 们在工程实际中的应用。第一节 流体流动的起因由不同的起因所造成的流体的流动过程具有不同的流动特征。造成流体流动的原因可分 为两大方面：一是由浮力造成的，二是由外力或压差造成的。根据流体流动的起因不同，可 将流体的流动分为自然流动和强制流动。1、自然流动在流体流动的体系内，因各局部流体的温度不同所导致的密度不同而产生的浮力作用所 造成的

2、流动，称为自然流动。在某流体中，当流体的某一局部受热时，那么会因温度的升高而 使其密度减小，此时，将在周围温度较低、密度较大的流体所产生的浮力作用下产生上浮的 流动；反之，那么产生下降的流动。流体的自然流动一般都是和热量的传递过程同时存在的，流体流动的特征那么直接和换热 过程有关，流场的特征与换热的温度场相互制约而并存。因此，自然流动中的动量交换过程 一般来说是较为复杂的。2、强制流动在流体流动的体系内，流体在外力或压差的作用下所产生的流动，称为强制流动。如在 泵或风机所提供的压力以及在喷射器所提供的喷射力作用下的流体的流动都属于强制流动。对于流体流动的分类，除按流体流动的起因分类外，还有其它

3、一些分类方法，如前已提 到过的不可压缩流体的流动和可压缩流体的流动；理想流体的流动和粘性流体的流动；以及 以后我们将要学到的稳定流动和非稳定流动；层流流动和紊流流动；有旋流动和无旋流动； 亚音速流动和超音速流动等。第二节 流场的特征及分类一、流场的概念流体是由无限多的连续分布的流体质点所组成，流体的运动一般都是在固体壁面所限制 的空间内外进行的。例如，室内空气的流动、室外大气的绕流、管道中水、蒸气或煤气的流动等，都是在建筑物的墙壁、管道的管壁等固体壁面所限制的空间内外进行的。因此，流体 在流动过程中将连续地占据这些空间。我们把流体流动所占据的全部空间称为流场。流体力 学的主要任务就是研究流场中

4、流体的运动规律。、研究流体运动的方法流体力学中，研究流体运动的方法有两种：拉格朗日法和欧拉法。1、拉格朗日法拉格朗日法是将整个流体的运动看作是各个单一流体质点运动的总和。他首先着眼于描述单个质点在运动时的位置、速度、压力及其它流动参量随时间的变化规律，然后把全部质 点的运动情况综合起来，得到整个流体的运动。拉格朗日法实质上是利用质点系动力学来研 究连续介质的运动。既然拉格朗日法首先描述单个质点沿其轨迹的运动，而流体又是由无数质点组成的，这就需要设法标明所描述的是哪个质点的运动。为此，选取在某一初始时刻T各个质点的位置坐标a、b、c来作为它们的标记。不同的质点在t时必然占有各自不同的位置，因此，

5、把a、b、c作为变数就能代表所有的流体质点。同时，每个流体质点在运动过程中的空间位置都是 随时间T在不断变化。所以，在直角坐标系中流体质点的轨迹方程可表示为x = x(a, b, c,)y= y(x, y, z, e片(3- 1)z = z(x, y, z, I) “式中a, b, c和工称为拉格朗日变数。将式(3 - 1)对时间求导，可得到某个流体质点的速度为UxUyUzdx x ：x(x, y, z,)d 、:.j -(3 - 2)(3 - 3)dy _ y _ y(x, y, z,) ddz：z(x, y, z, )d同理可得到某个流体质点的加速度为ax :：Uxx (x, y,乙)CT

6、-CT2ay :ZyFy(x, y.z,)ex-CT2az :：Uz _CT=：2Z(X, y,CT2z,)a、b、c和t的函数。以上两式在求导过程中应将 a、b、c视为定值。 流体质点的其它流动参量可以类似地表示为 如p= p(a, b, c, t )p=p (a b, c, t)拉格朗日法物理概念简单明了，能直接求出各质点的运动轨迹及其流动参量在运动过程 中的变化。但是在方程的建立和数学处理上常会遇到很大的困难。另外，对大多数的工程问 题并不需要详细了解每个质点的运动情况，如工程中的管流问题，一般只要知道流动截面上 的速度分布、流量及压力的沿程变化就够了。因此，在工程上拉格朗日法很少被采用

7、，广泛 采用的是欧拉法。2、欧拉法欧拉法是以流体运动的空间作为观察的对象，即着眼于整个流场的状态。研究某一时刻 位于各不同空间点上流体质点的速度、压力、密度及其它流动参量的分布，然后把各个不同 时刻的流体运动情况综合起来，从而得到整个流体的运动。实质上，欧拉法就是研究表征流 场内流体流动特征的各种物理量的场一一向量场和标量场。如速度场、压力场和密度场等。一般情况下，同一时刻不同空间点上的流动参量是不同的，因此，流动参量是空间点的 坐标(x，y，z)的函数，而在不同时刻同一空间点上流动参量也是不同的，因而，流动参量也 是时间T的函数。女口u =u(x, y, z,.)(3 4)5=Ux(x, y

8、, z,三或Uy=Uy(x, y, z,三(3 4a)4 =4(x, y, z, t)p 二 p(x, y, z,)(3 5)(3 6)二:?(x, y, z,)式(3 4)至式(3 6)所表示的函数式依次代表速度场、压力场和密度场。对于流体运动中的其它物理参量也可用同样的函数形式来表示。在欧拉法中，通过流场中某点的流体质点的加速度可表示为:dua 二d:u : u dx : u dy : u dz .x d(3 7)dux:uxdxdCTf xdduyyZydx=+-dCT:xdduz；uzdxdCTxdayaxazdyd zd y ：山dz dU:y辿y d z ddz(3 7a)uz d

9、y :uz dz y d z d由于在流场中任一流体质点都沿着一定的轨迹运动，可见，运动的流体质点所经过的空 间点的坐标也是随时间变化的，即x, y, z都是时间t的函数：x = x( T) y = y( T) z= z( t)式是流体质点的运动轨迹方程。将式对时间T求导即得到流体质点沿运动轨迹的三个速度分量为dxd ydzUx ,Uy ,Uzd .d .d .将式(b)代入式(3 7)和式(3 7a)得-cu du cu cuaux uy uz(b)(3 7b)axayaz:ux: ux: ux；x Uy y uz : z:uy； uy；：uyuy氏-xy ； z；:uzjxuy.:uz7y

10、uzuz；z(3 7c)y : x : y ；z由式(3 7b)可知，用欧拉法求得的流体质点的加速度由两局部组成，第一局部是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间变化而产生的，称为当地加速度或时变加速度，即式(37b)中等式右端的第一项 ；第二局部是由于某一瞬时流体质点的速度随空间点的变化而CT引起的，称为迁移加速度或位变加速度，即式(3 7b)中等式右端的后三项.-u- u- uuxuyuz。当地加速度与迁移加速度之和称为总加速度。为了加深对当地加x ；x y ；:y z速度与迁移加速度的理解，现举例说明这两个加速度的物理意义。如图31所示，不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截面管道，截面

11、2比截面1小，那么截面2的速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流到2点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移加速度；如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变化(增加或减少)，那么管中每一点上流体质点的速度将相应发生变化(增大或减少)，从而产生了当地加速度。图3 1流体在变截面管道内的流动(3 7b)同样的形在流体运动过程中，流体质点的其它流动参量的变化率也可写成与式 式，如P ： P ：一 P : P : PuxUyuz -dx y ： zd ?uxuy uz -dxy :z在圆柱坐标系下，流体质点的加速度计算式为:ara0azUr；Ur；： Ur UrU0Uct cr

12、r 賀:：U0: U0:：U 00 Ur - U0- U.tr:UzUz: Uz-Ur - U0- U肛 各r r cQ2；：Ur U 0 >z:z r:U0z；zUzz(3 - 8)三、稳定流场和非稳定流场由前可知，流体质点的流动参量是位置坐标体质点的流动参量是随位置坐标和时间而变化的。当流场中的流体在流动时，假设流体质点的流动参量(x,y, z)和时间t的函数，即一般情况下流(如速度U和压力p等)不随时间T而变化，而只是位置坐标(x, y, z)的函数，这种流场被称为稳定流场。稳定流场中流体的流动 参量，如速度u和压力p等表达式可写成注0CTu=u(x, y, z) p =p(x,

13、y, z)稳定流场内流体的流动称为稳定流动。如图3 2(a)所示，在容器的侧壁开一小孔，液体从小孔向外流出。如果设法使容器内的液面高度保持不变(如连续往容器内注入一定量的液体),那么所观察到的从小孔流出的流股轨迹也是不变的。这说明孔口处的流速以及流股内各空间点上的流速都不随时间而变化，这种情况下的流动即为稳定流动。但是，在流股内不同 的位置上的流体质点的运动速度那么是不同的。就是说，稳定流动时，流场中各点的流动参量 虽然与时间无关，但一般仍是空间坐标的函数。图3 2稳定流动和非稳定流动如果流场中的流体在流动时，流体质点的流动参量既随时间而变化又随坐标而变化，这 种流场那么称为非稳定流场。这时的

14、流动参量是时间工和坐标(x, y, z)的函数，如速度、压力的表达式可写为理0cl3- 2(b)，如果不往容器内补充液体,u=u(x, y, z, E) p 二 p(x，y，z，)非稳定流场内流体的流动那么称为非稳定流动。如图显然随着流体从小孔向外流出，容器内液面不断下降。这时可观察到，随着时间的增长，从 小孔流出的流股的轨迹从初始状态逐渐向下弯曲。这说明流股内部各点的流速等各流动参量 不仅是坐标的函数，而且随时间在不断地变化。这种情况下的流动那么为非稳定流动。非稳定流动是比拟多见的。但如果我们观察的时间比拟长，其流动参量的变化平均值趋 于稳定；或者流体的流动参量随时间的变化非常缓慢，且在较短

15、的时间内研究这种流动时， 都可以近似地认为它们是稳定流动或作为稳定流动来处理。这样做，方法比拟简便，而且能 满足工程上的实际需要。四、一维流场、二维流场和三维流场一般地，流体的流动都是在三维空间内进行，流体的流动参量多是三个坐标的函数，这 种流场称为三维流场。如自然环境中风或水的流动等都属三维流场内的流动。如果流场中流 体的流动参量是两个坐标或是一个坐标的函数，那么它们分别被称为二维流场和一维流场。很 显然，自变量的数目越少，问题就越简单，因此在流体力学的研究和实际工程技术中，在可 能的条件下应尽量将三维的流场简化为二维流场甚至一维流场予以解决或近似求解。图3- 3管内流速分布图例如图3-3所

16、示一变截面圆管内粘性流体的流动，流体质点的速度既是半径r的函数,又是沿轴线距离 x的函数，即u = f(r, x)显然这种流场为二维流场，但在工程上常将其简化为一维流场来求解。其方法就是在每个截 面上取速度的平均值，图 33中的u就是速度u在相应截面上的平均值。于是有U = f (x)即速度场只是x的函数，这就是一维流场的问题。五、控制体的概念研究流体平衡和运动规律的根本方法之一是取一个流体微团(微元体)，分析微团的受力、变形和运动，建立平衡或运动微分方程，然后求解微分方程，从而得到各流动参量之间的关 系。即用微分的方法来建立根本方程式。但在有些情况下，采用积分的方法去建立根本方程式以求解流动

17、规律，那么更为简便。积分方法不是从分析无限小的微团出发，而是从分析有限 体积内的流体质点的运动出发来建立方程。这里就要用到控制体的概念。所谓控制体，就是根据所研究问题的需要，在流场中划定的某一个确定的空间区域。这 个区域的周界称为控制面。控制体的形状是根据流体的流动情况和边界位置任意选定的，但 一旦选定之后，那么不再随流体的流动及过程的进行而变化。同时，控制体的形状和位置相对 于所选定的坐标系来说也是固定不变的。另外，控制面可以是实际存在的外表，也可以是设 想的外表。如图3-4所示的1234区域是分析研究液体流过一无限大平板情况时所选取的控 制体。该控制体确定之后，不再随流体的流动而变化，并且

18、相对于坐标系xoy也是固定不变的。图中1-3控制面和2-4控制面是实际存在的外表，1-3面为气液界面，2-4面为液固界面。1-2控制面和3 4控制面为设想的外表，它们都是在液体中划定的外表。图3 4 控制体和控制面例3- 1图-x "例3- 1不可压缩流体通过收缩形管道作一维稳定流动，其速度为u =u0(1 )i , uo为起始速度，L为特征尺寸。(1) 求流场中流体质点的加速度a;(2) 起始时刻7= 0时，x = 0，求质点在流场中的位置 x与时间t的函数关系，以及 流体质点加速度a与时间t的函数关系。解根据题意作图，并建立坐标系如下图。(1) 根据式(3 7b),流场中运动流体

19、质点的加速度为du cucu6u 丄 cuauxuy uz 一d ctexcy dz因为流场是稳定的一维流场，所以,0,UyPz"而Uxx=u = uo(1)，只是坐标x的函数，故有dux二 ux _dxdu a 二d很显然，只要知道坐标 x的数值，就可求得流场中任一点的加速度。d x(2) 根据速度的定义ux，求得didx 二ux d 二u0(1 f)d上式别离变量得dX +d.1 x/Lx积分得Lin(1 J = u0. C积分常数C由边界条件确定，当T= 0时，x = 0,所以C= 0，那么上式整理后，得(b)x = L(e-1)式(b)就是所求的位置坐标 x与时间t的函数关系

20、式。由式(b)可求得流体质点的加速度a与时间t的函数关系式，即,22 uod x u0 -t a 2-eL(c)d 2 L必须指出，虽然我们讨论的是稳定流场，但是当我们跟踪某些特定的流体质点的时候，该流体质点所在的位置、速度和加速度等仍然是时间的函数，如上面的式(b)和式(c)等。第三节迹线与流线上节说明了流场中流体质点的流动参量随时间的变化关系。为了使整个流场形象化，进 而得到不同流场的运动特征，还要研究同一流体质点在不同时间内或者同一瞬时众多流体质 点间流动参量的关系，也就是质点参量的综合特性。前者称为迹线研究法，后者称为流线研 究法。一、迹线迹线就是流体质点在一段时间内的运动轨迹线。如在

21、水流中撒入细微的铝粉或镁粉，然后去跟踪某些铝粉或镁粉微粒(每一铝粉或镁粉微粒可近似表示一个流体质点)，就可观察到它们的运动轨迹，也就是流体质点的迹线。通过迹线可以看出流体质点是作直线运动，还是 作曲线运动，以及它们的运动途径在流场中是如何变化的。在一般情况下，只有以拉格朗日 法表示流体质点的运动时才能作出迹线。迹线的特点是：对于每一个质点都有一个运动轨迹，所以迹线是一族曲线，而且迹线只随质点不同而异，而与时间无关。研究流体质点的迹线是 拉格朗日法的内容，为了适应欧拉法的特点，还必须引入流线的概念，它也能形象地描绘出 流场内的流动形态。二、流线流线与迹线不同，它不是某一质点经过一段时间所走过的轨

22、迹，而是在同一瞬时流场中 连续分布的不同位置的质点的流动方向线。或者说，流线是某一瞬时的一条空间曲线，该曲 线上每一流体质点的速度方向都与曲线在该点的切线方向相重合。亦即流线上各质点的流速 都与流线相切。如图3- 5(a)所示，设在某一瞬时 t流场内某一空间点 a处的流体质点速度为 Ua，沿Ua方向无穷小距离 b处的流体质点在同一瞬时t的流速为ub，沿ub方向无穷小距离 c处的流体质点在同一瞬时 T的流速为Uc，依次类推，在同一瞬时T的流场空间内，有一条经过流体质点a、b、c、d、e的折线abcde。如果把这条折线上相邻点间的距离无限缩短并趋于零，那么该折线就成为一条光滑的曲线，如图3-5(b

23、),这条光滑的曲线就是工瞬时流场中的一根流线。我们还可以用简单的实验来显示出流场中的流线形状。例如在水流中撒布闪光铝 粉或镁粉，在摄影灯光照射下，用快速照相机在极短的曝光时间内拍摄水流的照片，即可得 到流线图。在照片上可以看出，这些流线是由很多闪亮的短线会聚组成的，这些短线是在短 促的曝光时间内，由很多铝粉或镁粉颗粒各自划出的。可见流线是客观存在的，它直接显示 出流场内的流动形态。图3-5流线示意图通过上述分析可知，流线具有以下两个特点：(1) 流线是在某一瞬时所得到的一条曲线，而不是在一段时间内跟踪流体质点运动所得 到的曲线。(2) 它不是某一流体质点在运动中的轨迹线，而是通过很多个位于不同

24、坐标点上的流体 质点的运动速度向量所描绘出的曲线。流线的性质(1) 在稳定流场中，流线在空间的位置和形状都不随时间而变化。任意坐标点上的流体 质点的流动参量仅仅是坐标的函数，而与时间无关。不管哪一个流体质点通过指定的坐标点 时，其速度向量都是不变的。所以流线的位置和形状自然保持不变。在非稳定流场中，流体质点的流动参量不仅是坐标的函数，同时也是时间的函数，如公式(3 4)至(3 6)。所以流线的位置和形状自然要发生变化。如图3 2(b)所示的非稳定出流情况。(2) 在稳定流场中，流线和迹线相重合。在非稳定流场中，流线和迹线不重合。(3) 流线与流线之间不能相交，即不可能有横过流线的流体流动。我们

25、可以用反证法解释这一结论。如图3 6所示，假定有两条流线 1、2在A点相交，按流线的定义，在 A点所 作出的代表流体质点速度向量的切线应有两条。可是在同一瞬时，一个流体质点只能有一个 速度向量，不可能同时有两个不同的速度向量，即一个流体质点在同一瞬时不可能同时向两 个方向运动。除非 A点的速度为零，是一个驻点；或者 A点的速度为无穷大，是一个奇点。 这样，流线已被分割成了四条，而不再是两条相交的流线。所以过A点只能有一条流线。故流线是不可能相交的。同时，流线也不可能有分支(两条流线在某点相切除外)。(4) 流线不能发生突然折转。流体被视为连续介质，其中各点的流动参量都是坐标的连 续函数。如果出

26、现流线急剧折转现象，那么必然破坏函数的连续性规律。所以只有在平滑曲线形状时才能保证连续流动条件。在工程设计中，对于和流体运动有直接关系的物体外表，如 管嘴的入口和风机的叶片等总是尽量做成流线型的，以减少能量损失。图3 - 6流线相交图图3 - 7流线上速度向量分解流线的微分方程如图3 7所示，在流线上 A点处的流体质点的速度为 U，它在x, y, z坐标轴上的投 影分别为ux、Uy、uz, A点处流线上的一微元段长为 ds,其投影分别为dx、dy、dz。根据流 线的定义，A点的速度U必与A点的切线相重合，于是有UxUdx_ ds,uyU=dy -ds,Uz dz u ds由此得到dxd ydz

27、J(3 - 9)UxuyUz式(3 - 9)就是直角坐标系下的流线微分方程式。 在圆柱坐标系下的流线微分方程式为drr d -dz(3 - 10)Uru0Uz例3- 2有一流场内的速度分布为U =5yi 2. j。U的单位是m/s, y的单位是m , t的单位是s。(1) 问该流场是几维流场？为什么？(2) 该流场是稳定流场还是非稳定流场？(3) 求当t= 3s时，点(1 , 2, 0)处的速度分量 ux、Uy和Uz。(4) 求T= 3s时，过点(1 , 2, 0)处流线的斜率。解(1)该流场是一维流场。因为流场中的速度分布仅仅是y坐标的函数，而与坐标x,z无关，所以是一维流场。cuy(2)该

28、流场属于非稳定流场。因为流速u是时间t的函数，即 一 =2 = 0，所以是非稳ax定流场。(3)因为u = uxi uy j uzk速度为u =5yi 2 j所以有Ux = 5y,Uy= 2 t ,Uz= 0那么当t= 3s时，在点(1 , 2, 0)处的速度分量分别为Ux = 5X 2= 10m/ s,uy = 2x 3= 6m/ s,uz= 0(4)根据流线的定义，在某一瞬时，流线上各流体质点的速度方向都与曲线上该点的切 线方向相重合。因此，由流线微分方程，当t= 3s时，过点(1, 2, 0)处流线的斜率为dyuydxUx(1,2,0)0.65 2例3-3 有一流场其x, y, z三个坐

29、标方向的分速度分别为ux=- ky, uy= kx, uz= 0(k为正常数)，求其流线方程式，并分析其流动状况。解 因为Ux和Uy只是坐标x和y的函数，而Uz= 0，所以流动是二维的。将三个速度分 量代入流线微分方程，得到d x _ d y-ky kx即xdx + ydy = 0此微分方程的解为2 . 2x + y = C即流线族是以坐标原点为圆心的同心圆。其速度与坐标轴夹角的余弦是cos(U,UxUUycos(u, y)二 u当x, y都是正值时，流速u与x轴的夹角为钝角，当 x, y都是负值时，流速 u与y轴的夹角也为钝角，所以流体质点的运动方向是逆时针方向。其流线族如图3-8所示。图3

30、-8流线族示意图第四节 流管、流束、流量和平均流速流线只能表示流场中流体质点的流动参量及流场的形态，但不能说明流过的流体数量。 为此引入流管和流束的概念。图3- 9 流管示意图图3- 10 有效截面如图3-9所示，在给定的瞬时，在流场内任作一条不是流线的封闭曲线B,通过封闭曲线B上各点作流线，这些流线所构成的管状外表称之为流管。因为流管是由流线构成的，所 以它具有流线的一切特性。即流管上各点的流速方向都与流管的外表相切，流体质点不能穿 过流管流进或流出否那么就要有两条流线相交。流管就象固体管子一样，将流体限制在管内 或管外流动。流管内部流动的流体，亦即充满流管的一束流线族，那么称为流束。在稳定

31、流 场中，流束或流管的形状不随时间而改变；在非稳定流场中，将随时间改变其形状和位置。在流管内的流束中与各流线都相垂直的横截面称为流管或流束的有效截面或称过流截面。流束中流线互相平行时，其有效截面为平面；流线不平行时，其有效截面为曲面。如图 3- 10所示。对于不可压缩流体，当流线皆为平行直线时的流动称为均匀流；否那么，称为非 均匀流。均匀流同一流线上各质点的速度相等，因此，其迁移加速度皆为零。有效截面面积为无限小的流束或流管，称为微元流束或微元流管。对于微元流束，其有 效截面上各点的速度可以认为是相同的。单位时间内通过有效截面的流体的数量，称为流量。流体的数量可以用体积、质量或重 量来计量，因

32、此流量又分为体积流量米3/秒、质量流量千克/秒和重量流量牛顿/秒，并分别用Q、M和G来表示。在流管内取一微小的有效截面dA，在dA上可以认为流体的各个流动参量各点都相同如(3 - 11)(3 11a)(3 11b)图3 -9。因此，通过有效截面 A的体积流量Q、质量流量M和重量流量G分别为QAUdAMA 5dAG = 乂 gudA式中：u 有效截面上任意一点的速度，m/s;P与速度u相对应的流体的密度kg/m3。以上计算必须先找出微元流束的速度u在整个有效截面A上的分布规律，然后才能积分求解，但其速度分布规律在大局部工程问题中是很难能用解析法来确定的。因此，在工程计 算中为了方便起见，引入平均

33、流速的概念。平均流速是一个假想的流速。即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上流体的体积流量仍与各点以真实流 速U流动时所得到的体积流量相同。假设以U表示流管有效截面上的平均流速，按其定义可得Q =uA= udA(3 12)u =Q = 1 udAA A A对于一个具体的流道如管道等，也可以看成是一个流管，其流量也可以按上述各式进 行计算。例3 4温度为400C，绝对压力为 0.104MPa的空气从空气预热器流出，经两条热风 管道送往炉子燃烧器。热风总流量为78400N/h，热风管内径为 300mm。求热风管内空气的平均流速。解 在400 C和0.104MPa条件下空

34、气的密度为-RT0.104 106287 (400 273)= 0.538kg/m3每条热风管内热风的体积流量为G3600 2 乜784003600 2 0.538 9.81-2.063m3/s所以热风管道内空气的平均流速为= 29.2m/ s4Q 4 2.063二 d2 一 3.14 0.32第五节流体的连续性方程连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。我们认为流体是连续介质，它在流动 时连续地充满整个流场。在这个前提下，当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲 面时，可以断定：假设在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量不相等时，那么这封 闭曲面内就一定会有流体密度的变化，以

35、便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；如果流 体是不可压缩的，那么流出的流体质量必然等于流入的流体质量。上述结论可以用数学分析表 达成微分方程，称为连续性方程。一、直角坐标系下的三维连续性方程在流场中任取一个微元平行六面体作为控制体，其边长分别为dx, dy, dz如图3 11。假设微元六面体形心 a的坐标为x, y, z，密度为p x y,乙，速度为u=ux, y, z。现在来讨论流体经微元六面体各外表的流动情况。flx 2dx首先确定微元体六个面上的有关流动参量。由于微元六面体的各个外表都是很小的，故 可以认为每个外表上各不同流体质点的流动参量都是相同的。因此，六个微元外表上的有关 的流动

36、参量可利用泰勒公式展开成以点ax, y, z的有关流动参量来表示。现在先讨论x轴d x讹-刁，y,z)(x, y，z)/ dxUx (x方向上的流动情况，在垂直于x轴的左侧面上b点流体的密度和流速按泰勒级数展开后分别 为仁dx 、仁dx 、2 (x x)2(xx)21!fx 22!：x222，y,z)=Ux(x, y,zl£U(d2_xpFl£-ux (.J-x)2 +21! ； x 22! ； x 2上两式忽略二阶以上无穷小量，并简化后为：xd xT 'y'z)(x'y'z)Ux(x乎,y, Z)二 Ux(x, y, z)2；x 2应用同样

37、的分析方法，可写出垂直于x轴的右侧面上c点流体的密度和流速表示式，即伪.dx口、+Pdx：(x , y, z) (x , y, z)/丄 dx、/、丄点 Ux dxUx(x, y , z) =Ux(x , y , z)2dx 2所以，在单位时间内从左侧微元面dydz流入微元体的流体质量为工乎)血-竺乎)dydzex 2ex 2同样在单位时间内从右侧微元面dydz流出微元体的流体质量为)(u:ux dx)dydz单位时间内沿x轴方向流体质量的变化为dxUx dxdxUx dx.()(Ux- )dydz-()(Ux - )dydzex 2ex 2ex 2dx 2= 竺 Ux)dxdydz 二一(：

38、Ux)dxdydzexexex同理，在单位时间内沿 y轴和z轴方向流体质量的变化分别为毁dxdydz;ddxdydz ；z因此，在单位时间内经过微元六面体的流体质量总变化为一斗.d .S dxdydz| x:z(a)由于流体是作为连续介质来研究的，所以，式a所表示的六面体内流体质量的总变化,必然引起六面体内的流体的密度的变化。在单位时间内，微元六面体内流体因密度变化而引 起的质量变化为cP d xd yd zCT根据流体流动的连续性，式 a和式b必然是相等的，即(b)- d d4】dxdydz二工 dxdydzCT:y；z全式通除以dxdydz，移项后得丁 . ： Ux： 'uy：讥_

39、 oL、一x. y. z(3 - 13)或写成cP-div :-uH0CT将式3 13中各项展开、合并整理后，可得到连续性微分方程的另一种形式，即(3 13a)d: x : y : z(3 13b)式3 13就是直角坐标系下可压缩流体不稳定流动的三维连续性方程，该式具有普遍意义。£P对于可压缩流体的稳定流动，由于0 ,那么上式可写为CT(5x) . (Sy) m) =0L、L、L、x: y: z(3 14)或div u =0假设流体是不可压缩的，那么不管是稳定流动或非稳定流动，其密度13可简化为3 14aP均为常数，故式3 =0；x；z(3 - 15)div u =0B dr(3 1

40、5a)式(3 15)为不可压缩流体的三维连续性方程。它对于稳定流动和非稳定流动都适用。其物理 意义是：在单位时间内通过单位体积流体外表流入和流出控制空间的流体体积是相等的。对于二维流动的不可压缩流体，式(3 15)可写为(3 16)、圆柱坐标系下的三维连续性方程在圆柱坐标系下的流场中，取出一微元六面体ABCD作为控制体，如图3 12所示。与上述推导方法相似，在忽略高阶无穷小量后，作如下简化推导：图3 12圆柱坐标系下的微元体单位时间内经 AB、BC和CA面流入微元体的流体质量分别为;?urrd z?u0d rd z;?uzrd r同样，单位时间内经 CD, DA和BD面流出微元体的流体质量分别

41、为-(；u )5rr dr(r dr)ddz一r九0gdrdz5z ' uz)dzrZdrcz那么单位时间内，微元体中的流体质量改变量为:r一: zr 主匹drddz同时，在单位时间内由于微元体中流体的密度变化而引起的微元体中流体质量的改变量为FPrd vdrdzCT(b)根据质量守恒原理可知，式(a)必然与式(b)相等，即.匕2.3 r4dddz 丄心 drdz尺口CrC存:r: z：.上式两边同除以rd 0 drdz并整理后得汕 _土 汽讥)：:C"ue)：( ：Uz)ct r crr 賀cz(3 - 17)式(3 - 17)就是圆柱坐标系下的三维连续性方程。对于不可压缩

42、流体，密度p=常数，连续性方程为(3 18)三、一维稳定管流的连续性方程如图3 13所示，Ai> A2为流管的两个有效截面。dAi> dA2为微元流束的有效截面，相应截面上的流体速度分别为U1和U2,流体密度分别为 p和P2。选取控制体如图中虚线所图3 13流管内的流动"J Pi«2示。根据质量守恒定律，在稳定流动的条件下，单位时间内流入控制体的质量应等于流出控 制体的质量，即控制体内的质量应保持不变，即(3 19)式中：A 整个控制体的外表积，即控制面的面积，m2;un控制面上各点的外法向速度，m/so:%u2 d A2根据流管的性质，不可能有流体穿过流管管壁

43、流进或流出，即在流管侧外表上的法向速 度Un= 0,因此，式(3 19)可以写成(3 20)如果取p、Ui和p、U2分别表示Al和A2截面上的平均密度和平均流速，那么式(3 20)可写为：'iu i Ai = : 2U 2A2对于不可压缩流体，p为常数，那么有u 1A1=u 2 A2UiA2u 2 A1(3 21)(3 22)(3 22a)所以/uy:y=2,式(3 22)是不可压缩流体一维稳定管流的连续性方程。它说明管截面上的平均流速与有效截面的面积成反比，即对于同一根流管 (或固体管道)，在不可压缩流体稳定流动的条件下，管 径大的截面上平均流速小，而管径小的截面上平均流速大。应当指

44、出，在推导流体连续性方程的过程中，并没有涉及到作用于流体上的力。故上述 推导的各连续性方程式对于理想流体和粘性流体都是适用的。例3 5试判断以下流场的流动是否连续 (尸常数)?23(1) Ux =6(x y ), Uy =2y z, ux y 4z2(2) ur =2rsin vcosr, u 产 2r cos ,Pu解(1)根据式(3 15), x =6, ex故该流场内的流动是不连续的。(2) 根据式(3 18)所以u-L = 2si ncos,r4rsincos,4 .门 0 讥=0r: rrz故该流场内的流动是连续的。例3 6有一可压缩流体的流场可用下式描述6 二(axi -bxyj

45、)e山式中x, y为坐标(m), t是时间(s), p是密度(kg/ m3), u是速度(m/s), a、b、k是有单位的 常量。试计算 t= 0时点(3, 2, 2)处密度随时间的变化率。L PCT解由式(3 13a), div (5)=0divCU-I：®/)"bxy*)xy-ae上bxe上=(bx _a)e上因此，当T= 0时，点(3, 2, 2)处密度随时间的变化率为3 =3b - a kg/( m s)CT例3- 7某座6t转炉的烟气量为 4300m3/h(标态)，流经文氏管喉口处的平均流速为山=100m/s，出口流速为u2= 10m/ s,喉口和出口处烟气温度均

46、为 70C,求喉口直径d1和出口 直径d2(如图3- 14)。图3- 14文氏管解烟气每秒钟流量为Q0= 4300/ 3600 = 1.2 m3/ s(标态)由式(1- 14)可算得烟气在70C时的秒流量Qt= Q°(1 + 3)t= 1.2X (1 + 70/273) = 1.5m /s根据式(3 22) Q = u1A1 = u2A2 得A1 = Qt/ U1 = 1.5/100 = 0.015 m2那么喉口直径为.：4A0.015 cQdJ= J= 0.138 m= 138 mm. ：.3.14A 2= Qt/ U2= 1.5/10 = 0.15 m2那么出口直径为_；4沃0.

47、15d2A 0.437 m = 437 mm第六节理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用。它建立了理想流体 的密度、流速、压力和外力之间的关系。下面就来讨论理想流体的运动微分方程。、直角坐标系下理想流体的运动微分方程如图3- 15所示，在流动的流体中取出一边长分别为dx、dy、dz,平均密度为p的微元平行六面体作为研究对象。由于是理想流体，所以作用在微元六面体上的外力只有质量力和 垂直于外表的压力，而没有粘性力。假设微元六面体的形心 A点的坐标为x, y, z,速度为u ,速度分量分别为 Ux、Uy、Uz，压力为P,那么作用在微元体六个外表中心点的压力

48、可按泰勒级 数展开后，并忽略二阶以上无穷小量，表示于图3- 15上。例如在垂直于 x轴的左右两个平面中心点上的压力分别为p Pdx和p Pdx，由于各外表都是微元面积，所以这些压ex 2dx 2力可以作为各外表上的平均压力。另外，假设作用在微元六面体上的单位质量力f的分量分别为fx、fy和fz。那么按牛顿第二定律 SF= ma,可以得到x轴方向的运动微分方程图3-15微元六面体的受力情况(p - -Pdx)dydz( p Pdx)dydz fxdxdydz = :?dxdydzdUx ex 2dx 2整理后，得dUxd同样可得到y轴方向和z轴方向上的运动微分方程。于是，理想流体的运动微分方程为

49、它的向量形式为仁PduxP dxd.1 jpdUyd.仁pduz(3 23)1f graddu d(3 24)假设以当地加速度和迁移加速度表示方程组(3 23)各式右边的加速度，便得到1 : p juxUy-：UxUz1 j p : Uy: Uy: Uy： Uy? ：y ： Ux ；x Uy Uz ； z1 ； p :：Uz :：Uz zUy.:Uz7y：Ux(3 25)理想流体的运动微分方程又称为欧拉运动微分方程。它对于不可压缩流体和可压缩流体都是适用的。很显然，当流体处于平衡状态时，Ux = Uy = Uz= 0,那么欧拉运动微分方程即成为欧拉平衡微分方程。、圆柱坐标系下理想流体的运动微分

50、方程理想流体的运动微分方程在圆柱坐标系下的形式，可以用上述同样的方法，在流场中取一微元六面体(类似于图3 12),然后根据牛顿第二定律列出微元体的受力平衡式，从而得到该坐标系下的运动微分方程。也可以根据直角坐标与圆柱坐标的参量换算关系，从式(3 25)直接求得。在这里我们不再详细推导，只给出推导结果：fr/ 21 : P : Ur : Ur ； Ur : Ur U 0 UrU0Uz-:rr r 一. z r1 ；:p孑二74 UrCTS U 0.rfz1：UzJUz：Uz: Uz-Ur - U 0-Uz-:zr rz(3 26)式(3 26)就是圆柱坐标系下的理想流体运动微分方程，或称为欧拉运

51、动微分方程。它的应用 条件同式(3 25)。圆柱坐标系下的欧拉运动微分方程对于解析轴对称的流动问题更为方便。三、理想流体沿流线的运动微分方程ds,如图3 16所示，于理想流体的流场中，在流线方向上取出一柱形微元流体，长为 端面面积为dA。根据流线的定义，速度向量必定与流线相切，因此，可给出速度场为u =u(s,)图3 - 16流体微团受力分析设柱形微元流体的平均密度为p，中心处的压力为p,上、下游两端面上的压力按泰勒级数展开后，并略去二阶以上无穷小量为p - ' P dS和pP dS，方向垂直于两端面。由cs 2ds 2于是理想流体，没有粘性力，所以柱形微元流体侧面上的外表力只有压力，

52、都垂直于轴线， 它们在流线方向上的分量为零。又设微元柱形流体所受的质量力只有重力，方向垂直向下，大小为p gdAds。微元柱形流体运动所产生的切向加速度为as,其受力情况见图 3-16。根据牛顿第二定律二Fs = ma；，有(p-Pds)dA-(p 少史巾人-gdAdscos 二 dAdsascs 2cs 2式中B为流线切线与铅直轴的夹角。上式化简后并用 p dAds去除，得1- pgeos) as = 0(a)s由于lim cost"s 0 .-：s(b)(c)du cu cu d s cu 亠 cu asu -d.s ds将式(b)、(c)代入式(a),得(3 - 27)这就是理想流体沿流线流动的运动微分方程，或称欧拉运动微分方程。它适用于理想流体在 重力作用下沿流线方向流动的情况，并且对于可压缩流体和不可压缩流体的非稳定流动也都 适用。同时，它表达了某一瞬时沿任意一根流线流体质点的压力、密度、速度和位移之间的 微分关系。在稳定流动条件下,.:u=0,同时p, z U只是距离s的函数，可将偏导数改写为全导CT数，从而得到理想流体在重力作用下沿流线稳定流动的运动微分方程为dP gd z udu = 0P如果流体只是在水平面内流动，那么上式可简化为丸 udu=0P例3-8设有一不可压缩的理想流体稳定流动，其流线