高考数学(文数)一轮课后刷题练习：第8章平面解析几何 8.5（教师版）

1、重点保分 两级优选练A级一、选择题1已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x21的焦点坐标为()A(±，0) B(0，±)C(±，0)或(±，0) D(0，±)或(±，0)答案B解析因为正数m是2和8的等比中项，所以m216，则m4，所以圆锥曲线x21即为椭圆x21，易知其焦点坐标为(0，±)，故选B.2已知是ABC的一个内角，且sincos，则方程x2siny2cos1表示()A焦点在x轴上的双曲线B焦点在y轴上的双曲线C焦点在x轴上的椭圆D焦点在y轴上的椭圆答案D解析因为(sincos)212sincos，所以sinc

2、os0，结合(0，)，知sin>0，cos<0，又sincos0，所以sincos0，故0，因为x2siny2cos1可化为1，所以方程x2siny2cos1表示焦点在y轴上的椭圆故选D.3设F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()A. B. C. D.答案B解析由题意知a3，b，c2.设线段PF1的中点为M，则有OMPF2，OMF1F2，PF2F1F2，|PF2|.又|PF1|PF2|2a6，|PF1|2a|PF2|，×，故选B.4已知椭圆C：1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆

3、与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A. B. C. D.答案A解析由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离da，解得ab，e .故选A.5已知椭圆1(a>b>0)与双曲线1(m>0，n>0)有相同的焦点(c,0)和(c,0)，若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案C解析因为椭圆1(a>b>0)与双曲线1(m>0，n>0)有相同的焦点(c,0)和(c,0)，所以c2a2b2m2n2.因为c是a，m的等比中项，n

4、2是2m2与c2的等差中项，所以c2am,2n22m2c2，所以m2，n2，所以c2，化为，所以e.故选C.6某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m千米，远地点距地面n千米，地球半径为r千米，则该飞船运行轨道的短轴长为()A2千米 B.千米C2mn千米 Dmn千米答案A解析某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，设长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则近地点A距地心为ac，远地点B距地心为ac.acmr，acnr，ar，c.又b2a2c222mn(mn)rr2(mr)(nr)b，短轴长为2b2千米，故选A.7如图，F1，F2分别是椭圆1(a>

5、;b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且F2AB是等边三角形，则该椭圆的离心率为()A. B. C.1 D.答案C解析连接AF1，F1F2是圆O的直径，F1AF290°，即F1AAF2，又F2AB是等边三角形，F1F2AB，AF2F1AF2B30°，因此，在RtF1AF2中，|F1F2|2c，|F1A|F1F2|c，|F2A|F1F2|c.根据椭圆的定义，得2a|F1A|F2A|(1)c，解得ac，椭圆的离心率为e1.故选C.8椭圆1的左焦点为F，直线xa与椭圆相交于点M，N，当FMN的周长最大时，FMN的面积是(

6、)A. B. C. D.答案C解析设椭圆的右焦点为E，由椭圆的定义知FMN的周长为L|MN|MF|NF|MN|(2|ME|)(2|NE|)因为|ME|NE|MN|，所以|MN|ME|NE|0，当直线MN过点E时取等号，所以L4|MN|ME|NE|4，即直线xa过椭圆的右焦点E时，FMN的周长最大，此时SFMN×|MN|×|EF|××2，故选C.9如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为1(a>b>0)，若直线AC与BD的斜率之积为，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案C解析设外层

7、椭圆方程为1(a>b>0，m>1)，则切线AC的方程为yk1(xma)，切线BD的方程为yk2xmb，则由消去y，得(b2a2k)x22ma3kxm2a4ka2b20.因为(2ma3k)24(b2a2k)(m2a4ka2b2)0，整理，得k·.由消去y，得(b2a2k)x22a2mbk2xa2m2b2a2b20，因为2(2a2mbk2)24×(b2a2k)(a2m2b2a2b2)0，整理，得k·(m21)所以k·k.因为k1k2，所以，e2，所以e，故选C.10设椭圆C：1(a>b>0)和圆x2y2b2，若椭圆C上存在点P，

8、使得过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，满足APB60°，则椭圆的离心率e的取值范围是()A0<e B.e<1C.<e<1 D.e<1答案D解析由椭圆C：1(a>b>0)焦点在x轴上，连接OA，OB，OP，依题意，O，P，A，B四点共圆，APB60°，APOBPO30°，在直角三角形OAP中，AOP60°，cosAOP，|OP|2b，b<|OP|a，2ba，4b2a2，由a2b2c2，即4(a2c2)a2，3a24c2，即，e，又0<e<1，e<1，椭圆C的离心率的取值范围是e<

9、;1.故选D.二、填空题11设P，Q分别是圆x2(y1)23和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是_答案解析依据圆的性质可知，P，Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径，设Q(x，y)，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d，1y1，当y时，d取最大值，所以P，Q两点间的最大距离为dmax.12已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，点F关于直线yx的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为_答案1解析设F(1,0)关于直线yx的对称点为(x，y)，则解得由于椭圆的两个焦点为(1,0)，(1,0)，所以2a，a，又c1，所以b2a2c21，所以椭圆C的方

10、程为1，即1.13已知椭圆1(a>b>0)，A，B为椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则椭圆的离心率e的取值范围是_答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，则即所以(x1x2)(xx)，所以x1x2.又ax1a，ax2a，x1x2，所以2a<x1x2<2a，则<2a，即<，所以e2>.又0<e<1，所以<e<1.14如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(a>b>0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90°，则该椭圆的离心率是_答案解析由已知条件易得B，C，F(

11、c,0)，由BFC90°，可得·0，所以20，c2a2b20，即4c23a2(a2c2)0，亦即3c22a2，所以，则e.B级三、解答题15已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：x2y24x2y0的圆心C.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程解(1)圆C方程化为(x2)2(y)26，圆心C(2，)，半径r.设椭圆的方程为1(a>b>0)，则所以所以所求的椭圆方程是1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F1(2,0)，F2 (2,0)，|F2C| <r.F2在圆C内，故过F2没有圆C的切线，所

12、以直线l过焦点F1.设l的方程为yk(x2)，即kxy2k0，点C(2，)到直线l的距离为d，由d，得.化简，得5k24k20，解得k或k.故l的方程为x5y20或xy20.16在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(a>b>0)过点P(2,1)，且离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点求PAB面积的最大值解(1)e2，a24b2.又椭圆C：1(a>b>0)过点P(2,1)，1.a28，b22.故所求椭圆方程为1.(2)设l的方程为yxm，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理得x22mx2m240.4m28m216

13、>0，解得|m|<2.x1x22m，x1x22m24.则|AB| × .点P到直线l的距离d .SPABd|AB|××2.而且仅当m22，即m±时取得最大值PAB面积的最大值为2.17已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1(2,0)，点B(2，)在椭圆C上，直线ykx(k0)与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由解(1)设椭圆C的方程为1(a>b>0)，椭圆的左焦点为F1(2,0

14、)，a2b24.点B(2，)在椭圆C上，1，解得a28，b24，椭圆C的方程为1.(2)依题意点A的坐标为(2，0)，设P(x0，y0)(不妨设x0>0)，则Q(x0，y0)，由得x0，y0，直线AP的方程为y(x2)，直线AQ的方程为y(x2)，M，N，|MN|.设MN的中点为E，则点E的坐标为，则以MN为直径的圆的方程为x22，即x2y2y4，令y0得x2或x2，即以MN为直径的圆经过两定点P1(2,0)，P2(2,0)18如图，设点A，B的坐标分别为(，0)，(，0)，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点P的轨迹为C，点M，N是轨迹C上不同于A，B的两点，且满足APOM，BPON，求证：MON的面积为定值解(1)设点P的坐标为(x，y)，由题意得，kAP·kBP·(x±)，化简得，点P的轨迹方程为1(x±)(2)证明：由题意知，M，N是椭圆C上不同于A，B的