解析几何第四章向量

1、一一 向量的内积、长度向量的内积、长度 与夹角与夹角定义了内积的向量空间定义了内积的向量空间V V称为欧几里得空间，简称为欧几里得空间，简称欧氏空间称欧氏空间4.6 4.6 欧式空间与正交矩阵欧式空间与正交矩阵1 1、定义：设、定义：设 ， 是是 的两个向量，数的两个向量，数 称为向量称为向量 与与 的内积，记作的内积，记作 ， 即：即： 12Tnaaa 12Tnbbb nR1 122nna ba ba b 1 122() Tnna ba ba b ()2 2、内积的性质：、内积的性质：设设 都是都是n n维向量，维向量， 是实数，则：是实数，则： , ,（1 1） （对称性）；（对称性）；

2、( ,)( ,) （2 2） （线性（线性性）；性）； (,)( ,)( ,) （3 3） （非负性），且（非负性），且 当且仅当且仅当当 ( ,)0 ( ,)0 0 3 3、定义、定义2 2：设：设 是欧氏空间是欧氏空间V V的任一向量，非负实的任一向量，非负实数数 的算术平方根的算术平方根 称为向量称为向量 的长度，的长度，记作记作 （或（或 ） . . ( ,) ( , ) |( , ) |( , ) 4 4、若、若 ，则称，则称 为单位向量为单位向量| 1 若若 ，则，则 的长度为的长度为12nnaaRa 22212|( ,).naaa |的的单单位位化化向向量量为为。 5 5、对任意

3、非零向量、对任意非零向量 ，将其化为单位向量的过程称，将其化为单位向量的过程称为向量的单位（化）。此单位向量称为为向量的单位（化）。此单位向量称为 的单位化向的单位化向量因量因 ， | 0 4 4、长度的基本性质：、长度的基本性质：设设 都是都是n n维向量，维向量， 是实数，则有：是实数，则有： , , （2） （齐次性）；（齐次性）；| | （3） （柯西不等式）（柯西不等式） ；|( ,)| | （4） （三角不等式）（三角不等式）| | （1） （非负性）；且（非负性）；且 ； | 0 | 0 0 5 5、定义、定义3 3：欧氏空间：欧氏空间V V中任意两个向量中任意两个向量 的夹角的

4、夹角 的余弦和距离的余弦和距离 为：为： , ,),( ,)d ( ,)cos ( ,)| ( ,) |d , 若若 ，即，即 ，则称，则称 是正交的是正交的( ,)0 , ( ,) 1 1、定义、定义4 4：一组两两正交的非零向量组称为正交向量：一组两两正交的非零向量组称为正交向量组。由单位向量组成的正交向量组称为单位正交向量组。由单位向量组成的正交向量组称为单位正交向量组。组。显然，显然，n n维基本向量维基本向量 是是 的标准正交基的标准正交基12,n nR二二 正交向量组正交向量组 向量空间的一组基如果是正交向量组，就称之为向量空间的一组基如果是正交向量组，就称之为正交基；如果是单位正

5、交向量组就称之为单位正交正交基；如果是单位正交向量组就称之为单位正交基；或者标准正交基，或者规范正交基。基；或者标准正交基，或者规范正交基。定理定理1 1：正交向量组：正交向量组 一定线性无关一定线性无关 12,m 2 2、施密特（、施密特（SchmidtSchmidt）正交化的方法）正交化的方法定理定理2 2：设：设A A： 是线性无关的向量组，则是线性无关的向量组，则一定存在正交向量组一定存在正交向量组B B： , ,使得使得A A与与B B等价；等价；进而一定存在单位正交向量组进而一定存在单位正交向量组C C： ，使得，使得A A与与C C等价等价12,m 12,m 12,m 由线性无关

6、向量组由线性无关向量组A A得到单位正交向量组得到单位正交向量组C C的做法：的做法：11(1) 正正交交化化令令1222111(,)(,) 132333121122(,)(,)(,)(,) 此时构造得正交向量组此时构造得正交向量组 ，且，且 与与 等价等价12,m 12,m 12,m （2 2）把正交向量组）把正交向量组 单位化单位化, ,对任对任意意 ，12,m ms, 2 , 11|sss 显然显然 与与 等价，从而等价，从而 与与 等价等价12,m 12,m 12,m 12,m 121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,) mmmmmmmmm施密特施密特正交化正交化方法

7、方法利用施密特正交化方法，化为单位正交向量组利用施密特正交化方法，化为单位正交向量组例例1：将向量组：将向量组A： 11 1 1 ,T 21 2 1 ,T 301 1 ,T 解：解：(1)：正交化：正交化 设设 111 1 1 ,T 212211141 2 11 1 1 ,3TT， 11 213T11 1 1 ,T 211 213T323133212211， 0101 11 1 11 2132TT11 0 12T(2)再单位化，令再单位化，令 111111 1 1 ,3T 222111 21 ,6T 333111 0 12 T123， ， 即为所求三三 正交矩阵正交矩阵定义：对定义：对n阶方阵阶方阵A，若，若 ，则称，则称A为正交矩为正交矩阵阵 TA AE性质：设性质：设A是是n阶正交矩阵，则阶正交矩阵，则（1）A的行列式的行列式 或或 ；| 1A|1 A（2）A的转置就是的转置就是A的逆矩阵，即的逆矩阵，即 ；1TAA（3） 也是正交矩阵也是正交矩阵 TA定理定理3：n阶方阵阶方阵A是正交矩阵当且仅当是正交矩阵当且仅当A的的n个列个列向量（或向量（或n个行向量）是个行向量）是 的标准正交基的标准正交基nR即即 A的的n个列向量（或个列向量（或n个行向量）是标准正交向量个行向量）是标准正交向量组（秩为组（秩为n ） 333326333