齐次微分方程

1、第二讲 一阶微分方程【教学内容】齐次微分方程、一阶线性微分方程【教学目得】 理解齐次微分方程得概念 , 掌握齐次微分方程、一阶线性微分方程得解法。【教学重点与难点】 齐次微分方程、一阶线性微分方程得解法【 教学过程 】一、齐次微分方程 :形如得微分方程 ; 叫做齐次微分方程对它进行求解时 , 只要作变换原方程便化为可分离变量得微分方程来求解。于就是有 ,从而原方程可化为 ,即此方程就是可分离变量得微分方程。 按可分离变量微分方程得解法 ,求出方程得通解 ,再将变量 u还原为 , 所得函数就就是原方程得通解。例1、 求微分方程 , 满足初始条件得特解。解 : 方程可化为它就是齐次方程。令 , 代

2、入整理后 , 有分离变量 , 则有两边积分 , 得即将代入上式 , 于就是所求方程得通解为把初始条件代入上式 ,求出, 故所求方程得特解为二、一阶线性微分方程形如得方程称为一阶线性微分方程 ,其中 P( x) 、 Q( x)都就是连续函数。 当 Q( x) = 0 时 , 方程称为一阶线性齐次微分方程 ;当 Q(x) 0 , 方程称为一阶线性非齐次微分方程。1、 一阶线性齐次微分方程得解法将方程分离变量得两边积分得方程得通解为( C 为任意常数 )例2 、 求微分方程得通解。解法 1( 分离变量法 )所给方程就是一阶线性齐次方程变量分离得两边积分得即令 方程得通解为解法 2( 公式法 )将 P

3、( x) =2 x 代入通解公式 , 得通解y CeP(x)dxCe2xdxCe2、 一阶线性非齐次微分方程得解法 非齐次方程与齐次方程得差异仅就是方程右边得项Q( x) 。从齐次方程得通解得结构及导数运算得规律 , 我们有理由推测非齐次方程得解形如(C(x)就是关于 x 得函数 )代入非齐次方程 , 得一阶非齐次线性方程通解得公式为 :C1e442P(4x)4d3x齐次方程的通解e1 4P4(x4)d4x4Q2(x4)e4P4(x4)d4x3dx 非齐次方程 的特解Ce P(x)dxC1e44 2 4 43 齐次方程 的通解P(x)dx P(x)dx1e 4 4 4 4 4Q2( x4)e4

4、 4 4 4 3dx 非齐次方程 的特解上述求解方法称为常数变易法、用常数变易法求一阶非齐次线性方程通解得步骤为(1) 先求出非齐次线性方程所对应得齐次方程得通解;(2) 利用常数变易法设出非齐次线性方程得一个特解;(3) 将所设特解代入非齐次线性方程 ,解出 C(x), 写出非齐次线性方程得通解、 例 3 、求微分方程得通解、解法 1( 常数变易法 ) 原方程变形为 : 对应得齐次方程为 :得通解为设原方程得解为从而代入原方程得1x2C (x)e212 C(x)e12C(x)e1x2e化简得 两边积分 , 得所以, 原方程得通解解法 2(用公式法 )把它们代入公式得,求此曲线例 4、已知曲线过点 (0,0),且该曲线上任意点 p(x,y) 处得切线得斜率为该点得横坐标与纵坐标之与 方程。解法 1 (采用常数变易法求解 )设所求得曲线方程为 y=y(x), 由导数得几何意义有即初始条件为下由分离变量并积分 ,得令 ,则 ,把 y,代入方程中 ,于就是有两端积分后 ,得(c 为任意常数 )将上式代入 ,从而方程得通解为再把初始条件代入上式 ,解出 c