概率统计1.7小结

1、事件与概率 小结一、一、 关于概率的定义关于概率的定义二、二、 概率的计算公式概率的计算公式三、三、 典型习题解析典型习题解析一、关于概率的定义 首先给出概率的描述性定义，讨论概率和频率的关系，首先给出概率的描述性定义，讨论概率和频率的关系，给出概率的统计定义给出概率的统计定义. 考虑古典概率模型和几何概率模型，考虑古典概率模型和几何概率模型，采用由简单到复杂，由具体到抽象的方法逐步归纳得出概采用由简单到复杂，由具体到抽象的方法逐步归纳得出概率得公理化定义率得公理化定义. 1描述定义：概率是随机事件发生的可能性大小的度量描述定义：概率是随机事件发生的可能性大小的度量.2统计定义：当实验次数逐渐

2、增加时，事件的频率逐渐统计定义：当实验次数逐渐增加时，事件的频率逐渐稳定到一个常数，称这个稳定值为事件的概率稳定到一个常数，称这个稳定值为事件的概率. 3古典概率的定义：古典概率的定义：如果一个试验有如果一个试验有n个等可能的结果，个等可能的结果，则定义每个基本事件的概率为则定义每个基本事件的概率为1/n，如果事件，如果事件A包含包含k个基本个基本事件，则由概率的可加性得事件，则由概率的可加性得 . 4几何概率的定义：几何概率的定义：如果描述试验的可能结的点充满某如果描述试验的可能结的点充满某个区间（或平面区域）个区间（或平面区域）. 在满足某种在满足某种“均匀性均匀性”的假定下，的假定下，事

3、件的概率用区间的长度（面积）之比定义事件的概率用区间的长度（面积）之比定义. /P Ak n 5 5公理化定义公理化定义：概率为定义在事件域：概率为定义在事件域F上的一个满足非负上的一个满足非负性、规范性、可列可加性的一个集函数性、规范性、可列可加性的一个集函数.二、概率的计算公式 1 1加法公式加法公式,1nAA( (1 1) )如如果果事事件件两两两两互互不不相相容容，则则 1111121nniijiij nnnP AAP AP A AP A AA 112nnP AAP AP AP A = =+ + + +,1nAA( (2 2) )如如果果事事件件相相互互独独立立，则则 111nniiP

4、 AAP A = = ,1nAA( () )对对任任意意事事件件，则则2 2乘法公式乘法公式,1nAA( (1 1) )如如果果事事件件相相互互独独立立，则则 1212nnP A AAP AP AP A = =,1nAA( (2 2) )对对任任意意事事件件，则则 1212131211nnnP A AAP AP AAP AA AP AAA| 2 2全概率公式和贝也斯公式全概率公式和贝也斯公式三、典型习题分析三、典型习题分析1.1.利用概率模型证明组合恒等式利用概率模型证明组合恒等式1nir irnmm niC CC 证明证明: 构造概率模型：一个袋子中有构造概率模型：一个袋子中有n个红球，个红

5、球，m个白球，个白球，从中不放回地取出从中不放回地取出r个球。个球。 =1 2kAriin 令令摸摸出出的的 个个球球中中有有 个个红红球球 ， ， , ,1 2ir inmirm nC CP AinC 111ir innnmiriim nC CP AC 1nir irnmm niC CC 即即2 2怎样认识小概率事件？怎样认识小概率事件？ 在进行假设检验时，运用实际推断原理：在进行假设检验时，运用实际推断原理：如果一个事如果一个事件件A的的概率概率很小，则在一次试验中，认为事件很小，则在一次试验中，认为事件A实际上不会实际上不会发生发生. kP AAAk设设，在在第第 次次中中生生 ，则则

6、1kkP AP A ， 1211nnnpP AAA limlim.111nnnnp 但在大量独立重复试验中，但在大量独立重复试验中，A至少发生一次的概率为至少发生一次的概率为1.3 3概率为零的事件概率为零的事件和和不可能事件不可能事件 不可能事件的概率为不可能事件的概率为0，但概率为，但概率为0的事件未必是不可能的事件未必是不可能事件事件. 同样地，必然事件的概率为同样地，必然事件的概率为1，但概率为，但概率为1 的事件未必的事件未必是必然事件是必然事件. 221xyxy| 设设， ,221Axyxy| ， ,221Bxyxy| ， 0P A 1P B 但事件但事件A不是不可能事件，事件不是

7、不可能事件，事件B不是必然事件不是必然事件.4 4凭运气能通过考试吗？凭运气能通过考试吗？ 现有现有10道单选题，完全凭运气能答对道单选题，完全凭运气能答对6道或以上题目的概率：道或以上题目的概率：.%1010105101060131310 0197324444kkkkkkkkCC 100道单选题，设猜对的个数为道单选题，设猜对的个数为X,则则 .100100131006013601 3268 1044kkkkP XC 高考时高考时12道选择题全部答错的概率为道选择题全部答错的概率为 : /.123 40 032 .10035100151315350 985244kkkkPXC 5 5先下手为

8、强吗？先下手为强吗？ 甲、乙两人的射击水平相当，比赛规则为：双方轮流射击，甲、乙两人的射击水平相当，比赛规则为：双方轮流射击，若一方失利，由另一方射击，直到有人命中目标为止若一方失利，由另一方射击，直到有人命中目标为止. 命中命中的一方为获胜者的一方为获胜者. 你认为先射击的一方是否有利？你认为先射击的一方是否有利？ ,ABP AP Bp设设 = = 甲甲命命中中目目标标乙乙命命中中目目标标 ， 假设假设 甲先射击，则甲获胜的概率为：甲先射击，则甲获胜的概率为： 112312345P AP A A AP A A A A A2421111pq pq ppqq 1pq .1qq 乙乙获获胜胜的的概

9、概率率为为. .先先射射击击果果：者者有有利利结结6 6全概率公式的应用全概率公式的应用 1.53 r个人相互传球，从甲开始，每次传球时，传球者等个人相互传球，从甲开始，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余的可能地把球传给其余的 r-1个人中的任何一个，求求个人中的任何一个，求求n次传球次传球时仍由甲传出的概率。时仍由甲传出的概率。 ,nnnAnpP A ：设设= = 第第 次次球球由由甲甲传传出出 设设解解-1nnpp考考虑虑与与之之间间的的关关系系，应应用用全全概概率率公公式式得得：1p显显然然=1.=1.( ( ) )( () ) ( () )( () ) ( () )1111nnnn

10、nnnP AP AP AAP AP AA- - - - -= =+ +( () )( () )1111101111nnnppprr- - - -= = + +- - = =- - - -( () ).1111nnppr即即- -=-=- -6 6全概率公式的应用全概率公式的应用 ( () )1111nnppr- -=-=- -2121111111nnnppprrrrr-骣骣骣骣骣骣琪琪琪琪琪琪-= -= -= -= -琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪桫桫桫桫桫桫-1111111111nnnrpprrrrr- - -骣骣骣骣骣骣- -琪琪琪琪琪琪- -= = - - -= = - -琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪

11、琪琪桫桫桫桫桫桫- - -1111111111nnnrpprrrrr-骣骣骣骣骣骣- -琪琪琪琪琪琪= -= -+= -= -+琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪桫桫桫桫桫桫-6 6全概率公式的应用全概率公式的应用 1.52 甲口袋有甲口袋有1个黑球，个黑球，2个白球，个白球， 乙口袋有乙口袋有3个白球，个白球，每次从两个口袋中各任取一球，交换后放入另一个口袋中，每次从两个口袋中各任取一球，交换后放入另一个口袋中，球交换球交换n次后，黑球仍在甲袋中的概率次后，黑球仍在甲袋中的概率. ,nnnAnpP A ：设设= = 交交换换 次次后后黑黑球球在在甲甲袋袋中中 ，解解1.31p显显然然= =( ( )

12、)( () ) ( () )( () ) ( () )1111nnnnnnnP AP AP AAP AP AA- - - - -= =+ +( () )11121111=+3333nnnppp- - - -= =+ +- -( () )+3111nnpp- -= =即即6 6全概率公式的应用全概率公式的应用 ( () )+3111nnpp- -= =1111232nnpp- -骣骣琪琪 - -= =- -琪琪琪琪桫桫.11111111=23263nnnpp- - -骣骣骣骣骣骣琪琪琪琪琪琪- -= =- - 琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪桫桫桫桫桫桫.11111111=+32632nnnpp-骣骣骣

13、骣骣骣琪琪琪琪琪琪=-=-琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪桫桫桫桫桫桫7 7利用树形图解题利用树形图解题 1.54 甲乙两人比赛射击，每次射击胜者得甲乙两人比赛射击，每次射击胜者得1分，每次射击分，每次射击中甲胜得概率为中甲胜得概率为，乙胜的概率为，乙胜的概率为，比赛进行到有一人比对，比赛进行到有一人比对方多方多2分为止，多分为止，多2分者最终获胜。求甲最终获胜的概率。分者最终获胜。求甲最终获胜的概率。AB：甲甲胜胜用用 表表示示，乙乙胜胜用用解解表表示示。AAABAABAAAABABAAABBAAABAABAABABAAA甲甲最最终终获获胜胜的的情情况况如如下下： 2342P P 甲甲最最终终获获胜

14、胜 =+2+4+=+2+4+ 222331248= = 212 = = 树形图ABAABBABABA BB AB AABA BA BA BABA BA BA B A BA BA BA B A BAAABAABAAAABABAAABBAAABAABAABABAAA8 8推广的贝努里概率模型（多项分布）推广的贝努里概率模型（多项分布） .1234EA AAA一一个个试试验验 有有四四个个可可能能结结果果：, =,=,=11223344P ApP Ap P Ap P Ap, ,Enn将将试试验验 独独立立重重复复地地进进行行 次次，在在这这 次次试试验验中中，事事件件 ,+=1234123414A

15、AAAk k k kkkn,分分别别发发生生次次的的概概率率为为!312412341234kkkknpp p p pk k k k 8 8推广的贝努里概率模型（多项分布）推广的贝努里概率模型（多项分布） 1.59 一个质点从平面上某点开始一个质点从平面上某点开始,等可能地向上、下、左、等可能地向上、下、左、右四个方向游动，每次游动的距离为右四个方向游动，每次游动的距离为1，求经过，求经过2n次游动后次游动后质点回到出发点的概率质点回到出发点的概率解解： 质点经过质点经过2n次游动后回到出发点，那么向上和向下游动次游动后回到出发点，那么向上和向下游动的次数相等，向左和向右游动的次数相等，并且向左

16、游动的的次数相等，向左和向右游动的次数相等，并且向左游动的次数次数X可以取可以取0，1，n所求的概率为所求的概率为8 8推广的贝努里概率模型（多项分布）推广的贝努里概率模型（多项分布） 22202!14!nnknpknk 2222202!1,4!nnknnnknk !.!222222021144nnnknnnknCCn 1.81.8 有五双不同的鞋子有五双不同的鞋子, ,从中任意取从中任意取4 4只只, ,问没有一双配对的问没有一双配对的概率概率. . 410210C ( ).4454102821CP AC 解解: :从从1010只中任意取只中任意取4 4只只, ,所有可能结果为所有可能结果为

17、设事件设事件A为这为这4只中没有成对的只中没有成对的. 先从先从5双中任意取出双中任意取出4双，再从每双中各取一只。这样双，再从每双中各取一只。这样的取法没有成对的。所以的取法没有成对的。所以 1.11 一个人把一个人把6根绳子握在手中，先把根绳子握在手中，先把6个头两两相接，个头两两相接，6个个尾也两两相接，求恰好能连成一个环的概率尾也两两相接，求恰好能连成一个环的概率.642853 115p !22224422221233 121nnnnpnnn :53 115 假假设设头头已已两两两两相相接接. .尾尾两两两两相相接接有有解解428种种可可能能结结果果，连连成成一一个个环环的的可可能能结

18、结果果有有种种可可能能结结果果，所所以以所所求求的的概概率率为为 1.17 P ABP ACP BCP A P ABP ACP BCP ABP ACP ABC P ABACP A BCP A （2008年全国卷1 满分12分) 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病下面是两 种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止； 若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验 ()求依方案甲所需化验次数X不少于依方案乙所需化验次数Y的概率； () Y表示依方案乙所需化验次数，求Y的期望 1234,A AAA， ，取出的第一只、第二只、 第四只化验结果为阳性画树状图如下：分别表示解：在方案甲中，设第2只第1只第3只1A1A2A2A3A3A1A12AA123AA A1234AA A A4A4A1234AA A A第4只1115P XP A141225125AP XP A AA214112335135A AP XP A A AA3412335245AP XP A A AAA任取3只，混合血液化验结果为阳性从3