常微分方程复习

1、常微分方程复习填空题、选择题和解答题-比例是2-3-5。一 填空题（20分）1 设微分方程b是常数，则2 设微分方程,则3 若一阶微分方程则它的通解。4 设函数组是则它的朗斯基行列式为。5 若函数，则与是线性相关。6 若二阶微分方程是，且设，则特征方程是，特征根是，二阶微分方程的解是7 若函数是3阶线性齐次方程的3个线性无关的解，则它的朗斯基行列式是8 若函数是n阶线性非齐次方程所对应的齐次方程的n个线性无关的解,而是非齐次方程的特解，则齐次方程的通解是非齐次方程的通解是9 设函数在闭区域上满足李谱茜斯条件，则存在常数b>0，对R上的点,有10 若函数的拉普拉斯变换是，则，11 若二阶微

2、分方程是，则它的特征方程是，它的齐次微分方程通解是，它的非齐次方程的特解应设为（A是待定系数）.二、选择题(30分)1设函数连续可微，则方程是全微分方程的充分必要条件是（ C ）。（A） （B） （C） （D）2设一阶微分方程，则它是（ C ）。-伯努利方程。（A）线性非齐次方程 (B) 伯努利方程 (C) 黎卡提方程 (D) 一般方程。3二阶常系数齐次微分方程的通解是（ A ）。（A）（B）（C）（D）。4单摆的运动方程是，则它对应的一阶方程组是（ A ）。（A） （B）（C） （D）。5将方程式化为一阶方程组是（ B ）。（A） （B）（C） （D）。6三阶微分方程的特征方程其根是，它的基

3、本解组是，则该方程的通解是（ C ）。（A） （B）（C） （D）7若函数是相应微分方程的基本解组，则该方程的通解是（ A ）。（A） （B）（C） （D）。8设函数，则它在平面上是（ B ）函数。（A）正定 （B）负定 （C）变号 （D）不确定。9方程过点（1，1）的特解曲线是（ A ）。（A）（B）（C）（D）。10二阶微分方程所对应齐次方程的特征根是，而右端函数中是其特征根，则设二阶微分方程的特解是（ B ）。（A）（B）（C）（D）。11二阶微分方程所对应齐次方程的特征根是，而右端函数中是其特征根，则设二阶微分方程的特解是（ D ）。（A） （B）（C） （D）这里是待定系数。三、解答

4、题1 求方程的通解.解：法1，先求齐次方程的通解，。用常数变异法，设，求导，回代方程，积分，+（）*，法2，代公式：=2 求方程的通解.解：分离变量，积分，。3 求方程的解。解：（1）从而，原方程是全微分方程，（2）由在全平面上可积，取：，有，从而。4 求二阶微分方程的通解，且求该方程满足初始条件的特解。解：（1）齐次通解，令：有，则通解，（2）特解，有：，故特解是。5 求二阶微分方程的通解（）。解: （1）齐次通解，（2）在右端函数中，不是特征根，不妨设，求导，有;,则通解是6 求一曲线使其上每一点的切线斜率是该点的横坐标的m倍，且通过点。解：（1）设所求曲线的任意点坐标是，依题意，积分有，（2）该曲线过点，有从而有，故，所求曲线方程是+。7用Laplace变换求解方程解：设Ly=Y(s),（1）对方程两边取Laplace变换，,从而有，（2）对上式方程两边取Laplace逆变换，易得。8 求的通解。解：易知，是方程的解。分离变量有,.9. 求二