14.1.1第2课时　勾股定理的验证及简单应用

1、.第2课时勾股定理的验证及简单应用课前知识管理对于勾股定理的探究，可以采用测量、计算、观察和动手操作的方法来验证其正确性课本主要运用拼图的方法，利用两种方法表示同一个图形的面积来验证勾股定理如图1，是由4个完全一样的直角三角形拼成的，得到一个边长为a+b的大正方形和以斜边c为边长的小正方形，有a+b2=4×ab+c2，整理可得a2+b2=c2对于图2，有S正方形EFGH=c2=b-a2+4×ab，即c2=a2+b2名师导学互动典例精析：知识点1：用拼图法验证勾股定理例1、请判断一下，以下图形中，哪些可以用来验证勾股定理.【解题思路】大正方形的面积等于四个直角三角形面积加中间

2、小正方形面积；中间正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形面积；推导不出.【解】可以验证勾股定理.【方法归纳】勾股定理的验证，主要通过拼接图形的面积来实现.对应练习：请结合以以下图形，验证勾股定理.知识点2：方程的思想例2、如图，在ABC中，AB=15，BC=14， CA=13，求BC边上的高AD【解题思路】【解】设DC=，那么BD=14，在RtABD和RtACD中，由勾股定理可得：14+，两式相减得：，解得：在RtACD由勾股定理得：AD=12【方法归纳】由于勾股定理反映了直角三角形三边的数量关系，所以在应用勾股定理解决问题时，要考虑应用定理列方程来求解对应练习：如图，有一块直角三角形纸

3、片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，那么CD等于 A 2cm B 3cm C 4cm D 5cm知识点3：数形结合的数学思想例3、某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东60°方向挪动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域.试问A城是否受这次风暴的影响？假如受影响，恳求出遭受风暴影响的时间；假如没有受影响，请说明理由.【解题思路】【解】构造数学模型，如下图，设O为风暴中心，OC为风暴中心挪动方向，ADOC.在RtOAD中，AOD=30°，OA=300km，所

4、以AD=150km<200km，即A城受到这次风暴的影响.如图，设AB=AC=200km，在RtABD中，应用勾股定理，得，所以，A城遭受风暴影响的时间小时.【方法归纳】勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证和应用，都表达了数形结合的思想知识点4：分类讨论的数学思想例4、在中，边上的高那么的长为 .【解题思路】三角形中某边上的高既可在三角形内部，也可在三角形的外部，故此题应分为两种情况来考虑.当边上的高在的内部时，如图，由勾股定理，得得，得那么；当上的高在的外部时，如图，同样由勾股定理可求得，这时，故的长为或.【解】或.【方法归纳】当元素之间的位置关系没有限制时，要对可能的情形分类进展

5、讨论.对应练习：直角三角形的两边长分别为5，12，求第三边的长.知识点5：整体思想例5、如图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的短直角边是a ,较长直角边是b ,那么的值为 A. 13 B. 19 C. 25 D. 169【解题思路】由勾股定理可得到两个变形：和.通过这两个变形，我们可以从中任意两个出发，求出其他各个量.仔细观察图形，不难得到：，利用，可求得，故=13+12=25.【解】选C.【方法归纳】利用整体思想可防止繁琐的运算，到达快速求值的目的.对应练习：如图，的周长为32，且于，的周长为24，那么的长为

6、知识点6：转化思想例6、如图，高速公路的同一侧有A、B两个奥运村，它们到高速公路所在的直线MN的垂直间隔 分别为=2km，=4km，km，要在高速公路上A、B之间设一个出口P，使A、B两个奥运村到P的间隔 之和最短，那么这个最短间隔 是 . 【解题思路】过B作关于MN的对称点B，连接AB交于点P.因垂直平分BB，所以PB=PB，那么AP+PB=AP+ PB=AB，由“两点之间，线段最短易知，P点为到A、B间隔 之和最短的点.【解】过点A作AE垂直于BB于E，那么AE=8km，BE=+=6km，由勾股定理，得AB=10km，即AP+PB=AP+ PB=AB=10km，故最短出口P到A、B两个奥运

7、村间隔 和为10km.【方法归纳】此题可转化为“在直线同侧有两点A、B，试在上找一点P，使PA+PB最小，利用对称作图即可.对应练习：为了向建国六十周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆贺活动，八年级3班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：先裁下了一张长，宽的矩形纸片ABCD，将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处， 请你根据步骤解答以下问题：1找出图中FEC的余角；2计算EC的长.知识点7：化立体为平面例7、有一根70 cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm、40 cm、30 cm的木箱中，能放进去吗？【解题思

8、路】在实际生活中，往往工程设计方案比较多，应用所学的知识进展计算方可解决，而此题正是需要我们大胆理论和创新，用我们学过的勾股定理和丰富的空间想像力来解决.我们可注意到木棒虽比木箱的各边都长，按各边的大小放不进去，但木箱是立体图形，可以利用空间的最长长度.如AC.【解】由以下图可得，AA=30 cm，AB=50 cm，BC=40 cm.ABC，AAC都为直角三角形.由勾股定理，得AC2=AB2+BC2.在RtAAC中.AC最长，那么AC2=AA2+AB2+BC2=302+402+502=5000702. 故70 cm的棒能放入长、宽、高分别为50 cm，40 cm，30 cm的大箱中.【方法归纳

9、】此题源于生活实际，较有兴趣性，可以较好地增强学生的应用意识和理论才能，同时还考察了空间观念. 求解立体几何图形的一些问题时，通常是通过平面展开图，将其转化为平面图形的问题，然后求解.对应练习：制一个底面周长为a、高为b的圆柱形花架，需用沿圆柱侧面绕织一周的竹条假设干根，如图中的，那么每一根这样的竹条的长度最少是_.易错警示1、注意勾股定理的使用前提是直角三角形例8 如图，在中，边上的中线，试说明 错解：因是边上的中线，所以又, 在ADC中，由勾股定理，得=而，故错因分析：由于受题目、结论及图形的影响，不少同学在没有进展推证说明，就先行认为是直角三角形，无视了运用勾股定理的前提，犯了循环论证的

10、错误 正解：因为是边上的中线，所以又，, 且有，即，那么是直角三角形，即所以，在中，由勾股定理，从而2、注意分清直角边和斜边例9 在中，,，的对边分别是，且，求的长错解：由，为直角三角形那么由勾股定理，得,即错解分析：错解未抓住题目本质，受勾股定理的表达式：的影响而误认为是斜边，其实，由,知才是斜边如图因此，我们在运用勾股定理时，首先要正确识别哪个角是直角，从而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理表达式进展解题正解：,那么在中，由勾股定理，得=3、注意分类讨论例10 三角形的两边长为和，假如这个三角形是直角三角形求第三边的长错解：设第三边的长为，那么由勾股定理得，解得 错解分析：题中没有明确

11、指出直角边和斜边，应分类讨论，而上述解法中误以为所求的第三边即为斜边因此漏解，值得注意正解：设第三边的长为1当为斜边时，由勾股定理，得，解得2当为直角边时，由勾股定理，得解得所以，第三边的长为或课堂练习评测1、假如直角三角形的三条边2，4，a，那么a的取值可以有 A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个2、如图，OAB=OBC=OCD=90°， AB=BC=CD=1，OA=2，那么OD2=_.3、如图，设火柴盒ABCD的两边之长为a与b，对角线长为c，推倒后的火柴盒是ABCD，试利用该图验证勾股定理的正确性4、1求以下直角三角形未知边的长如下图2求以下图中未知数x，y，z的值5

12、、如下图，为了求出位于湖两岸的两点A、B之间的间隔 ，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形，通过测量，得到AC长160米，BC长128米，问从点A穿过湖到点B有多远？6、如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形G的边长为7cm，求正方形A，B，C，D的面积7、小红家住在18层的高楼上，一天，她与妈妈去买竹竿如下图假如电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度约是多少米？你能估计出小红买的竹竿至少是多少米吗？.课后作业练习 一、判断题2×2=4分 1ABC的两边AB=5，AC=12，那么BC

13、=13 2ABC中，a=6，b=8，那么c=10 二、填空题3×7=21分3在ABC中，A：B：C=1：1：2，AB2=50，那么BC=_4在RtABC中，C=90°，a：b=3：4，c=15cm，那么a=_cm5在RtABC中，a=3，b=4，那么c=_6一艘轮船以16海里/时的速度分开A港向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度分开A港向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距_海里7在ABC中，C=90°，假设AC=6，CB=8，那么AB上的高为_8在ABC中，C=90°，CDAB于D1假设AC=61，CD=11，那么AD=_2假设CB=1

14、13，CD=15，那么BD=_9等边ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为_三、选择题5×5=25分10假设等腰ABC的腰长AB=2，顶角BAC=120°，以BC为边的正方形面积为 A3 B12 C11等腰三角形斜边上中线为5cm，那么以直角边为边的正方形面积为 A10cm2 B15cm2 C50cm2 D25cm212等腰三角形底边上的高为8，腰长为10，那么三角形的面积为 A56 B48 C40 D3213一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm，那么长方形的长是 A2.5cm Bcm C2cm Dcm14如下图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，假设将

15、该矩形折叠，使点C与点A重合，那么折痕EF的长为 A3.74 B3.75 C3.76 D3.77四、解答题8×5=40分 15用尺规在数轴上找出坐标为的点16如图ac所示，求以下直角三角形中未知边的长17如下图，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角1.5m，求梯子的顶端与地面的间隔 h18如下图，小方格的面积为1，找出图中以格点为端点且长度为5的线段19如下图，在四边形ABCD中，BAD=90°，DBC=90°，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF的面积五、探究题10分20做8个全等的直角三角形2条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做3条边长分

16、别为a、b、c的正方形，把它们拼成2个正方形如下图.你能利用这2个图形验证勾股定理吗？写出你的验证过程14.1.2对应练习参考答案1.提示：借助梯形面积推导.答案：因为 S梯形 =，S梯形 =；所以；整理，得 .2.答案：B3.答案：13或4.答案：8.5.答案：解：1CFE、BAF ；2设EC=xcm. 由题意得那么EF=DE=16xcm ，AF=AD=20cm.在RtABF中，BF=12cm，FC=BCBF=2012=8cm.在RtEFC中，EF2=FC2+EC2 ，16x2=82+x2 ，x=6，EC的长为6cm .6.解析：由于竹条需要绕织一周，所以可以把圆柱侧面沿展开，得到一个长和宽分别为的矩形，如下图.连接，此时对角线的长度就是竹条的最短长度.由勾股定理得，所以=.课后作业参考答案：1、B2、73、点拨：可看成火柴盒ABCD绕A点旋转90°后得到ABCD，有CAC=90°，ACC为等腰直角三角形，运用不同的方法求出该三角形的面积即可4、略.5、由于构建了RtABC，因此，利用勾股定理，可以求出AB=96米6、此题提醒了三个正方形的面积关系与直角三角形