线性代数电子教案

1、线性代数电子教案年 月 日第节课 题：第1章行列式1.1 n阶行列式的定义教学目的：掌握二、三阶及n阶行列式定义，能用定义计算简单的行列式的值重点及难点：(1)行列式的定义.(2)二、三阶行列式计算方法.教学内容及步骤(时间分配):1.1.1 二阶、三阶行列式1 .二阶行列式的弓I入：对于二元线性方程组a11 X1 + a12X2 = b1 ©21 X1 +a22X2 = b2a12 相减得 (a11a22a21a12)X1= b1a22 b2a12 a21 相减得 (a11a22a21a12)X2= t)2a11 一ba21第一个方程乘以a22与第二个方程乘以 第二个方程乘以a11

2、与第一个方程乘以 若设a11a22 a21a120,方程组的解为X1a11a22b1a22 b2a12b2a11-b1a21X2-a21a12a11a22 - a21a12(1 2)2.二阶行列式定义:在(12)式中把分母引进一个记号，记a11a12a21a22=a11 a22 - a21a12(13)(1 3)式左端称为 二阶行列式(2-th determinant),记为，即a11a12a21a22而(13)式右端称为二阶行列式的展开式.对于二阶彳r列式,我们也称为方程组 行列式记1 1)的系数行列式(determinant of coefficients).我们若用二阶1 =b1b2a1

3、2a22=b1a22 - b2 a12 : 2a11a21b1b2一 b2a11 - b a21方程组的解(1 2)式可写成X11X2-23 .三阶行列式定义：式aiiai2 ai3a21 a22 无3 =21a2a33+3|23a3l+ai3a2ia32a111ab3a32-3)同183-£113ab2a31c3l %2 133的左边称为 三阶行列式(3-th determinant),通常也记为 .在中，横的称为行(row),纵的称为列(column),其中aj (i, j=1, 2, 3)是数，称它为此行列式的第 i行第j列的元素.式的右边称为三阶行列式的展开式 .利用二阶行列

4、式可以把展开式写成：若记M11 a22a23a32a33M 12 a21a23,M 13 =a21a22a31a33a31a32A11 K-1)1 “M 11A2 "1)1 2M 12A13 E-1)1 3M13则有a11a12a13a21a22 a23-a11 A11 ' a12 A12a13A3a31a32a33a11a12a13a22a23a21a23+ a13a21a21a22a23=a11a12a32a33a31a33a31a31a32a33a22a32其中 G 称为元素aj的代数余子式(algebraic complement minor)( j = 1,2,3)

5、, M h称为元素a1j的余子式(complement minor),它是中划去元素aj所在的行、列后所余下的元素按原位置组成的二阶行列式.,对于三元线性方程组4 .三元线性方程组的解法：引进了三阶行列式311X1+ a12X2*a13X3 -b1a21X122X2+ a23X3 =二 b21a31 X1+ a32X2* a33 X3 二:b3X1 :1=1 X2_ Al_ x X33的解就可写成：，d(j=1,2,3)是将的第j列称也为方程组(1 4)的系数行列式，它是由未知数的所有系数组成的行列式换成常数列而得到的三阶行列式。5 .三阶行列式对角线法则计算法则：如图1 1.例1计算三阶行列

6、式图1一1-13230-2-2 13解-1 330-2 12-231=(-1)(-1)-23-13(-1)3-2-22(-1)13-2=(-1) 2 -3 5 2 3-11例2解方程组|x1 2x2 3x3 = 12x1 2x2 5x3 = 23x1 5x2 x3 = 3解利用(18)式来求解方程组.x1 J=l1,x2-=Q=0,x3,s 15.:15-：151.1.2 n阶行列式1.n阶行列式定义：由n2个数排成n行n列的式a142a21a22aman2a2nannn='a1k A1kk工左端称为n阶行列式(n-th determinant)它等于其右端展开式运算所得到的数。其中A

7、1j =(1)1由M( j =1,2，n)称为元素ah的代数余子式,M称为称为元素a的余子式.n阶行列式一般可用或 Dn表示.当n=1时称为一阶行列式，规定一阶行列式|a|的值等于a.2.代数余子式定义：把Aj =(-1)i4jMij称为元素aij的代数余子式，M ij称为称为元素a。的余子式(i, j =1,2,，n),它是n阶行列式(1 10)中划去元素a。所在第i行第j列后余下的n 1阶行列式，即a11a1 j 1a1j中 M ij =ai J.1 -aijiai d.j 书 -ai +1H aai + j 1ai¥j 书，a n1 .anjanj书-al nHinai 1na

8、nn例3计算四阶行列式3 04 1D4 =6 50 -50270-2-1解:由定义有D43-46-30154007-2-520-1=3(-1)1 107-220-1(-5)(-1)14-46-307-2=3 1 (-1)7-20-1(-1)13-2+ 5.|(-4) .(-1)7-21 (-1)1 26-3=3(-7 -76) 5(152-9) =466a110000 a2200(1)对角行列式；(2)下三角行列式00a330000 a44卜面我们计算几个特殊行列式 例4计算行列式，有a11000a21a2200a31a32a330a41a42a43a443110000a220000a3300

9、00a44解：(1)由行列式定义二an(-1)1 1a220a330a44= a11a22 ( 一 1)1 书 a330a44a11 a22 a33 a44-3 4用归纳的方法，可证得n阶对角行列式a1100aii 000a2200321a2200,/、1 书一 一 / 1 平a330=an (-1)a32 a330.=&1 a22 (-1)ooona31a32a330a43 a44a42a43a44341a42a43 a44(2)由行列式定义，有二ai a22a33a44用归纳的方法，对于n阶下三角行列式可证得下面的结论:a210 a2200= a11a22.一annaman2ann同学们自已思考一下，行列式000 al400am00 a230与0a2,n A00 a32