高中数学 加练 专题8　第80练　定点问题

第80练定点问题(分值：30分)直线过定点的解题策略一般有以下几种：(1)如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.(2)直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点.(3)若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过定点的坐标，并代入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.1.(15分)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为1(1)求椭圆E的方程；(5分)(2)已知A为E的左顶点，不过点A的直线l与E交于P，Q两点，直线l，AP，AQ的斜率分别为k，k1，k2，若k(k1+k2)=-3，证明：直线l过定点.(10分)(1)解由题意可知c解得a所以椭圆E的方程为x24+y(2)证明设直线l：y=kx+m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(-2，0)，x1≠-2，x2≠-2，联立y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0，得m2<3+4k2，x1+x2=-8km3+4k2，x1xk1=y1x1+2，k所以k1+k2=kx1=(=2=2=-24kk(k1+k2)=(-24k+12得2k2-3km+m2=0，即(k-m)(2k-m)=0，得m=k或m=2k.若m=k，则直线l：y=kx+m=k(x+1)，恒过点(-1，0)，满足条件；若m=2k，则直线l：y=kx+m=k(x+2)，恒过点(-2，0)，与点A重合，不满足条件，所以直线l恒过定点(-1，0).2.(15分)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的渐近线为y=±2x，双曲线的左顶点为P(-1，0)，直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B(1)求双曲线C的方程；(3分)(2)若AB的中点为M(2，1)，求直线l的方程；(5分)(3)若以AB为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.(7分)解(1)双曲线C：x2a2-y2b2=1的渐近线为y=±b而双曲线C的左顶点为P(-1，0)，则a=1，b=2，所以双曲线C的方程为x2-y22(2)由(1)知，双曲线C的方程为x2-y22设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y消去y得(k2-2)x2+2kmx+m2+2=0，则k2-2≠0，Δ=(2km)2-4(k2-2)(m2+2)=8(m2+2-k2)>0，且k≠±2，x1+x2=-2km由M(2，1)为AB的中点，得2解得k=4，m=-7所以直线l的方程为y=4x-7，即4x-y-7=0.(3)由(2)知，x1+x2=-2kmx1x2=m2+2k2-2.PA=(x1+1，y1)，PB=(x则PA·PB=(x1+1)(x2+1)+y1y2=(x1+1)(x2+1)+(kx1+m)(kx2+m)=(k2+1)x1x2+(km+1)(x1+x2)+m2+1=(k2+1)m2+2k2-2+(km+1)·=3k2-2由以AB为直径的圆恒过点P，得PA·PB=0，于是(3k+m)(k-m)=0，解得m=k或m=-3k，当m=k时，直线l：y=k