画法几何与工程制图_第06章_换面法

1、第六章第六章 换面法换面法一、问题的提出一、问题的提出 如何求一般位置直线的实长？如何求一般位置直线的实长？ 如何求一般位置平面的真实大小？如何求一般位置平面的真实大小？ 换换 面面 法：法： 物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体，然后将物体向新投影面进行投射。向新投影面进行投射。解决方法：更换投影面。解决方法：更换投影面。-2VHXABabab 老投影体系老投影体系V/H新投影面新投影面

2、V1新投影体系新投影体系V1/HX1新轴新轴老轴老轴a1b1新投影新投影被替换被替换的投影的投影被保留被保留的投影的投影被保留被保留的投影面的投影面被替换被替换的投影面的投影面 VHAB a b ab二、新投影面的选择原则二、新投影面的选择原则1. 新投影面必须对空间物体处于新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。最有利的解题位置。平行于新的投影面平行于新的投影面垂直于新的投影面垂直于新的投影面2. 新投影面必须新投影面必须垂直于垂直于某某一保留的原投影面，以构成一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。一个相互垂直的两投影面的新体系。Pa1b1VHA a a axX 更换一

3、次投影面更换一次投影面 旧投影体系旧投影体系 X VH 新投影体系新投影体系P1HX1 A点的两个投影：点的两个投影：a， a A点的两个投影：点的两个投影：a，a1 新投影体系的建立新投影体系的建立三、点的投影变换规律三、点的投影变换规律X1P1a1ax1 VHXP1HX1 a aa1axax1.ax1 VHXP1HX1 a aa1VHA a axXX1P1a1ax1 新旧投影之间的关系新旧投影之间的关系 aa1 X1 a1ax1 = a ax 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。影轴的距离。axa 一般规律：一般规律：

4、 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。影轴。. XVHaa ax更换更换H面面 求新投影的作图方法求新投影的作图方法 VHXP1HX1 由点的不变投影向新投影轴作由点的不变投影向新投影轴作垂线垂线，并在垂，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。影到原投影轴的距离。aa X1P1H a1axax1ax1更换更换V面面a1作图规律：作图规律：. 更换两次投影面更换两次投影面先把先把V面换成平面面换成平面P1， P1 H，得到中间新投影体系，得到中间新投影体系:P

5、1HX1 再把再把H面换成平面面换成平面P2， P2 P1，得到新投影体系，得到新投影体系: X2 P1 P2 新投影体系的建立新投影体系的建立按次序更换按次序更换AaVH a axXX1P1a1ax1P2X2ax2a2 ax2 a aXVH 求新投影的作图方法求新投影的作图方法a2X1HP1X2P1P2 作图规律作图规律 a2a1 X2 轴轴 a2ax2 = aax1a1 axax1 .VHAB a b ab四、换面法的六个基本问题四、换面法的六个基本问题1. 把一般位置直线变换成投影面平行线把一般位置直线变换成投影面平行线用用P1面代替面代替V面，在面，在P1/H投影体系中，投影体系中，A

6、B/P1。X1HP1P1a1b1空间分析空间分析： 换换H面行吗？面行吗？不行！不行！作图：作图：例：求直线例：求直线AB的实长及与的实长及与H面的夹角。面的夹角。 a b abXVH新投影轴的位置？新投影轴的位置？a1b1与与ab平行。平行。 .2 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线将投影面的平行线变换为投影面的垂直线功用功用:一次换面后可用于求点与直线一次换面后可用于求点与直线,两直线间的距离等。两直线间的距离等。问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个投影。问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个投影。X1VHXABababH1a1b1X1H1Va1 b1XVHabab一般位置直线变换为垂

7、直线一般位置直线变换为垂直线a1b1VH a aXB b bA3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：空间分析：a b abXVHX1H1P1P1P2X2作图：作图：X1P1a1b1X2P2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2轴的位置？轴的位置？a2 b2ax2a2 b2 .与与a1b1垂直垂直一次换面把直线变成投影面平行线；一次换面把直线变成投影面平行线；例例 1 已知等腰已知等腰三角形三角形ABC的的底边为底边为AB，试用换面法求试用换面法求出等腰三角形出等腰三角形ABC的正面投的正面投影。影。abXVH

8、cabX1HV1b1c1a1cee1 功用：可求解平面与投影面的倾角，功用：可求解平面与投影面的倾角， 点与平面的距离，点与平面的距离， 两平行面间的距离等。两平行面间的距离等。4. 把一般位置平面变换成投影面垂直面把一般位置平面变换成投影面垂直面问题的关键：在平面上作一条投影面问题的关键：在平面上作一条投影面平行线平行线，新新轴轴必须必须垂直垂直与该平行线与该平行线反映实长的那反映实长的那个投影个投影。 一般位置直线变换一般位置直线变换成投影面垂直线，需经成投影面垂直线，需经几次变换？几次变换？ a b c abcdVHABCDX d 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂如果把平面内的一

9、条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。 P1X1c1b1 a1 d1空间分析：空间分析： 在平面内在平面内取一条取一条投影面平行线投影面平行线，经一，经一次换面后变换成新投次换面后变换成新投影面的垂直线，则该影面的垂直线，则该平面变成新投影面的平面变成新投影面的垂直面。垂直面。作图方法：作图方法：两平面垂直需满足什么条件？两平面垂直需满足什么条件？能否只进行一次变换？能否只进行一次变换？ 思考：思考：若变换若变换H面，需在面面，需在面内取什么位置直线？内取什么位置直线？正平线！正平线！ a b c acbXVH例：把例：把三

10、角形三角形ABC变变换换成投影面垂直面。成投影面垂直面。HP1X1作作 图图 过过 程：程： 在平面内取一条水平在平面内取一条水平 线线AD。d d 将将AD变换成新投影变换成新投影 面的垂直线。面的垂直线。d1a1 d1c1 反映平面对哪反映平面对哪个投影面的夹角？个投影面的夹角？. 5 . 将投影面的垂直面变成投影面的平行面将投影面的垂直面变成投影面的平行面功用：功用： 一次换面后一次换面后可求解平面实形、可求解平面实形、形心、两直线形心、两直线交角等交角等问题的关键：问题的关键： 新投影轴新投影轴必须必须平行于该平行于该平面的积聚性平面的积聚性投影。投影。VbacHV1ABCbaa1c1

11、b1X1c展开图展开图a1 b1需经几次变换？需经几次变换？一次换面一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；二次换面，再变换成新投影面的平行面。二次换面，再变换成新投影面的平行面。X2P1P26. 把一般位置平面变换成投影面平行面把一般位置平面变换成投影面平行面ab a c b XVHc作作 图：图：AB是水平是水平线线空间分析：空间分析：a2c2b2c1X2轴轴的位置？的位置？平面的实形平面的实形.X1HP1.与其平行与其平行例例 3 已知直已知直线线AB与与 CDE平面平面平行，且相平行，且相距距20mm，求直线求直线AB的的水平投影。水平投

12、影。XVHedcdecaba1b1X1VH1c1e1 d1ba20mm1 、求直线实长和与投影面的倾角、求直线实长和与投影面的倾角 将直线变换成投影面的平行线。将直线变换成投影面的平行线。2 、求平面实形和形心、求平面实形和形心 将平面变换成投影面的平行面。将平面变换成投影面的平行面。3、 求平面与投影面的倾角求平面与投影面的倾角 将平面变换成投影面的垂直面。将平面变换成投影面的垂直面。4、 求距离求距离（1）点与直线之间）点与直线之间 a 将直线变换成投影面垂直线。将直线变换成投影面垂直线。 b 将点与直线组成的平面变换成投影将点与直线组成的平面变换成投影 面的平行面。面的平行面。五、换面法

13、的应用五、换面法的应用（2） 点与平面之间点与平面之间 将平面变换成投影面垂直面。将平面变换成投影面垂直面。（3） 两平行线之间两平行线之间 将两直线变换成投影面垂直线。将两直线变换成投影面垂直线。（4） 两平行平面之间两平行平面之间 将两平面变换成投影面垂直面。将两平面变换成投影面垂直面。 5 、求夹角、求夹角（1）两直线之间）两直线之间 将两直线组成的平面变换成投影面平行面。将两直线组成的平面变换成投影面平行面。 （2） 两平面之间两平面之间 将两平面变换成投影面的垂直面，即应将两平将两平面变换成投影面的垂直面，即应将两平面的交线变换成投影面的垂直线。面的交线变换成投影面的垂直线。 b1

14、距离距离dd1X1HP1X2P1P2c2 d 例例1：求点：求点C到直线到直线AB的距离，并求垂足的距离，并求垂足D。c c b a abXVH 如下图：当直线如下图：当直线AB垂直于投影面时，垂直于投影面时，CD平平行于投影面，其投影反映行于投影面，其投影反映实长。实长。APBDCca b d作图作图: 求求C点到直线点到直线AB的距离，的距离，就是求垂线就是求垂线CD的实长。的实长。空间及投影分析：空间及投影分析：c1 a1 a2 b2 d2 过过c1作线平行于作线平行于x2轴。轴。.如何确定如何确定d1点的位置？点的位置？b a abcdc 例例2：已知两交叉直线：已知两交叉直线AB和和

15、CD的公垂线的长度的公垂线的长度 为为MN， 且且AB为水平线，求为水平线，求CD及及MN的投影。的投影。MNm d a1b1m1n1c1d1n空间及投影分析：空间及投影分析：VHXHP1X1圆半径圆半径=MNn m 当直线当直线AB垂直于投影垂直于投影面时，面时，MN平行于投影面，平行于投影面，这时它的投影这时它的投影m1n1=MN,且且m1n1c1d1。P1ACDNMc1d1a1m1b1n1B作图：作图：请注意各点的投请注意各点的投影如何返回？影如何返回？求求m点是难点。点是难点。.空间及投影分析空间及投影分析：AB与与CD都平行于投影面时，其投影都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（

16、的夹角才反映实大（60），因此需将），因此需将AB与与C点所确定的点所确定的平面变换成投影面平行面。平面变换成投影面平行面。例例3: 过过C点作直线点作直线CD与与AB相交成相交成60角。角。 d X1HP1X1P1P2ab a c b XVHc作作 图：图：c2c1a1 b1a2d2db2 几个解？几个解？两个解！两个解！ 已知点已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，上，求等边三角形的投影。求等边三角形的投影。思考：思考：如何解？如何解？解法相同！解法相同！60D点的投影点的投影如何返回？如何返回？.P2P1X2H P1X1c d b a d

17、acbd1c1a1d2b1c2a2 b2VHX例例4：求平面：求平面ABC和和ABD的两面角。的两面角。空间及投影分析空间及投影分析： 由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。时所得两交线之间的夹角。 在投影图中在投影图中, 两平面的交线垂直于投影面时，则两平面两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。所求。. 小小 结结 本章主要介绍了投影变换的一种常用方法本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 换面法换面法

18、。一、一、 换面法就是换面法就是改变投影面的位置改变投影面的位置，使它与所给物，使它与所给物 体或其几何元素处于体或其几何元素处于解题所需的特殊位置解题所需的特殊位置。二、二、 换面法的关键是要注意换面法的关键是要注意新投影面的选择条件新投影面的选择条件， 即必须使即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。律继续有效。三、三、点的变换规律是换面法的作图基础点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本，四个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。换面法的四个基本问题：换面法的四个基本问题： 2