大学物理一计算题

1、1、均匀带电细线ABC£成如图所示的形状, 其线电荷密度为入，试求圆心。处的电势。解：U10两段直线的电势为2ln 240半圆的电势为O点电势V2、有一半径为(2ln 240a的半圆环,左半截均匀带有负电荷，电荷线密度为-入，右半截均匀带有正电荷， 电线密度为入，如图。试求：环心处 O点的电 场强度。解:dqdE如图,dl14在半圆周上取电荷元 dq addq由对称性ExdExdEcos1cos d o a20a3、一锥顶角为9的圆台，上下底面半径分别为R和R,在 它的侧面上均匀带电，电荷面密度为（T ,求顶点。的电势。 （以无穷远处为电势零点）解：以顶点。作坐标原点，圆锥轴线为X轴

2、向下为正. 在任意位置x处取高度为d x的小圆环，其面积为dx 八 tan , dS 2 r 2 xdxcos cos其上电量为_ tg dq dS 2xdxcos 它在。点产生的电势为dU 一4dq220 r xtan dxtan , xdxcosx2U dU tan dx总电势2 °x14、已知一带电细杆，杆长为l ,其线电荷密 度为人=cx,其中c为常数。试求距杆右端 距离为a的P点电势。解：考虑杆上坐标为x的一小块dx dx在P点产生的电势为1 dx c xdxdU4 0 l a x 4 0 l a x 求上式的积分，得P点上的电势为c l xdx1O5、有一半径为a的非均匀

3、带电的半球面,电荷面密度为 cos 0 ,(T0为恒量。试求：球心处 O点的电势。解：上取一圆环，ds 2 Rsin Rddq ds2 RsinRd圆环的电势dUdq4 0RU dU2 2 Rsin Rd040R0 Rcos sin d2 04 0 01 a xdU2 0 cos d 024 02 06、有一半径为a的非均匀带电的半圆环,电荷线密度为 入 =X 0 cos 0 ,入0为恒量。试求：圆心处。点的电势。在半圆上取电荷元dq, dq dU,40adqdl ad7、有宽度为a的直长均匀带电薄板，沿长度方向单位长度的 带电量为入，试求：与板的边缘距离为b的一点P处的电 场强度(已知电荷线

4、密度为 人的无限长直线的电场强度为- ) °a20r解:如图，取宽为dx的窄条为研究对象,视为无限长带电直线，由无限长带电直线电场电荷线密度为- dx a公式，有dE-dx a2 o(a b x)整个带电薄板的电场强 度dEdx a0 2 0(a b x)2 0a,a bInb8、有一瓦楞状直长均匀带电薄板，面电荷密度为 6，瓦楞 圆半径为a ,试求：轴线中部一点P处的电场强度。(已知荷线密度为人的无限长直线的电场强度为E ) 20r解： 如图，顶视图，取宽为 dl的窄条为对象，视为无 限长带电直线，电荷线密度 为 dl addEExdExdEcosdcos0 2 20=0Ey dE

5、y dEsinJn电荷以相同的面密度o-分布在半径分别为 R =10 cm和 二 20 cm两个同心球面上。设无限远处电势为零,球心处的电势为V0 = 300 V。(1)求电荷面密度 ；(2)若要使球心处的电势也为零，外球面上的电荷面密度 cr ,应为多少？ (£ o = X10-12 C2N"m2)q14 RU 20q24r2解：(1)U 10U 20qi4 R1q24r2-(Ri R2)(2) 008.85 10 9c/m2(Ri R2)10、如图，长直圆柱面半径 为R,单位长度带电为 理计算圆柱面内外的电场强度。Qi斛： E ds 0E 0 (0 r R )E- (

6、R r )2 r入,试用高斯定BL _d11、电荷Q均匀分布在长为l的细杆AB上，P点位于 AB的延长线上，且与B相距为d,求P点的电场强度。解：dEdx-2 Xdx Qx2 4 l12、电荷Q均匀分布在长为l的细杆AB上，P点位 于AB的延长线上，且与B相距为d,求P点的电势。解:dqQdx ldU44 oxUddl乃言一13、电荷Q均匀分布在半径为R的半圆周上，求曲率中心。处 Q 的电场强度。，RO解：如图，在圆周上取电荷元dqdqdEQdl Rd R1 dq“TR2Q -d由对称性，Ey 0E ExdExdEcosdq4 0 R2cosQ2 cos R2Q2 2 0R214、用细的绝缘棒

7、弯成半径为 R的圆弧，该圆弧对圆心所张的 角为2 a ，总电荷q沿棒均匀分布，求圆心处的电场强度。解：如图，在圆弧上取电荷元dqdqdEdl -qRdR21 dq4 o R2由对称性，Ey 0E ExdExdEcos1 dq 7 cos40 Rq- cos d =q 2 sin4 0 2R4 °Rx15、求均匀带电圆环轴线上任一点 P处的电场强度（圆环半径为R, 带电量为Q）解:在圆环上任取电荷兀 dq,则dE1 dqZT22 ，4 0 R x由对称性知，dE 0E ExdEx1 dq x 1 Qx22':-22-77722、3/24 0 Rxr2x240 (Rx )1、一平

8、板电容器的电容为1X10-11F,充电到带电荷为X 10-8C后，断开电源，求极 板间的电压及电场能量。解：U=Q/C=1000VW=Q/2C= X 10-6J2、点电荷带电q,位于一个内外半径分别为 R、的的金属球壳的球心, 如图，P为金属球壳内的一点，求：（1）金属球壳内表面和外表面的 感应电荷；（2） P点的电场强度大小和P点的电势。解：（1）内表面感应电荷-q ,外表面感应电荷 q（2） E=0 V -q40R23、圆柱形电容器，长度为 L,半径分别为 R和R,二柱面间充满相对介电常数 为 j的均匀介质。设电容器充电后，两极板单位长度上带电量分别为+入和-入求：(1)(2)(3) 解：

9、两极板间的电场强度; 圆柱形电容器的电容; 它储有的电能。（1用高斯定理，柱形电容器极板间电场强度为E2 r 0 r(2)极板间电势差 V Edr InR-,2 r 0Rir oL,R2ln -R(3)WeQ22LlnR2Ri2C4、如图，半径为R的金属球，带电Q球外有一层均匀电介质的同心球壳，其内外半径分别为 Ri和R2,相对介电常数为质中的一点，离球心为r(1)(2)试用高斯定理求P点的电场强度 E；由E求P点的电势V由高斯定理，作半径为r的球形高斯面QP点的电场强度大小2rr方向径向向外（2）由以上结论介质中2rr真空中Q4 or2P点的电势R2U EdrrR2EdrR2r 4QQ20

10、rr1drQR2 40r2drrrrqP40 R21)5、金属球半径为R,带电qi ,外有一同心金属球壳，半径分别为R、 R,金属球壳带电q2 ,求金属球和球壳之间一点 P的电势。解：由静电感应，球壳内表 面带电q1,外表面带电q1 q2利用迭加原理，P点的电势U i （qi 曳曳曳）4 0r R2 R3 R36、如图所示，平板电容器（极板面积为 S,间距为d）中间有 两层厚度各为di和d2、电 容率各为e1和 的电解质，试计 算其电容。解： D dS D dS D dS D dS= DS S S上下IfflVaVb= -di d212C s1 2sVa Vb d1 2 d2 17、如图球形电

11、容器，内外半径分别为 R1和R,二球面间充满相 对介电常 数为£的均匀介质，当该电容器充电量为Q时，求:(1)(3)介质内D,E的大小；（2）内 外球壳之间的电势差 AU ；球形电容器的电容C; （4）它储有的电能解:由高斯定理，作半径为r的球形高斯面D 4 r2 QR2 UR1Edr(3)CQUQ22Cc QD24 rR2Q2 drR1 40 rr0 rR1R2R2 R1- 2 Q (R2 R)80邓2D 4-(r R R2(4)We8、圆柱形电容器，长度为L,半径分别为R1和号，二柱面间充满相对介电 常数为口的均匀介质，当该电容器充电量为Q时，求：(1)圆柱形电容器的电容；(2)

12、它储有的电能。解： 由高斯定理，柱形电容 器极板间电场强度为E -一Q极板间电势差 U2 r 0 r 2 r 0 rL Q 2 r oLC U RTln RiI2 Q2lnR2 (2)We - R12C 4 oLV、r 、D通”的图斯定理(2)如图二，试写出磁场强度矢量Hv沿闭合曲线出通过闭合曲面S的电位移矢量L的环流的安培环路定理。(1)图试写解： sD dS q v v(2)LHdl (Ii I2 I3)2、如图所示，一根长为 L ,均匀带电量为 Q的细棒，以速 度V沿X轴正向运动，当细棒运动至与Y轴重合的位置时，细棒下端到坐标原点。的距离为a,求此时细棒在。点产生的 磁感应弓虽度 B。解

13、：在细棒上距 O点y取电荷元dq= X dy ,由运动电荷的磁 场公式o dqV 0 VQdB2 2dy方向垂直向里4 y 4 Lya L 0 VQ ,0 VQ L2 dya 4 Ly24 L a(a L)a3、在半彳5为a和b的两圆周之间，有一总匝数为 N的均匀密绕平面螺线圈(即单位长度半径上的匝数为磁感应强度。N 、 一 . 、 . . 一一一 n ),通以电流I ,如图所不。求线圈中心 O点处的b adBBodl 27dB0NIdr2r(b a)RoNIdrr 2r(b a)oNI2(b a)In b a4、一半径R的圆盘，其上均匀带有面密度为 6的电荷，圆盘以角 速度绕通过盘心垂直于盘

14、面的轴转动，试证其磁矩的大小为14Pm - 3 (T R。4解：取半径为r宽为dr的圆环22dpm dI r 2 rdr - rR 314Pmr drR04r3dr5、用两根彼此平行的半无限长直导线 Li、L2把半径为R的均匀导 体圆环联到电源上，如图所示。已知直导线上的电流为I。求圆环 中心。处的磁感应强度的大小。解：I 工 I I 31I 14 I,I24 Ic 1c 1133 1c I213 IBB1, B22R 2R 432R 2R 432RB B1 B20BL1 0,BL2 -(sin 2 sin 1 )4 R4 R6、内外半径分别为a、b的圆环，其上均匀带有面密度为 6的 电荷，圆

15、环以角速度绕通过圆环中心垂直于环面的轴转动， 求：圆环中心处的磁感强度大小。解:IB2R解：取半径为r宽为dr的圆环，dI -Ndr b adqds 2 rdrdi ndq 2 rdr dB dr22r 2bbdBadra 2r(ba)7、如图，两段共心圆弧与半径构成一闭合载流回路， 对应的圆 心角为0 (rad),电流强度为I。求圆心。处的磁感应强度B的大 小和方向。B解：2RBa2a 2BbI2b 2B BaaBb(b1) a8、将通有电流I的导线弯成如图所示的形状 的大小和方向。解：由圆电流公式B求O点处的磁感强度矢量Ba2RI4aBb4bBaBbab解:dqBQd -dx ba b0d

16、IdI ndq Qdx 2 ba 2X aa b0 0 2x2Qdx bo Q, a b In 4 b b9、如图所示，电荷Q均匀分布在长为b的细杆上，杆 以角速度绕垂直于纸面过O点的轴转动。O点在 杆的延长线上，与杆的一端距离为 a,求O点处的磁感 应强度B的大小。4R10、将通有电流I的导线弯成如图所示的形状，求O点处的磁感强度Bo解:dBo Idl4R27dl 4 R2oJ2:B? dl oIBi 2 r 0 rBi半径为a的小圆柱体在p点的磁感应强度B2为:B2 2a oI oB2空心圆柱体p点的磁感应强度B为:11、在半径为2a的无限长金属圆柱体内挖去一半径为 a无 限长圆柱体，两圆

17、柱体的轴线平行，相距为 a,如图所示。 今有电流沿空心柱体的的轴线方向流动， 电流均匀分布在空 心柱体的横截面上，设电流密度为6 0 求P点及。点的磁感应强度。解:半径为2a的圆柱体在p点的磁感应强度B1为:B , Bi2B2(2)半径为2a的圆柱体在o点的磁感应强度B1为:B1B1 2 a oI半径为a的小圆柱体在o点的磁感应强度B2 o 空心圆柱体 o点的磁感应强度：B= B1 B212、将通有电流I的导线弯成如图所示的形状，度Bo解：dB 一 4dBABIdl-2" roIdl4 b2BbcoBABoI4 b2BCDo I4 b2dloIBCD8aoI(3a b)8ab(方向向

18、内)求O点处的磁感强Bd现沿导线长度方向取长为l铜的磁导率S的磁通S0。B的电荷圆盘圆盘中心处的0dr17RPIoaq/2 R0np1cos0Rxdx o°NI平面S,如图 计算通过平面d B dS15、一根很长的铜导线载由电流10A,在导线内部作一lB dl16、一半在 以角速度 磁感强度。B dl l2 r 0NI£ 1.0 106 l=1m0 Ix2R2RBldx 0cdIdq 2 rdr,dI n 2 rdr, dB 一 , B 2rB2 r0NIh R2 ln 一2R1oII2 R2B2 xR2型hdr 2 r如图所示，求螺绕环IoIR23(a2 R2)'

19、13、如图，有一边长为a的正方形导线回路，载有电流I,求 正方形中心处的磁感应强度的大小和方向。解：14、螺绕环通有电流I ,总匝数为No 内的磁感强度。°Idl sina°Idl0 .解：dB 20 丁，a 900, B dBx dBsin4 r 4 r18、如图，一无限长薄平板导体，宽为 a ,通有电流I ,求和导体共面的距导体一边距离为d的P点的磁感应强度。解：如图，在薄板上取窄条，视为无限长直线电流,dIdB-dx aodl2 (a d x)0 1dx2 a(a d x)dBa 01dx0 2 a(a d x)011adIn 2 a d方向垂直纸面向里1、一半径为R

20、的均匀带电圆盘，电荷面密度为，当它 绕其轴线以角速度 转动时，磁矩为多少？若圆盘置于 均匀磁场B中，B的方向平行盘面，如图所示，圆盘所 受磁力矩大小为多少？解：取半径为r,宽为dr的圆环为研究对象dPm SdI2 rdr2S r2di dq TdPm34r dr R4MPmBsin R4B242、正方形线圈可绕Y轴转动，边长为l ,通有电流I。今将线圈放置在方向平行于 X轴的均匀磁场B 中，如图所示。求：(1)线圈各边所受的作用力； (2)要维持线圈在图示位置所需的外力矩。解: df Idl B fif3IBlf2f4IBlsin300 MPm B MISBsin1200IBl 2 sin12

21、003、如图所示，在XOY平面内有四分之一圆弧形状的导线， 半径为R,通以电流I ,处于磁感应强度为B的均匀磁场中， 磁场方向垂直向里。求圆弧状导线所受的安培力。解：df IBdlRd IBRIBRV2IBR 方向：与x轴正向成45度dfIdl Bfx2 IB cos0同理 fyff-fy4、如图所示，在XOY平面内有四分之一圆弧形状的导线， 半径为R,通以电流I,处于磁感应强度为B ak的均匀 磁场中，a为正常数，求圆弧状导线所受的安培力。解：dF Idl B IBdl dFx IB cos dl dFy 旧sin dl2FxIB cos dl IBR0F . Fx2Fy22IBRFy IB

22、R5、如图所示，在XOYF面内有四分之一圆弧形状的导线，半 径为R通以电流I ,处于磁感应强度为B ai bj的均 匀磁场中，a、b均为正常数，求圆弧状导线所受的安培力。dF Idl B I (dxi dyj ) (ai bj ) I (bdx ady) kRdF I 0 (bdxady) k IR(b a) k6、半径为R的平 面圆形线 圈中载有电流I2,另一无限长直导线 AB中载有电流设AB通过圆心，并和圆形线圈在同一平面内（如图），求圆形线圈所受的磁力。解:dFB112dldF0 I1I2 . dl2 rdl RddFxdF coso"2 Rcos d2 rdFx0 I1I 2 dr RcosFx0（方向向右）7、如图所示，一平面半圆形线圈放在一无限长直导线 旁，且两者共面。长直导线中通有电流I,半圆形线圈 中也通有电流I ,半圆形线圈的半径为R,中心到直 导线的距