2026届八省联考T8联考高三年级12月检测训练数学试卷（含答案）

2026届八省联考T8联考高三年级12月检测训练数学试卷(试卷满分:150分考试用时:120分钟) 2025.12.24注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合A=x∣x2−2A.[3,+∞) B.C.(-∞,-1]∪[3,+∞) D.[-1,62.已知复数z满足2z+1=(3-z)i,则zA.4 B.22 C.2 D.3.已知a＞0,b＞0,abA.3 B.2 C.2 D.14.已知点G为△ABC的重心,若BG=A.0 B.1 C32 5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=−5,an=SnnA.(-∞,-6] B.(-∞,-5]C.(-∞,-3] D.(-∞,-2]6.图1是古书《天工开物》中记载的筒车图.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用.在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距水面的高度为.3m..设筒车上的某个盛水桶P(看作点)到水面的距离为d(单位；m)(若在水面下则d为负数)，若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t(单位：s)之间的关系为A.−π3 B.−π6 C.7.已知双曲线Cx2−y2m2=1m0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，过点F₁作圆A.2+3 B.1+3 C.2 8.已知函数若y=g(x)恰有4个零点，则实数k的取值范围是A.(-∞,1) B.4e32二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组数据x₁,x₂,x₃,…,xn的平均数为x(x≠0),将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据x1A.极差相同 B.平均数不同 C.方差不同 D.中位数相同10.已知函数fxA.g1x+C.h163＜h31111.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为1，高为h，该正四棱锥的顶点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的内部(包括表面)，则下列结论正确的是A.h的取值范围是(0,1]B.若正四棱锥P-ABCD的侧棱长为32,则C.当点P为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的上底面A₁B₁C₁D₁的中心时,正四棱锥P-ABCD外接球的表面积为9D.当点P为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球球心时,正方体ABCD−A1B1C1D三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知x+4xn13、已知抛物线(C:y2=2px（14.已知α,β∈R,(sinα-|sinβ|)·(cosβ-|cosα|)=0,则sinα+cosβ-2的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且满足cos(1)求角C的大小;(2)若点D在边AB上,且满足AB=3AD,求tanAtan16.(本小题满分15分)(1)1个质点在数轴上运动，每次向左或向右移动1个单位长度(相对于原点O，质点向右移动了i(i∈N)个单位长度后位置记为i，向左移动了i(i∈N)个单位长度后位置记为一i).已知质点每次向右移动的概率为p(0＜p＜1).记X为质点从原点O出发，移动2次后的位置，求满足随机变量X的期望大于0的p的取值范围；(2)1个质点从平面直角坐标系中某点A出发，每次等可能地向上或向下或向左或向右移动1个单位长度，求该质点经过4次移动后回到点A的概率.17.(本小题满分15分)如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1(1)求证:平面BCC₁B₁⊥平面A₁AO;(2)若A₁O⊥底面ABC,且直线AA₁与底面ABC所成角为60°,D是棱BB₁的中点,求平面AC₁D与平面ABC夹角的余弦值.18.(本小题满分17分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1（(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A在点B的上方)，与y轴交于点P(点P在点E的下方)，Q为点P关于原点的对称点，QB交x轴于点R，设△PBQ,△①若直线l的斜率为2，求S1②是否存在直线l，使Q，R，F₂，A四点共圆?若存在，试判断直线l的条数；若不存在，请说明理由.19.(本小题满分17分)约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，德国著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数y=[x]]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.2]=1,[-1.3]=-2.已知函数fx(1)当x=4和x=5时,求[f(x)]的值;(2)设g①求i=1nfxi的表达式；((②求i高三年级12月检测训练数学试题参考答案及多维细目表题号123456答案BCDBAA题号7891011答案DBABACDACD12.【答案】613.【答案】14.【答案】-315.解:(1)在△ABC中,cos2A2方法一:在△ABC中,由正弦定理得cosA=sinB∵A+B+C=π,∴sinB=sin(A+C).∴sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC,∴sinAcosC=0.∵sinA≠0,∴cosC=0,∴C方法二：∵cosA=b(2)方法一:如图,过点D作DH垂直于AC于点H.由题可得AH设AH=x,HC=2x,tanA=HDx,tan∠ACD=HD方法二：在△ACD中，由正弦定理得CDsinA=在△BCD中，由正弦定理得CDsinπ2−②÷①,得tanAtan∠16.解:(1)由题可知X的可能取值为-2,0,2,∴P(X=-2)=(1-p)²,P(X=0)=2p(1-b),P(X=2)=p².⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分X的分布列如下.x-202P(1-p)²2p(1—p)p²∴EX=−2⋅(2)移动四次，样本空间的样本点总数为n=4⁴=256，每个样本点出现的可能性相等，且为有限个，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分记质点经过4次移动后回到点A为事件B，要4次回到起点A，则向左向右移动次数相等，向上向下移动次数相等，∴事件B包含的样本点个数为m=A44+由古典概型计算公式得PB=36256=96417.(1)证明:如图,连接A₁B,A₁C.∵AB=AC,∠A₁AB=∠A₁AC,A₁A=A₁A,∴△A₁AB≌△A₁AC,∴A₁B=A₁C.∵O为BC中点,∴BC⊥A₁O.又AC=AB,∴BC⊥AO. 4分又AO∩A₁O=O,AO⊂平面A₁AO,A₁O⊂平面A₁AO,∴BC⊥平面A₁AO.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分∵BC⊂平面BCC₁B₁,∴平面A₁AO⊥平面BCC₁B₁.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分(2)解:∵A₁O⊥平面ABC,∴∠A₁AO为A₁A与平面ABC所成的角,即∠A₁AO=60°.|由题可知OA,OB,OA₁两两垂直,以O为坐标原点OA,OB,OA1分别为设AC=AB=4,∴A10026,A∵AC=A1C1∴D−设平面AC₁D的一个法向量为n=(x,y,z),∴{−32x∴n=∵A₁O⊥平面ABC,∴取平面ABC的法向量m=(0,0,1),记平面AC₁D与平面ABC的夹角为α，则cosα=∣cos∴平面AC₁D与平面ABC夹角的余弦值为77918.解：(1)∵椭圆C的左、右焦点分别为F₁(-2,0),F₂(2,0),且过(2∵∴2∴椭圆C的方程为x28(2)①直线l方程为x=12y+2,设A(x联立{x28+y24=1,由题得S= 9分②假设存在直线l，设直线l方程为x=my+2,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).联立{x28+y2∴y1如图,延长QA交x轴于点S,若Q,R,F₂,A四点共圆,则∠AF₂S=∠AQR.……..11分∵又∠AQR=∠1-∠2,∴tan∠AQR=tan(∠1-∠2)=(此步骤不推理不扣分)由kQA=y1=∴1m,∴由点P在点E下方得−2m<−2,∴0<m∴f'm∴存在直线l，条数为1条. 17分19.解:(1)当x=4时,2cos当x=5时,2cos(2)①由条件gx=40x+45+x∵x1=5,∴x2=gx1即:3.9<∵x3=gx2,3.9<x2∵x4=gx3,4<x同理，可得4<x₅<4.1,∴依此规律，归纳可得x下面用数学归纳法证明此归纳结论：当t=1时,x假设当t=k(k∈N*)时,x₂k∈(3.9,4),x₂k+₁∈(4,4.1).则当t=k+1时,x2k+1=x2k+2=xx2综上可知,x₂,∈(3.9,4),x₂₁+₁∈(4,4.1),对∀t∈N⁺成立.(不用数学归纳法证明不扣分)…⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分∴cosx1∈0∴∑□f(x,)]=1-n,n∈N⁺.(或∑[f(x;)]={0,n=1,1−n②设(φ(x)=x+g(x),x>0,φ'(x)=1+12x+45φ(x)单调递增.……………………..11分∵φ(4)=8,由①知.x₂₁