复数知识点总结.doc

1、复数知识点总结复数 知识点 小结 1 1 、 复数的概念 复数( , ) z a bi a b R = + ReIma zb z-实部-虚部-，其中21 i = - ， i 叫做虚数单位.2 2 、 复数的分类 ( 0) ( , )( 0) ( 0bz a bi a b Rb a= = + =实数复数虚数 特别地， 时为纯虚数) 3 3 、 两个复数相等定义：假如两个复数 ) , (1R b a bi a z + = 和 ) , (2R d c di c z + = 的实部与虚局部别相等，即 d b c a = = 且 ，那么这两个 复数相等，记作 di c bi a + = + .只有当两个

2、复数都是实数时，才能比拟大小；当两个复数不都是实数时，只有相等与不相等两种关系，不能比拟大小.4、 复平面 - 建立了直角坐标系来表示复数的平面。复平面中，_ _ 轴叫做实轴，y y 轴叫做虚轴。表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数 0 0 。5 5 、 复数的向量表示OZ Z 向量 复平面上点 复数 + + = = ) , ( b a bi a z6 6 、复数的模复数模绝对值的定义，几何意义：复数 z=a+bi a,b ∈R R 所对应的点 Z(a,b) 到坐标原点的间隔 。| | z|=|a+bi|= 02 2 + +b a .说明2 | | 0 |

3、| z z a a = + = 为实数时， ，所以实数绝对值是复数模的特殊情形。当且仅当a=b=0 时，|z|=0 7 7 、 复数的四那么运算 性质：R d c b a , , ,1 1、加法：i d b c a di c bi a ) ( ) ( ) ( ) ( + + + = + + +2 2、减法：i d b c a di c bi a ) ( ) ( ) ( ) ( - + - = + - +3 3、乘法：i bc ad bd ac di c bi a ) ( ) ( ) )( ( + + - = + +4 4、除法：id cad bcd cbd acdi cbi a2 2 2 2+

4、-+=+目的：分母实数化 要点说明 计算结果一律写成 ) , ( R b a bi a + 的代数形式； 复数的加法满足交换律、结合律； 复数乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律； 交换律：1 2 2 1z z z z = 结合律：) ( ) (3 2 1 3 2 1z z z z z z = 分配律：3 1 2 1 3 2 1) ( z z z z z z z + = + 实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即 n nn mn n m n m n mz z z z z z z z z N n m C z z z2 1 2 1_3 2 1) ( , ) ( , , , ,

5、 , = = = +时：8 8 、 i i 的整数指数幂的周期性特征：4 1 4 2 4 3 4 41 , 1, , 1k k k kk i i i i i i+ + + += = - = - = 假设 为非负实数，那么；0 24 4 3 4 2 4 1 4= = + + + + + + + + + + + + + k k k ki i i i 9 9 、 | |2 1z z - - 的几何意义：设1 2,( , , , ) z a bi z c di a b c d R = + = + 那么2 22 1) ( ) ( | ) ( ) ( | | ) ( ) ( | | | d b c a i

6、 d b c a di c bi a z z - + - = - + - = + - + = -几何意义：对应复平面 上 点1 2( , ), ( , ) Z a b Z c d 两点间间隔 2 2) ( ) ( d b c a d - - + + - - = =10 、共轭复数1 1 定义：当两个复 数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做互为共轭复数，记为 bi a z - =问题：当 R z 时，是否有共轭复数？两者关系如何？ z z R z = = 2 2 运算性质：结论可推广到 n n 个2 1 2 1) 1 ( z z z z = = 2 1 2 1) 2 ( z z z

7、 z = = ) 0 ( ) ( ) ( ) 3 (22121 = = zzzzz 3 3 模的运算性质： 1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | | z z z z z z - + ； 1 2 1 2z z z z = ，可推广至有限多个，特别地nnz z = = 2121zzzz= = 22z z z z = = ，特别地，当 1 = z 时 ， 1 = z z 即1zz= .11 、 复数的平方根：在复数集 C C 内，假如 ) , , , ( , R d c b a di c bi a + + 满足：di c bi a + = +2) ( ， 那么称 bi a+ 是

8、di c+ 的一个平方根.从运算结果可以看出，一个非零复数的平方根有两个，且互为相反数.1 12 2 、 复数的立方根设 i2321+ - = w ，那么：3 2 23 3 1 3 2 2(1) 1; (2) 1 0 ; (3) ;(4) 1 , 3 .n n n nTw w w w ww w w w w w+ += + + = = = = = 即 是 的等比数列13 、实系数 一元 二次方程 根 的情况120( 0) a_ b_ c a + + = 实系数一元二次方程 在复数集内根的情况： 0 , D 当 时 有两个不相等的实根 ； 0 D = 当 时，有两个相等的实根 ； 0 D 当 时，有两个共轭虚根 .20 D 当 时 ，2 21 2 1 1 2 1 22Re , | | | |b c_ _ _ _ _ _ _a a+ = = - = = =321 2 1 2 1 20 | | ( )