隐函数的求导公式（课堂PPT）

1、1第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式一、一个方程的情形一、一个方程的情形二、方程组的情形二、方程组的情形2显函数显函数隐函数隐函数)(xfy 0),( yxF0),( zyxF( , )zf x y 222ayx 22xay 22yax 或或显化显化问题问题：1.满足什么条件，方程能够确定函数？满足什么条件，方程能够确定函数？2.对于不能或难以显化的隐函数如何求偏导？对于不能或难以显化的隐函数如何求偏导？30),(. 1 yxF一、一个方程的情形一、一个方程的情形隐函数存在定理隐函数存在定理1),(yxF),(00yxP在点在点的某一邻域内具有的某一邻域内具有设函数设函数连续的偏导

2、数，连续的偏导数， 00(,)0,F xy 00(,)0,yFxy 且且能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 0),( yxF),(00yxP则方程则方程在点在点的某一邻域内恒的某一邻域内恒)(xfy )(00 xfy yxFFdxdy ，它满足条件，它满足条件，并有，并有 隐函数的求导公式隐函数的求导公式4定理证明略定理证明略. . 推导求导公式：推导求导公式：( ,( )0F x f x 两边对两边对 x 求导求导d0dFFyxyxddxyFyxF ( )( , )0yf xF x y 设设为为方方程程所所确确定定的的0yF 在在00(,)xy的某邻

3、域内的某邻域内则则xyxF,隐隐函函数数复合函数复合函数5例例1 1 验证方程验证方程 在点在点 的某的某解解 令令1),(22 yxyxF则则(1)2 ,xFx 2yFy (2)(0,1)0,F (0,1)(3)(0,1)2yFy 连续连续 , ,0122 yx)1 , 0(邻域内能唯一确定一个可导邻域内能唯一确定一个可导, ,且且 时时0 x1 y( ),yf x 0 x的隐函数的隐函数并求这函数的一阶和二并求这函数的一阶和二的值的值. .阶导数在阶导数在20,621yx(0)1.f 且且?xyo )1 , 0( )0 , 1(21yx21yx 注：注：在点在点(1,0)的邻域内方程的邻域

4、内方程不能唯一确定一个可导函数不能唯一确定一个可导函数.2210 xy(1,0)(1,0)20yFy 0122 yx)1 , 0(依定理知方程依定理知方程的某邻域内能唯一确定一个可导的函数的某邻域内能唯一确定一个可导的函数在点在点7yxFFdxdy ,yx 010.xydydx 22()d ydxdxdxy2yyxxy ,13y 22011.xyd ydx 1),(22 yxyxF一阶导数：一阶导数：( , )F x y因因的的二二阶阶偏偏导导连连续续，故故2yxyy 8例例2 设设方程方程sin1xyexy 确定一个隐函确定一个隐函数数( ),yf x d.dyx解解 令令( , )sin1

5、,xF x yyexy ,xxFey 由隐函数求导公式由隐函数求导公式, ,得得 则则cosyFyx 求求ddxyFyxF .cosxeyyx .cosxeyyyx cos y y 方程两边对方程两边对x求导，求导，xe y xy 另解另解解出解出( )yf x 注意到注意到90),(. 2 zyxF隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 的某一邻域内有连续的偏导数，的某一邻域内有连续的偏导数， ),(zyxF000(,)P x y z设函数设函数在点在点邻域内恒能唯一确定一个连续且具有邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续连续( , , )0F x y z ),(000zyxP则方程则方程在点在点

6、的某的某偏导数的函数偏导数的函数 ),(yxfz 000(,),zf xy , ,它满足条件它满足条件xzFzxF zyFFyz 并有并有 000(,)0,zF xy z 000(,)0,F x y z 且且10( ,( ,) )0F x y f x y 两边对两边对x求偏导求偏导xFxzFzxF yzFzyF 同样可得同样可得( , )( , , )0zf x yF x y z 设设是是方方程程所所确确定定则则zF zx 0 000(,)0,zxy zF 在在的的某某邻邻域域内内xFyxzy推导求偏导公式：推导求偏导公式：隐函数的求导公式隐函数的求导公式,的的隐隐函函数数11解解令令则则,4

7、),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 例例3 12 (,)0,f yx yzzz x y 由由确确定定函函数数f具有连续偏导数，求偏导数具有连续偏导数，求偏导数. .例例4 412,xzFfzxFyf ( , , )(,),F x y zf yx yz 令令1( , , )( 1)xFx y zf 12( , , )yFx y zffz 2( , , )zF x y zfy 122yzFfzfzyFyf 解解则则13解解(2)(0),xyzd ezed ()20

8、,xyzedxydze dz )()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe例例5 两边全微分：两边全微分：14 0),(0),(vuyxGvuyxF二、方程组的情形二、方程组的情形( , )( , )uu x yvv x y ( , , , ),F x y u v),(vuyxG),(0000vuyxP0000(,)0,F xy u v 0000(,)0,G xy u v vGuGvFuFvuGFJ ),(),(隐函数存在定理隐函数存在定理3 设设在点在点的某一邻域内有对各个变量的的某一邻域内有对各个变

9、量的偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式） 连续偏导数连续偏导数, ,且且),(0000vuyxP在点在点不为零，不为零，15,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu ),(0000vuyxP( , ),uu x y ),(yxvv 000(,),uu xy 000(,)vv xy 则方程组则方程组 在点在点唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的它们满足条件它们满足条件并有并有 0),(0),(vuyxGvuyxF的某一邻域内恒能的某一邻域内恒能函数函数16vuvuxuxuGGFFGGFFxu

10、GFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 17解解1 直接代入公式；直接代入公式；解解2运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导并移项求导并移项,得得, vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ 220,xy 例例6 18xyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 将所给方程的两边对求导，用同样方法得将所给方程的两边对求导，用同样方法得,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv 在在0 J的条件下，的条件下，, vxvxxuyuxvyxux解方程组，得解方程组，得19（分以下几种情况）（分以下几种情况）隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),()1( yxF0),()2( zyxF小小 结结),(xfy yxFFdxdy 则则),(yxfz zyzxFFyzFFxz ,则则20( , , , )0(3)( , , , )0F x y u vG x y u v ( , ),( , )uu x yvv x y ()xy则则方方程程组组两两边边对对或或求求导导，,(,).uvuvxxyy解解出