直线的点向式参数式一般式方程之间的互化课件

1、 以下任何一种情形以下任何一种情形,都唯一确定一条直线都唯一确定一条直线： （1）作为两个相交平面）作为两个相交平面的交线的交线与与 21 ； （2）21 , MM经过两点经过两点； （3）M 经过一点经过一点，且平行于一个非零向量。，且平行于一个非零向量。 7 7. .3 3. .2 2 直直线线的的方方程程 0022221111DzCyBxADzCyBxA 就表示交线就表示交线L的方程，式称为空间直线的的方程，式称为空间直线的一般方程一般方程。 一一、直直线线的的方方程程 （一一）直直线线的的一一般般方方程程 当当空空间间直直线线 L 作作为为两两个个相相交交平平面面 1 ：01111 D

2、zCyBxA， 2 ：02222 DzCyBxA， 的的交交线线时时，方方程程组组 xyzo1 2 L 设直线设直线 L 过点过点) , , (zyxM， 方向向量为方向向量为 , ,nmla ， ) , , (zyxM是是 L 上任意一点，上任意一点， 则则 , ,zzyyxxMM ， （二二）直直线线的的标标准准方方程程（或或点点向向式式方方程程）与与直直线线平平行行的的非非零零向向量量称称为为直直线线的的方方向向向向量量。 例如：方程组例如：方程组 00zy， 00zx， 00yx 分别表示分别表示轴轴 x、轴轴轴和轴和 zy。 MMLyxzoa 直线的任一方向直线的任一方向nmla ,

3、 , 的三个坐标的三个坐标向量向量称为直线的称为直线的 一组一组方向数方向数。 由由MM a，得：，得： nzzmyylxx ， 式式称称为为直直线线的的标标准准方方程程或或点点向向式式方方程程。 （三三）直直线线的的参参数数方方程程 ntzzmtyyltxx， 方方程程组组称称为为直直线线的的参参数数方方程程。 当当nml , ,中中有有两两个个为为零零，例例如如0 ml，而而0 n， 则则应应理理解解为为 . 0, 0yyxx 在在直直线线方方程程中中，设设tnzzmyylxx ，则则有有 直线的点向式、参数式、一般式方程之间的互化直线的点向式、参数式、一般式方程之间的互化 由直线的点向式

4、方程容易得出参数式方程。由直线的点向式方程容易得出参数式方程。反之，由反之，由 参数式方程显然能直接写出点向式方程。参数式方程显然能直接写出点向式方程。 把把点点向向式式方方程程的的连连等等式式nzzmyylxx 写写成成 两个方程两个方程 nzzmyymyylxx ，即，即 . 0)()(, 0)()(zzmyynyylxxm 便是直线的一般方程。便是直线的一般方程。 把把一一般般式式方方程程化化为为点点向向式式方方程程，归归结结为为在在直直线线上上找找出出 一一确确定定点点和和求求出出直直线线的的方方向向向向量量。 再求直线的再求直线的a 方向向量方向向量。由于两平面的交线与这两平面由于两

5、平面的交线与这两平面 的法向量的法向量1 , 1 , 11 n和和3 , 1 , 22 n都垂直都垂直， 故取故取3 1, , 431211121 kjinna， 直直线线的的点点向向式式方方程程为为3142 zyx。 例例 6用用点点向向式式方方程程及及参参数数方方程程表表示示直直线线 043202zyxzyx。 解： （解： （方法方法 1）先在直线上找一点）先在直线上找一点),(zyxM，0 z令令 代入原方程组得代入原方程组得2 x，0 y，则点，则点0) 0, , 2( M在直线上。在直线上。 （方方法法 2）在在直直线线上上取取两两点点0) 0, , 2( M，)23 ,21 ,

6、0(1 M， 则则直直线线的的方方向向向向量量为为23 ,21 , 21 MM。 直直线线的的点点向向式式方方程程为为232122 zyx， 即即3142 zyx， t 令令上上式式比比值值为为，得直线的参数方程：，得直线的参数方程： 3 42tztytx。 （四）（四）直线的向量式方程直线的向量式方程 在直线的参数方程在直线的参数方程 ntzzmtyyltxx 中，中， 若若记记,zyxr ， , ,zyxr ， , ,nmla ，则则有有 tarr 上式称为直线的上式称为直线的向量式方程向量式方程。 （五）（五）直线的两点式方程直线的两点式方程 故所求直线方程为故所求直线方程为 12112

7、1121 zzzzyyyyxxxx 。 方方程程称称为为直直线线的的两两点点式式方方程程。 解：解：21 , MM直线过点直线过点， 取取作为方向向量作为方向向量 , ,12121221zzyyxxMM ， 求求过过点点) , , (1111zyxM，) , , (2222zyxM的的直直线线的的方方程程。 二二、空空间间两两直直线线的的夹夹角角 两两直直线线方方向向向向量量的的夹夹角角（通通常常指指锐锐角角）称称为为两两直直线线的的夹夹角角。 设两直线设两直线1L和和2L的方向向量分别为的方向向量分别为 , ,1111nmla ， , ,2222nmla ，则它们的，则它们的 夹夹角角 应是

8、应是),(21aa或或),(),(2121aaaa 两者中的锐角，故两者中的锐角，故 ),cos(cos21aa ，即，即 . cos2222222121212121212121nmlnmlnnmmllaaaa 三三、空空间间两两直直线线的的位位置置关关系系 设有两直线设有两直线 1111111 :nzzmyylxxL ， 2222222 :nzzmyylxxL ， 11111),(LzyxM ， 22222),(LzyxM ， ,1111nmla 为为的的 1L方向向量，方向向量， ,2222nmla 为为的的 2L方向向量。方向向量。 （1） 1L2L1a2a212121nnmmll ，

9、（2）1L 2L 1a 2a0212121 nnmmll； （3）共面共面向量向量共面共面与与 , , 212121aaMMLL ; 0 2121 aaMM（4）0 212121 aaMMLL异面异面与与； （5）212121 aaLLLL不平行于不平行于共面且共面且与与相交相交与与 0 0 212121 aaaaMM且且。 例例 7直线直线 L 过点过点)1 , 1 , 1(A且与直线且与直线321 :1zyxL 和和 431221:2 zyxL都相交，求直线都相交，求直线 L 的方程。的方程。 1)0 , 0 , 0(LB ，2)3 , 2 , 1(LC ， 1 , 1 , 1 AB，2

10、, 1 , 0 AC， 解解：设设 L 的的方方程程为为nzmylx111 ， 2121 , , , ,aaaLLL的的方方向向向向量量分分别别为为， 则则 , ,nmla ，3 , 2 , 1 1 a，4 , 1 , 2 2 a。 解得解得m nl2 , 0 ， 故故 L 的方程为的方程为mzmyx21101 ，即，即211101 zyx。 0242 210 412 0 22 nmlnmlACaaLL共面共面与与， 02 111 321 0 11 nmlnmlABaaLL共面共面与与， 四四、直直线线与与平平面面的的夹夹角角 当当直直线线与与平平面面不不垂垂直直时时，直直线线与与它它在在平平

11、面面上上的的投投影影 直直线线的的夹夹角角)20( ，称称为为直直线线与与平平面面的的夹夹角角。 当当直直线线与与平平面面垂垂直直时时，规规定定直直线线与与平平面面的的夹夹角角2 。 故故),cos(sinna ，即，即 .sin222222CBAnmlCnBmAl 设直线的方向向量为设直线的方向向量为,nmla ， 平面的法向量为平面的法向量为,CBAn ， 直线与平面的夹角为直线与平面的夹角为 ， 则则 2),(na或或 2),(na，),(2na ， nL L直线直线L与平面与平面 的位置关系如下的位置关系如下： （1）L )(上上不在不在 L . 0 , 0000DCzByAxCnBm

12、Al （2）上上在在 L . 0 , 0000DCzByAxCnBmAl （3）L nCmBlAna /. 直线直线 L：nzzmyylxx ， 平面平面 ：0 DCzByAx， （4） L交点交点 P0 CnBmAl. 例例 8设设有有L 直直线线： 03102 0123zyxzyx及及 平平面面：0224 zyx，则则L 直直线线（ ） （A） 平平行行于于； （B）上上在在 ； （C） 垂垂直直于于； （D）斜斜交交与与 。 1 , 2 , 47 7 , 41 ,28 10 , 1 , 2 2 , 3 , 1 a， 平平面面的的法法向向量量为为 1 , 2 , 4 n， an，从而，从而

13、 平平面面直直线线 L，故应选（，故应选（C） 。） 。 C解：解：L 直线直线的方向向量为的方向向量为 例例 9求直线求直线 tztytx2321与平面与平面052 zyx的交点。的交点。 五五、直直线线与与平平面面的的交交点点 05) 23()2()1(2 ttt， 解出解出4t， 再再把把4 t代代入入直直线线方方程程，得得3 x，6 y，5 z， 即交点为即交点为)5 6, , 3( P。 设设) , ,(zyxM为为直直线线 L 外外一一点点，L 的的a 方方向向向向量量为为， 求求dLM 的的距距离离到到。 则则 aaMMd 1。 六六、点点到到直直线线的的距距离离 M1MdaL解

14、解：在在 L 上上任任取取一一点点),(1111zyxM，以以MM1a 和和为为边边 的的平平行行四四边边形形的的面面积积为为aMM 1， 上上的的两两点点，则则，分分别别为为，方方向向向向量量分分别别为为为为两两异异面面直直线线，设设21212121, LLMMaaLL七七、两两异异面面直直线线的的距距离离 212121212121 )( aaaaMMaaaaMMd 1L1M2M2L2a1a例例 10求求两两异异面面直直线线 L1：111343 zyx， L2：1202 zyx间间及及的的距距离离 d公公垂垂线线 L 的的方方程程。 解解：1 , 0 , 2 ,1 , 1 , 4 ,2121

15、 aaLL的的方方向向向向量量为为， 2 , 2 , 11, 0 , 21 , 1 , 421 aa， 12 , 2 , 11 , 3 , 3)(2121 aaMM， .3131 )( 212121 aaaaMMd 11)1 , 3 , 3(LM ，22)2 , 0 , 0(LM ，1 , 3 , 321 MM， 公公垂垂线线 L 的的2 , 2 , 1 21 aaa方方向向向向量量， 11 所所确确定定的的平平面面记记为为与与 LL， 22 所所确确定定的的平平面面记记为为与与 LL， 设设2121 nn和和的的法法向向量量分分别别为为和和平平面面 ，则则 1 , 1 , 099, 9, 0

16、1, 1 , 42, 2 , 111 aan， 4, 5, 21 , 0 , 22, 2 , 1 22 aan， 0)1(1)3(1)3(0 1 zyx的的方方程程为为， 即即02 zy。 又又11)1 , 3 , 3( M，22)2 , 0 , 0( M， 0)2(4)0(5)0(2 2 zyx的的方方程程为为， 即即08452 zyx。 或或把把 L2化化为为参参数数方方程程 tzytx202，代代入入的的方方程程平平面面1 ， )2 , 0 , 8(12 AL ， 故公垂线方程为故公垂线方程为22218 zyx。 21 L，公垂线公垂线L L的方程为的方程为 . 08452 , 02zy

17、xzy 八八、过过直直线线的的平平面面束束 设直线设直线L L的方程为的方程为 0022221111DzCyBxADzCyBxA) (21 L， 通通过过定定直直线线的的所所有有平平面面的的集集合合称称为为平平面面束束。 则过则过 L 的平面束为的平面束为 0)()(22221111 DzCyBxADzCyBxA， 其其中中022 。 若若0 , 1 ，即为，即为的的方方程程平平面面 1 ； 若若1 , 0 ，即为，即为的的方方程程平平面面 2 。 表示缺少一个平面表示缺少一个平面 的平面束。的平面束。方程方程0)()(22221111 DzCyBxADzCyBxA 注注：2 例例 11求直线求直线 L： 0101zyxzyx在在 平面平面：052 zyx 上的上的的的投影直线投影直线 1L方程。方程。 解：设过直线解：设过直线 L 的平面束方程为的平面束方程为 0)1()1( zyxzyx， 即即 0)()()()( zyx， 设在平面束中与设在平面束中与 平面平面垂直的平面垂直的平面1 为为， 则则 平面平面与与1 平面平面的交线为的交线为 1L投影直线投影直线。 1L投投影影直直线线的的方方程程为为 052013zyxzyx。 由由1 ，得得01 , 2 , 1