递推关系求通项

1、递 推 关 系 求 通 项基础较差班级的启发式教学案例浙江省宁波市柴桥中学 丁平 315809课堂背景北仑区柴桥中学是一所生源相对较差的普通高中，如何在基础较差的班级的课堂教学中实施启发式谈话法（特别是在高考总复习阶段也继续实施这种教法而拒用灌输注入式），已成为广大非重点学校教师的一个共同的探索课题.为此，笔者于2010年3月份在柴桥中学的一个高三普通班开设了一堂以此为目的的研究课，着重探索如何启发基础较差学生的思维.下面真实记录了这堂课的师生谈话全过程.课堂实录师：近几年各省、市、自治区的高考中，相继出现了由递推关系求通项的一类数列问题，根据杂志记载，考生对此类试题的解答往往不尽如人意，因此

2、本节课就专门来研究这类问题.请同学们先回答一个问题：已知数列中，求通项.生1：，是等差数列，.师：对。若将改为变式1（其它不变），则此题类似于09年高考题（全国卷及陕西卷文），此时由 推不出是等差数列，那该怎么解？（学生沉默）师：思维受阻时不妨“特殊探路”譬如求.生2： ， ， .师：那么求呢？难能也是这样一项一项求？（学生笑）能否不求过渡量、而直接求出呢？生3：有了，只要把、式相加即得，.师：对，这叫做“设而不求”，这个解法我们取名为“累加法”.现在你们会求了吗？（至此，学生很快地求出了）.师：小结1型如的递推关系，常用累加法转化为等差（比）数列求和.下面，再将变为变式2（此题类似于02年全

3、国高考题），怎么求？（学生沉默）师：类比是一种很有用的解题思想.能否类比变式1的解法来求解变式2？（学生仍然沉默）师：我们还是“以退为进”吧！即先退到特殊情形譬如求，怎样类比变式1求出？生4：，相乘得.生5：噢！可以求出了（于是学生用累乘法求得）.师：小结2型如的递推关系，常用累乘法求通项.我们再将前面问题中的改为变式3（其它不变），则如何求？生6：，.师：答案正确，但这仅仅是猜想，还需要用数学归纳法加以证明。这也是一种方法，这叫“先猜后证法”.请大家思考有无更简便的方法？能否转化为等差（比）数列？本身是等差（比）数列吗？生7：不是.因为不可能得出（常数）或(非零常数)师：那么能否转化为其他的

4、复合型（如、等）成等差（比）数列？（学生沉默）师：假如，（*），你能求出吗？（学生依旧沉默）师：譬如说已知，你能求出吗？生8：能求.哦，由（*）式可知是公比为3的等比数列，这样可求了.师：那么由能转化成一个复合型等比数列吗？生9：是等比数列.师：回答得好！这道题由于数字简单，故容易想到两边加1，若数字复杂而想不到两边应加什么数那咋办？（学生沉默）师：可否借助参数这个神奇的数学工具？即设应加的数为，然后设法求出？生10：行！，令即得.师：很好，此法称作“待定系数法”.小结3型如的递推关系式，可用凑配法或待定系数法转化为等比数列问题.转化确实是一种重要的解题思想！数学题可以千变万化，如果将改为变式

5、4（其它不变），则又如何解答？生11：，令得，得，数列是（欲言又止）.师：能推出是等比数列吗？为什么？生12：不能.与并非相邻两项.师：那么有没有办法变成相邻两项？即有没有办法将变成形如？生13：只要两边加上即可得，从而得，.师：很好！还有没有其它方法？能不能将新题转化为旧题？譬如把变式4转化为变式3的类型？生14：能。，令，则，此即小结3中的类型.师：你们真棒！小结4型如的递推关系式，可采用生13和生14所述的两种凑配法转化为等比数列问题.我们再将前面问题中的改为变式5（其它不变），怎么解？（学生沉默）师：解杂数列问题的一种重要思想方法就是常常将杂数列转化为复合型等差（比）数列.生15：噢，

6、由可得是等差数列，. 师：对.让我们再变一变：变式6，这个会解吗？生16：这个不难，可化成.师：由于前面已做过变式5，所以解变式6易如翻掌，如果直接让你们解变式6，你们能想得到这样化吗？生17、18、19、20：能！师：好！那我现在把改为变式7，你们能解吗？生21：能解，数列是（生21不知所措）.师：显然推不出是等差数列了，那么能否推出其它复合型等差数列呢？（学生沉默）师：解数学题的一种重要思想就是把新题转化为旧题！我们在前面已学会了哪几种旧题？生22：；.师：那么本题能否转化为这四种之一？（学生沉默）师：显然难以转化为，那么能否转化为？（学生依旧沉默）师：请观察，式有何特点？生23：含有相邻

7、两项和，且均是一次，其余是常数.师：那么再请观察，是否具备这些特点？生24：哦！实质上是具备的，只要用换元法设，则得，即，此即的类型.师：好得很！下面就可以用小结3的方法来求解了，由此可知，解题还需善于观察，抓住特征啊！小结5型如的递推关系，采用凑配成倒数的思想方法，转化为等差（比）数列.若把改成变式8，你会求吗？生25：、26、27：仿变式7求出，再用可求得.师：大家棒极了！小结6若递推式中含有，则利用上述转化方法及公式 求解.近几年各地高考中出现的递推数列求通项主要是这六种类型，所用的方法也主要是这六种方法.试题有小题也有大题。但有的大题不是单纯以这六种形式出现，可能需要先转化一下，如09年全国卷II（理）：设的前n项和为，.（I）设.证明是等比数列；（II）求的通项公式. 解答时就应先将已知条件变形转化为 .这就是小结4的类型.课后反思众所周知，对于重点中学的重点班级，教学中较易实施启发式谈话法，但对于非重点中学的非重点班，教学中常常会启而不发，导致冷场；此外，在基础较差班级中实施启发式谈话法还容易造成课堂容量不足，教学进度缓慢，以致影响实际效果.针对这两类矛盾，笔者在本堂课中采用了以下两种对策：一是采用“持续渐进式启发”，即当学生回答不出出现冷场时，教师坚持不自己讲出答案，而是一层递进一层连续不断地启发，一环紧扣一环坚持不懈地诱导，务必坚持到完全由学生自己独立发现解