抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题

1、抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题一.概念：抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数 值，特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部 分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解 研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰 富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于f(x)定义域内的每一个 x,都存在非零常数 T,使得f(x T) f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f (x)的一个周期，则kT (k Z

2、,k 0)也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f (x)的最小正周期。分段函数的周期： 设y f (x)是周期函数，在任意一个周期内的图像为C: y f (x),x a,b ,T b a。把y f(x)沿x轴平移KT K(b a)个单位即按向量a (kT,0)平移，即得y f(x)在其他周期的图像：y f (x kT),x kT a, kT b。f (x) xa,bf (x)f(x kT) x kT a,kT b2、奇偶函数：设 y f (x), x a,b 或x b, a a, b若f ( x)f(x)，则称y f(x)为奇函数；若f ( x) f(x)则称y f (x)为偶函数。分段

3、函数的奇偶性3、函数的对称性：(1)中心对称即点对称：点A(x, y)与B(2a x,2b y)关于点(a, b)对称；点A(a x,b y)与 B(a x, b y)关于(a,b)对称；函数y f(x)与2b y f (2a x)关于点(a,b)成中心对称；函数b y f (a x)与b y f (a x)关于点(a,b)成中心对称；函数F (x, y) 0与F(2a x,2b y) 0关于点(a,b)成中心对称。(2)轴对称：对称轴方程为： Ax By C 0 o/ /2A(Ax By C) 2B(Ax By C)、辛工古点 A(x, y)与 B(x ,y ) B(x 22, y 229

4、关于直A2 B2A2 B2线Ax By C 0成轴对称；2B(Ax By C)2A(Ax By C)、“力士»函数y f(x)Vy 三一一- f(x 三一一)关于直线ABABAx By C 0成轴对称。 F(x,y) 0与F(x 2A(AX 吗 C),y 2B(AX 吗 C) 0关于直线 A2 B2A2 B2Ax By C 0成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论(一)函数y f(x)图象本身的对称性(自身对称)若 f(x a) f(x b),则 f(x)具有周期性；若 f(a x) f(b x),则 f(x) 具有对称性：”内同表示周期性，内反表示对称性1、f(a x) f (b

5、x) yf(x)图象关于直线 x (a x) (b x) 9_上对称22推论1： f(a x) f (a x) yf(x)的图象关于直线 x a对称推论2、f (x) f (2a x) y f (x)的图象关于直线 x a对称推论3、f( x) f(2a x)y f(x)的图象关于直线 x a对称2、 f (a x) f (b x) 2cy f(x)的图象关于点(_a_b c)对称2，推论1、f (a x) f (a x) 2b y f (x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f (x) f (2a x) 2by f(x)的图象关于点(a,b)对称推论3、f ( x) f(2a x) 2by

6、f(x)的图象关于点(a,b)对称(二)两个函数的图象对称性 (相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数y "*)与丫 f ( x)图象关于Y轴对称2、奇函数y ”*)与丫 f ( x)图象关于原点对称函数3、函数y"*)与丫f(x)图象关于X轴对称4、互为反函数y f(x)与函数y f 1(x)图象关于直线y x对称.一. ba5.函数y f (a x)与y f (b x)图象关于直线 x 对称2推论1:函数yf (a x)与y f (a x)图象关于直线x= a对称推论2:函数y“*)与丫 f (2a x)图象关于直线x a对称推论3:函数y f (

7、 x)与y f (2a x)图象关于直线x a对称抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1若函数y = f(x)关于直线x = a轴对称，则以下三个式子成立且等价：(1) f(a +x) =f(a -x) (2) f(2a -x) =f(x) (3) f(2a +x) =f( -x)性质2若函数y = f(x)关于点(a, 0)中心对称，则以下三个式子成立且等 价：(1) f(a +x) = f(a -x) (2) f(2a x) = f(x)(3) f(2a +x) = f(x)易知，y = f(x)为偶(或奇)函数分别为性质1 (或2)当a=0时的特例。2、复合函数的奇偶性定义1

8、、若对于定义域内的任一变量x,均有fg( -x) =fg(x),则复数 函数y = fg(x)为偶函数。定义2、若对于定义域内的任一变量x,均有fg( -x) = fg(x),则复 合函数y=fg(x)为奇函数。说明：(1)复数函数fg(x)为偶函数，则fg( x) =fg(x)而不是f g(x) = fg(x),复合函数 y=fg(x)为奇函数，则 fg( -x) = fg(x)而不 是 f g(x) = - fg(x)。(2)两个特例：y = f(x +a)为偶函数，则 f(x +a)=f( x+a)； y = f(x + a)为奇函数，则 f( x+a) = f(a +x)(3) y=f

9、(x +a)为偶(或奇)函数，等价于单层函数y = f(x)关于直线x=a 轴对称(或关于点( a， 0)中心对称) 3、复合函数的对称性性质3复合函数y = f(a +x)与y = f(b x)关于直线x= (ba) /2轴对称 性质 4、复合函数 y = f(a +x)Cy= f(b x)关于点(ba) /2 , 0)中心对称推论1、复合函数y=f(a +x)与y=f(a x)关于y轴轴对称推论2、复合函数y=f(a +乂)与丫= f(a x)关于原点中心对称 4、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y=f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y = f(x)是周期函数，

10、且2|a|是它的一个周期。 f(x + a) = f(x a) f(x + a) = f(x) f(x + a) = 1/f(x) f(x + a) = 1/f(x)5、函数的对称性与周期性性质5若函数y = f(x)同时关于直线x=a与x = b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T= 2|a -b|性质6、若函数y=f(x)同时关于点(a, 0)与点(b, 0)中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T= 2|a-b|性质7、若函数y=f(x)既关于点(a, 0)中心对称，又关于直线x = b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T= 4|a-b|6 、函数对称性的应用(1)若 y f(

11、x)关于点(h,k)对称，则 x x/ 2h,y y/ 2k,即f(x) f(x/) f (x) f(2h x) 2kf(xi) f(x2)f(xn) f (2h xn) f (2h x01)f(2h %) 2nk(2)例题ax1 11、f(x) a L 关于点(1)对称：f(x) f(1 x) 1;ax .a2 24x 1、，、 if (x) 5r丁 2x 1 关于(0,1)对称：f (x) f( x) 2f(x) ( R,x 0)关于(：=)对称：f (x) fd) 1x 12 2x2 、奇函数的图像关于原点(0, 0)对称：f (x) f( x) 0。3 、若f(x) f(2a x)或f

12、(a x) f(a x),则y f(x)的图像关于直线x a对称。设f(x) 0有n个不同的实数根，则x1x2xnx1(2ax1)x2(2ax2)xn(2axn)na.22(当 n 2k 1时，必有 x1 2a x1,x1 a)(四)常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论1、f(x T) f (x)( T 0) y"*)的周期为丁，kT( k Z)也是函数的周2、 f(x a) f(x b)3、 f(x a) f (x)yf(x)的周期为T b ayf(x)的周期为T2a4、f (x a)1f(x)y f(x)的周期为T 2a5、 f(x a)y f (x)的周期为T 2a6、

13、 f (x a)1 f(x)1 f(x)y f(x)的周期为T 3a7、 f (x a)1f(x) 1y f(x)的周期为T 2a8、 f (x a)1 f(x)1 f(x)y f(x)的周期为T 4a9、f(x 2a) f (x a) f(x)y f(x)的周期为T 6a10、若 p Qf(px) f (px -P),则T -P.11、yf(x)有两条对称轴 x a 和 x b (b a)y""f(x)周期 T""2(b a)推论：偶函数 yf(x)满足f(a x) f (a x) y f(x)周期T 2a12、 y f (x)有两个对称中心(a,0)

14、和(b,0) (b a) y f(x)周期T 2(b a)推论：奇函数 y f(x)满足f(a x) f (a x) y f(x)周期T 4a13、y f(x)有一条对称轴x a和一个对称中心(b,0) (b a) f(x)的T 4(b a)四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。1,求函数值例1.(1996年高考题)设£(刈是(，)上的奇函数，f(2 x)f(x)，当0 x 1时，f (x) x ,则 f (7.5)等于(-0.5 )(A)

15、 0.5;(B) -0.5;(C) 1.5;(D) -1.5.例2. ( 1989年北京市中学生数学竞赛题)已知 f(x)是定义在实数集上的函数，且f (x 2)1 f (x)1 f(x), f (1) 2 73,求 f (1989)的值.f (1989) 33 2。2、比较函数值大小1例3,若f (x)(x R)是以2为周期的偶函数，当 x 0,1时，f (x) x丽，试比较101104、f(101), f(104)的大小.1715解:f (x)(x1161R)是以2为周期的偶函数，又 f(x) x礴在0,1上是增函数，且17 19 153、求函数解析式1f(一) f1714101碍),即“

16、¥f(98) f(-).1915例4.(1989年高考题)设f(x)是定义在区间()上且以2为周期的函数，对2._,x2.求f (x)在Ik上的.、2x I0 时，有 f(x) xf (x)是以2为周期的函数,k Z,用Ik表示区间(2k 1,2k 1),已知当x I。时，f (x)解析式.1 x 2k 1解：设 x (2k 1,2k 1), 2k 1 x 2k 12由 1 x 2k 1 得 f(x 2k) (x 2k)f(x 2k) f (x), f (x) (x 2k)2.例5 .设f(x)是定义在(，)上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区2间 2,3 上，f (x)

17、2(x 3)4.求 x1,2 时，f(x)的解析式.解：当 x 3, 2 ,即 x 2,3 ,2_ 2f (x) f( x) 2( x 3)42(x 3)4又f(x)是以2为周期的周期函数，于是当 x 1,2 ,即 3x42时，有 f(x)f(x 4)22f (x)2 (x 4) 342(x 1)2 4(1 x 2).f (x)2(x 1)2 4(1 x 2).4、判断函数奇偶性例6.已知f(x)的周期为4,且等式f(2 x) f(2 x)对任意x R均成立，判断函数f(x)的奇偶性.解：由f(x)的周期为4,得f (x)f(4 x),由f(2 x) f(2 x)得f( x) f (4 x)

18、, f( x)f (x)，故 f(x)为偶函数.5、确定函数图象与x轴交点的个数例7.设函数f(x)对任意实数x满足f(2 x) f(2 x), f(7 x)f (7 x)且f(0) 0,判断函数f(x)图象在区间 30,30上与x轴至少有多少个交点解：由题设知函数 f(x)图象关于直线x 2和x 7对称，又由函数的性质得f(x)是以10为周期的函数.在一个周期区间 0,10上,f (0) 0, f(4)f(2 2) f (2 2) f (0) 0且 f(x)不能恒为零故f (x)图象与x轴至少有2个交点.而区间 30,30有6个周期，故在闭区间30,30上f(x)图象与x轴至少有13个交与

19、八、.6、在数列中的应用1 a例8.在数列 an中，a1<3,an 一an(n 2),求数列的通项公式，并计算1 an 1a1997 -分析：此题的思路与例 2思路类似.解：令a1 tg ,则a21a11tg1a11tga31 a21 a?1 tg()41 tg(7)4tg(2 7an 1tg (n 1) 一 ，于是an 1-a tg (n 1) 41 an 14不难用归纳法证明数列的通项为：antg(-n )，且以4为周期.44于是有1, 5, 91997是以4为公差的等差数列，a1a5a9a1997 ,由 1997 1 (n 1) 4 得总项数为 500 项,a1a5 a9 a199

20、7 500 a1500 3.7、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第9292天是星期几？分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可9292(911)92C 0 9192C1 9191c90 9 1 2C9191 1()C 92。92C 92C 929292(7 13 1)92 C2(7 13)92 C92(7 13)91C.92)(7 13)2C：；(7 13) 1因为展开式中前 92项中土有7这个因子，最后一项为1,即为余数，故9292天为星期四.8、复数中的应用例10.(上海市1994年高考题)设z2i(i是虚数单位)，则满足等式zn2z,且大于1的

21、正整数n中最小的是(A) 3;(B) 4; (Q 6; (口 7.1 . 3 .分析：运用z 上一i方哥的周期性求值即可.2 2解：zn乙 z(zn1 1) 0 zn11,z3 1, n 1必须是怎勺倍数，即n 1 3k(k N),n 3k 1(k N).k 1时,n最小，(n)min4.故选择(B)9、解“立几”题A出发，沿棱向前爬行，每走例11.ABCA A1B1C1D1是单位长方体，黑白二蚁都从点一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是 AA1A1D1,黑蚁爬行的路线是ABBB1.它们都遵循如下规则：所爬行的第i 2段所在直线与第i段所在直线必须是异面直线(其中i N).设黑白二蚁走完第

22、1990段后，各停止在正方体的某个 顶点处，这时黑白蚁的距离是(A) 1;(B) <2 ； (C)百;(D) 0.解：依条件列出白蚁的路线 AA1 A1D1 D1cl C1C CBBA AA1，立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期1990=6 331 4 ,因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出 在走完四段后黑蚁在D1点，白蚁在C点，故所求距离是 J2.例题与应用例 1: f(x) 是 R上的奇函数 f(x)= f(x+4), xC0 , 2时 f(x)=x ,求 f(2007) 的值例2:已知f(x

23、)是定义在 R上的函数，且满足 f(x+2)1 f(x)=1+f(x), f=2 ,求f(2009) 的值。故 f(2009)= f(251 X8+1)=f(1)=2例3:已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x),且当x 2,0时，f(x尸一2x+1，则当x 4,6时求f(x)的解析式例4:已知f(x)是定义在 R上的函数，且满足 f(x+999)=- , f(999+x)=f(999 f (x)试判断函数f(x)的奇偶性.2,0时，f(x)是减例5:已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x),且当x函数，求证当x 4,6时f(x)为增函数例 6: f(x)满

24、足 f(x) =-f(6-x), f(x)= f(2-x),若 f(a) =-f(2000) , a 5 , 9且 f(x)在5 , 9上单调.求a的值.例 7:已知 f(x)是定义在 R上的函数，f(x)= f(4 x), f(7+x)= f(7 x),f(0)=0 ,求在区间1000, 1000上f(x)=0至少有几个根？解：依题意f(x)关于x=2, x=7对称，类比命题 2 (2)可知f(x)的一个周期是10故 f(x+10)=f(x)f(10)=f(0)=0 又 f(4)=f(0)=0即在区间(0, 10上，方程f(x)=0 至少两个根又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两

25、个根， 因此方程f(x)=0在区间 1000, 1000上至少有1 + 2 "00 =401个根.10例1、函数y = f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y= f(x +4)与丫 =f(6 x)的图象之间(D )A.关于直线x = 5对称B.关于直线x=1对称C.关于点(5, 0)对称D.关于点(1,0)对称解：据复合函数的对称性知函数 y= f(x +4)与y=f(6 x)之间关于点(6 4) /2, 0)即(1, 0)中心对称，故选Do (原卷错选为C)例2、设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x=1对称，证明f(x) 是周期函数。(2001年理工类第22题)例 3、设

26、 f(x)是(一00, +oo)上的奇函数，f(x +2) = f(x),当 00x&l 时f(x) =x,则f(7.5)等于(-0.5 ) ( 1996年理工类第15题)例4、设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10 +x) =f(10 -x) , f(20 x) = f(20 +x),则 f(x)是(C )A.偶函数，又是周期函数 C.奇函数，又是周期函数 六、巩固练习1、函数y=f(x)是定义在实数集f(6 -x)的图象()。A.关于直线x=5对称C.关于点(5, 0)对称2、设f(x)是(一8, +OO)上的奇函数,f(x) =x，则 f(7.5)=()。A. 0.5B.B

27、.偶函数，但不是周期函数D.奇函数，但不是周期函数R上的函数，那么 y= f(x +4)与丫 =B.关于直线x = 1对称D.关于点(1,0)对称f(x +2) = f(x),当 0WxWl 时,0.5C. 1.5D. - 1.53、设f(x)是定义在(一8, +oo)上的函数，且满足 f(10 +x) =f(10 -x),f(20 -x) =- f(20 + x),则 f(x)是()。A.偶函数，又是周期函数B.偶函数，但不是周期函数C.奇函数，又是周期函数D.奇函数，但不是周期函数4、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x=1对称，证明f(x)是周期函数。参考答案：D, B, C, T=

28、2O5、在数列xj 中，已知 Xix2 1, xn 2 xn 1*仙 N*),求 00=-1 .、选择题(每题 5分，共40分)1.定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是x 0,一时,2f (x) cosx ,则f(5_)的值为A.B.C.D.2.偶函数y= f(x)满足条件f(x+ 1) =f(x1),且当 x -1,0时，f(x) =3x+4,9f( 10g1 5)的值等于(3A.B 29B.50C.101454 .设fx是定义在R上的奇函数且当x 0时，2f x x .若对任意的x a,a 2 ,不等式f x a f<2x恒成立，则实数a的取值范围

29、是A. a 05.函数f(x)=1，一1的最大值是(1 x(1 x)A. 45B. 54C. 436.已知f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当D.-4(0,当时,2f(x).2ln(x x 1),则函数f (x)在区间0,6上的零点个数是A. 3f(x)一一 5x f(x) 2x 1 x f(-)1114 4 22、8.若函数/)1o-xrx是偶函数，则常数a的取值范围是A. a 1或a 1B. a 1C. 1 a 1D. 0 a 1x 2 a28 x 3a9 .已知a为参数，函数f(x) (x a)3 (x a)3 是偶函数，则a可取值的 集合是()A. 0,5B. -2,5 C .

30、 -5,2D. 1,200910 .已知yf(x)是偶函数，而 y f (x 1)是奇函数，且对任意0 x 1 ,者B有51 .f (x) 0,则 a f (2010), b f(-),cf(-)的大小关系是()42A. bcaB. cba C. acbD. abc二、填空题(每题 6分，共36分)11 .已知 f(x) 3ax 1 2a 在1, 1上存在 x0(x01),使得 f(x0)=0,则 a 的取值范围是；12 .设f(x)是定义在R上的奇函数，当xW0时，f(x)=2x2 x,则f(1).13 .函数f(x)是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数，f( 1) 0,且对任意实数x12

31、011都有 xf(x 1) (1 x)f(x),则 f(0)f (-) f (1) L f ()的值是22114 .若f (x) a是奇函数，则实数 a3x 115 .若函数f(x) x2 x a为偶函数，则实数a 一 一2x 16 右 f(x) lg( a)(a R)是奇函数，则 a=.1 x17.对于偶函数f(x) mx2 (m 1)x 2 x 2,2,其值域为 ；三、解答题(15-18题每题11分；19、20各15分；共74分)1 x18.已知 f (x) lg .1 x(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断并证明函数 f(x)的奇偶性；411一一一一(3)若一a ,试比较 f(a)f

32、(a)与f(2a)f(2a)的大小.22 2x b19.(本小题满分14分)已知定义域为 R的函数f (x)21 b是奇函数2 a求函数f(x)的解析式；判断并证明函数 f(x)的单调性;若对于任意的t R ,2_2不等式f (mt 2t) f(1 t ) 0恒成立,求m的取值范围.20.（本小题12分）f (x) 4已知函数a 11 / c(a 0,a1,b R）是奇函数，且f（2）(1)求a, b的值;(2)用定义证明f（x）在区间（0，）上是减函数.已知：f X是定义在区间1,1上的奇函数，且f 11 .若对于任意的m, n1,1 ,m nf0时，都有一0.(1)解不等式f x(2)若f

33、 x t2 2at 1对所有x22.（本小题满分14分）f（x）之已知奇函数 p px 1求 f (x)的解析式；令 anTin)1,1 ,a1,1恒成立，求实数t的取值范围1有最大值2 ,且f(1),其中实数a 0,b是正整数.,证明an 1 an（n是正整数）.参考答案1 . C【解析】且可知f (x)的可 知1 ，一 »一,故可知答2试题分析：根据题意，由于定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数, 最 小 正 周 期 是， 那 么f (-) f ( + ) =f () =- f (-) =-f ( -) =-f( ) =- cos 3 =333333案为C考点：函数的奇

34、偶性以及周期性点评：主要是考查了函数的性质的运用，属于基础题。2 . D【解析】试题分析：根据题意，由于偶函数y=f(x)满足条件f(x +1)=f(x 1),说明函数的周期为 2 , f(-x)=f(x) 当 x C 1,0时，f(x) = 3x + -9则对于 log 1 5=-1og 3 53f( 10gl 5)=f(2+ 10gl 5 )=f(2-考点: 点评: 3. Alog 3 5 )=3 log3 5 + -4 =1 故可知答案为 D.函数的奇偶性主要是考查了函数的奇偶性以及函数解析式的运用，属于基础题。【解析】由于函数为偶函数又过(0, 0)所以直接选 A.【考点定位】对图像的

35、考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题4. B【解析】试题分析：利用“排除法" 。a=0时，f(x a) f (x) x2,f(J2x) 2x2, x 0,2不等式f x a f v12x不恒成立；排除A,D。a=1 时，f (x a) f (x 1) (x 1)2,f(J2x) 2x2 , , x 1,3不等式f x a f v12x不恒成立，排除C,故选Bo考点：函数的奇偶性，二次函数的图象和性质。点评：中档题，本题综合考查函数的奇偶性，二次函数的图象和性质，利用“排除法”，简化了解题过程。 5. C.，一，一11一，一【解析】因为函数 f (x)=-,利用二次函

36、数的性质可知，分母的最1 x(1 x) x x 1小值为3 ,那么所求的最大值是 4 ,选C436 . D【解析】:当 x C (0, 1.5 )时 f (x) =ln (x2-x+1 )，令 f (x) =0,贝U x2-x+1=1 , 解得x=1,又函数f (x)是定义域为 R的奇函数，(0) =0.在区间 e -1.5 , 1.5上,f (-1 ) =-f (1) =0, f .f (1.5) =f (-1.5+3 ) =f (-1.5 ) =-f (1.5),f (-1 ) 又.函数 则方程f 共9个.7. (A)=f (1) =f (0) =f (1.5 ) =f f (x)是周期为

37、3的周期函数, (x) =0在区间0 , 6上的解有(-1.5 ) =00,1, 1.52, 3, 4, 4.5 , 5, 6,【解析】f(x)是周期为2的奇函数,f( 2)51f(2)f(2 2)f(2)又，当 0W XW1 时，f (x)2x 1f( 2)1()22故选(A)(12)8. B【解析】9. C【解析】10. A【解析】11. (15【解析】,+00) U (00,1)试题分析：根据题意，由于f(x) 3ax1 2a在1, 1上存在x0(x01),使得f(xo)考点:点评:2a-12a-1 1, a的取值范围是(3函数的零点主要是考查了函数零点的运用,+8)UI ( OO, 1

38、)。属于基础题。=0,那么可知3ax+1-2a=0,x=2a-1 ,在区间1, 1上，则根据题意，312. 3【解析】试题分析：因为，f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)是定义在R上的奇函数,所以，f(1) f( 1)2( 1)2 ( 1)3f(-x) =-f(x)考点：函数的奇偶性点评：简单题，奇函数应满足：定义域关于原点对称,13. 0【解析】(1+x) f (x)结构来看，要用递推的方法,试题分析：根据题意，函数f(x)是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数从xf (x+1)=先用赋值法求得f( - )=0，再由f( - )=f( - +1)222依此求解.即又xf(x 1)依次可知赋

39、值得到(1f(一 *1 一，x) f (x),令 x=- _ ,可知 f(21 )=0 , - f( - )= f(-),222-)=f(3 +1)=0 ,由 于 f(1)=0-f(-1),22那么可知这类问题关键是将条件和结1 ,1方一a 0,所以a -。30 12点评：若f (x)是奇函数，且在x=0时有定义，则f(0)一定为0.做题时一定要灵活应用此12011 f (0) f (-) f(1) L f ()的值为 0.22考点：函数奇偶性和递推关系式 点评：本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值, 论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律.14-2试题分析：因为f(x)=0

40、且定义域为R,所以f(0)=0，所以f(0)= 考点：本题考查奇函数的性质。性质。15. 0【解析】因为函数 f (x) x2x a为偶函数，那么利用定义可知a=0.16. -1【解析】本题考查了函数的奇偶性。解：f(x)为奇函数一一 一 2x2xf ( x) f (x)即：lg( a) lg(1 x1 x11 x1 xa)a (a 2)x1 x-即(1 x) (1 x)1 x a (a 2)xa (a 2)x a (a 2)x-222 21 x a (a 2) xa2 1(a 2)2解得:117. 2,2【解析】，.118. (1) (-1 , 1) (2)奇函数(3)当 0 a 一时，f

41、(2 a) f(2a)>f(a) f ( a)； 2当 a 0时，f (2a) f( 2a)= f(a) f ( a);1 一一 一一当 一a 0 时，f (2a)f( 2a)< f(a)f(a)2【解析】 试题分析：解(1)函数f(x)的定义域为(-1,1).1 x1 x2 2) f( x) lg-lg-f(x),1 x1 x. f(x)是奇函数.1x21 x11x21 x1(3)设 1x2x11 ,则22x1x2(1 )(1 )212 0,1x21x1(1x1 )(1x2)1 x21 x21x11x21， lg 21x11x2lg/，即 f(x2)f (x1)，函数f (x)在

42、(-1,1)上是减函数.由(2)知函数f (x)在(-1,1)上是奇函数， f(a) f( a) = 2f(a), f(2a) f( 2a) 2f(2a),1.当 0 a 1 时，2a a,则 f(2a)> f(a) , f (2a) f(2a)>f(a) f(a)； 2当 a 0时，f(2a) f( 2a)= f(a) f( a)；1 一一 一一当 一a 0 时，f (2a)f( 2a) < f(a)f(a).2考点：对数函数点评：函数的单调性对求最值、判断函数值大小关系和证明不等式都有较大帮助。2x 119. (1) f (x) 一-一(2)减函数，证明见解析(3) m 22x 1 2试题分析：f(x)为奇函数，f(0) 0, f ( 1)f(1)即 1-b-2 a1 b 0,41 a解得a2,b 1. ,2x 1所以f(x) -2-一-,检验得 f( x) f(x),满足条件 2x 2分f(x) 2x 111为R上的减函数2(2x 1) 2x 1 2证明：设x1 x2