指数函数题型汇总

1、v1.0可编辑可修改指数函数指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨.1 .比较大小例1已知函数f(x) x2 bx c满足f(1 x) f(1 x),且f(0) 3 ,则f (bx)与f (cx)的大小关系是 .分析：先求b, c的值再比较大小，要注意 bx, cx的取值是否在同一单调区间内.解： f (1 x) f (1 x),:函数f (x)的对称轴是x 1 .故 b 2 ,又 f(0) 3, c 3 .:函数f (x)在 /上递减，在1, OO上递增.

2、若 x>0 ,则 3x>2x>1 , . . f (3x) > f (2x)；若 x 0 ,则 3x 2x 1 ,f(3x) f (2x).综上可得 f(3x)> f(2x),即 f(cx)> f (bx).评注：比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论.2 .求解有关指数不等式23x 21 x例2已知(a 2a 5) (a 2a 5),则x的取值范围是 .分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围.22解： a 2a 5 (a 1)4> 4 1 ,:函数y (a2 2

3、a 5)x在(°°, oo)上是增函数，1 1 3x 1 x ,解得x - . ：x的取值范围是 一，8 4 4评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论.3.求定义域及值域问题例3求函数y 由 6x 2的定义域和值域.解：由题意可得1 6x 2>0 ,即6x 2 0 1 ,x 200,故*02. :函数f(x)的定义域是8,2令 t 6x 2 ,贝！J y 1T1 ,又 xW2, ：x 2< 0. - 0 6x201,即 0 t< 1 . 0< 1 t 1 ,即

4、 00 y 1 .:函数的值域是 0,1 .评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响.4.最值问题 2x x例4函数y a 2a 1(a 0且a 1)在区间1,1上有最大值14,则a的值是.分析：令t ax可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t的取值范围.x2x x2解：令t a ,则t 0 ,函数y a 2a 1可化为y (t 1)2 ,其对称轴为t 1 .;当 a 1 时，: x1,1 ,W ax & a ,即W t W a . aa2当 t a 时，ymax (a 1)2 14.解彳I a 3或a 5 (舍去)；当 0 a 1 时，x1,1 ,.1 一

5、1a< a < - , W a < t < , aa21 ,1t 时，Ymax - 12 14，aa111斛彳寸a 一或a (舍去)，：a的值是3或一. 353评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等.5 .解指数方程例5解方程3x 2 32 x 80 .解：原方程可化为9 (3x)2 80 3x 9 0,令t 3x (t 0),上述方程可化为9t2 80t 9 0,解得t 9或t 1 (舍去)，93x 9 , : x 2 ,经检验原方程的解是 x 2 .评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根.6 .图象变换及

6、应用问题8- 12 -6为了得到函数y 9A.向左平移9个单位长度,再向上平移5个单位长度B.向右平移9个单位长度,再向下平移5个单位长度C.向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度D.向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度xx .35的图象，可以把函数 y 3的图象（）.分析：注意先将函数y 9 3x 5转化为t 3x 2 5 ,再利用图象的平移规律进行判断.解：y 9 3x 5 3x 2 5,：把函数y 3x的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数y 9 3x 5的图象，故选（C）.评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，

7、所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变 化规律，比如：平移、伸缩、对称等.习题1、比较下列各组数的大小:(1)(2)(3)若黑>事 >0> , 并"A 0=c > 0 苦金 > 占 > 0=c < 0，比较小与承；，比较小与/;(4)若"力已0,3,工内>0，且，比较a与b；(5)若凡北1）4八0 ,且疗解：（i）由鼻, 1-e （0 J）P 二，故工，此时函数为减函数.由,故(2)a>b>0 巴 > 1，故5 ,又a.(3)a -> 1，因值，故 .又亡亡。,故U,从而相C(4)屋1应有值七白.因若

8、厘之小，则8.又彝二0>1这样小之力.又因工>”1口1 ,修.从而这与已知产矛盾.-.<1（5）应有窕,占.因若修£力，则方,从而次,）占，这与已知辞“ =*'矛盾.>1，这样有小之".又因,且be 3D ,故小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解. a <b <<c <da <b < <d <cCQ b <a <<c('：.:.；.分析：首先可以根据指数函数单调性，确定广Ld > lr0 <a <1,0<1K二1 ,对应的函数值

9、由小到大依次为bad* ,故应选(白).小结：这种类型题目是比较典型的数形结合的题目，第(1)题是由数到形的转化数的翻译，它的主要目的是提高学生识图，用图的意识.求最值 3求下列函数的定义域与值域.1(1)y=2x3； (2)y=4x+2x+1+1.111解：(1) -.-3 0,y=2 x 3 的定义域为 x | xG R且 x，3.又丁 ，0, ： 2 x 3 1,x 31:y= 2 x 3 的值域为 y | y>0 且 y，1.(2)y =4x+2x+1+1 的定义域为 R. -2x>0, ： y = 4x+2x+1+1 = (2 x) 2+2 2x+1 = (2 x+1)

10、2>1.：y=4x+2x+1+1 的值域为 y | y>1.4已知-1 < x< 2,求函数f(x)=3+2 - 3x+1-9x的最大值和最小值. .一 ，一,J 一2. 一解：设 t=3，因为-1 <x<2,所以一 t 9,且 f(x)=g(t)=-(t-3)+12，故当 t=3 即 x=1 时，f(x)取最大值 12,当 t=9 即 x=2 时 f(x)取3最小值-24。5、设0三2，求函数9 = 4-3- 2 +5的最大值和最小值.4* _一 P* -/二针一班+ 1分析：注意到J 一1 J ，设上二"，则原来的函数成为上,利用闭区间上二次函

11、数的值域的求法，可求得函数的最值.解：设2 =爆，由OWn三2知，1二江三44r1衿）J家,一九二5,函数成为 2,对称轴口二3名L4,故函数最小值为-3 3+5=-2,因端点=1较廿=4距对称轴躇=3远，故函数的最大值为 2-31,+5 = 22 .6 （9分）已知函数a2x 2ax 1(a1)在区间1,1上的最大值是14,求a的值.解： y a2x2ax 1(a 1),换元为 y t22t1、1(t a),对称轴为t 1.at a ,即x=i时取最大值，略解彳导a=3 （ a= 5舍去）7.已知函数/三/一名“2（"口且由Ml（1）求/的最小值;（2）若/° ,求工的取

12、值范围.二丁=M* 一 %* +2 = g 一1 -.解：(1)',24有最小值为4(2)解得1 <ar <2当白 >1 时，1 咕。2r >0 .当时，四口2<.工,二08 （10分）（1）已知 f （X）2 m是奇函数，求常数mt勺值;3X 1（2）画出函数y |3x1 |的图象,. .X.并利用图象回答：k为何值时，方程|3 一 1 I解有一解有两解解：（1）常数m=1（2）当k<0时，直线y=k与函数y |3x1|的图象无交点，即方程无解；当k=0或k 1时，直线y=k与函数y| 3X1 |的图象有唯一的交点,所以方程有一解当0<k&l

13、t;1时，直线y=k与函数y |3x 1 |的图象有两个不同交点，所以方程有两解。KM六十口9,若函数2是奇函数，求应,解：:，为奇函数，二/（一力二m1 1的值.2a 则1 " 1 _ _1 2*10.已知+9< 0,求函数y= ( 1)41-4 （ 1） x+2的最大值和最小值2x-解：由已知得（3、）2-10 - 3x+9< 0得(3、-9) (3、-1 ) < 0 ( 1 ) x+221< 3x<9 故 0Wx022x A-4而 y=( J_)x-1-4 ( 1) x+2= 41)则 y=f (t)=4t2-4t+2=41)2+12当 t= 1

14、即 X=1 时，ymin=12当 t=1 即 X=0 时，ymax=2卢 11已知v= f-)r,求函数 2的值域.解：由 4得/ 匕上求函数的值域为即/十工E4-2工，解之得70了01 ,于是< y <16，即2 ',故所x2 2x 212. （9分）求函数y 2的定义域，值域和单调区间定义域为R值域（0, 8。（3）在（-8, 1上是增函数在1, +00）上是减函数。x2 3x 2-113求函数y=-的单调区间.3分析 这是复合函数求单调区间的问题uu1。1. 一 ,可设y= ,u=x-3x+2,其中y= 一 为减函数33u=x2-3x+2的减区间就是原函数的增区间 （

15、即减减-增）u = x2-3x+2的增区间就是原函数的减区间 （即减、增-减）u,一 一 1，解：设y= ,u=x-3x+2,y 关于u递减，3当xC（-8, 3）时，u为减函数，2：y关于、为增函数；当xG 3, +8）时，u为增函数，y关于、为减函数.21口一(a>0 且 a 2 1).1xa14 已知函数f(x)=xa求f（x）的定义域和值域；（2）讨论f（x）的奇偶性；（3）讨论f（x）的单调性.解：（1）易得f（x）的定义域为 x | xG Rx、 a设y=xa1-1,解彳导ax1匕: ax>0当且仅当-上>0时，方程有解.解-上>0得-1<y<1

16、.y 1y 1y 1：f(x)的值域为 y |-1 <y< 1.x f(-x) = a axa f = -f(x)口JE义域为 R,. f(x)是奇函数.ax(3)f(x) = (a * "-2 = 1- 一 ax 1 ax1 0当a>1时，: ax+1为增函数，且ax+1>0.一为减函数，从而f(x)11-： xa1 , ,为增函数.2 °当0<a<1时，类似地可得f(x)ax 1a1为减函数.ax 115、已知函数f (x) =a2(ae R),(1)求证：X任何 ae R,f (x)为增函数.(2)若f (x)为奇函数时，求a的值。

17、(1)证明:设 X1< X2f (X2)-f(X1)(12(2x2 2x1)>02x1)(12x2)故对任何ae R,f (x)为增函数.(2)(x)为奇函数f(0)0得到a 116、定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期为2,且x (0,1)时,2x f(x)41(1)求f(x)在1, 1上的解析式；(2)判断f(x)在(01)上的单调性;(3)当 为何值时，方程f(x) =1,1上有实数解.解(1) x GR上的奇函数f(0)又丁？为最小正周期 f (1)f(2 1)设 xe (1, 0),贝 Uxe (0, 1)f(x)f( 1)2 x4 x 1f(1)2xf (x) f(x)2x4x 1(f(x)2x24x 10(-1,0)设-1,0,10<x1<x2<1f(x1) f(x2)(2x12x2)(2xx 2x22x2 2x1(4x11)(4 x21)2x= (2x