数列求和—裂项相消专题

1、数列求和一裂项相消专题裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达 到求和的目的.常见的裂项相消形式有：1.111n(n 1) n n 111 11-( )n(n 2)2 n n 21(* 1 k n1an n(n k)p（分母可分解为n的系数相同的两个因式）2An2 Bn C2.an1(2n 1)(2 n 1)112(2n 1an1(2n 1)(2n 3)11(_2 2n 1an1(6n 5)(6 n 1)11(6 6n 512n 1)12n 3)6n 1n 1n(21)(21)11113. an - n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(

2、n 2)4.2n 1an2n(2n 1)(2n+1 1)112n 1 2n+1 111n 1nn 2 (n 1)2n 22(n 1) n 1n(n 1)2nn(n 1)2n1.在数列an中，ann 1，Kbnan an 1,求数列bn的前n项的和.12.已知数列 an是首相为1,公差为1的等差数列，bn , Sn为bn的前n项和,an an 21 3证明：1 Sn 3.3423.等比数列 an各项均为正数，且 2ai 3a2 1,% 9a2a6,(1)求an的通项公式; 设 bnlog 3 ai log 3 a2log 3 an ，1bn的前n项和.11.4.设数列 an满足a10且1,1 a

3、 n 11 a n(1)求an的通项公式；51an 1n、r/设 bn ，记 Snbk ,证明：Sn 1.n5 .(安徽江南十校2015联考)已知各项为正数的数列an满足:an 2 2Janan2 4an 1 an(n N ),且 a1 1冏 4 ,(1) 证明：数列 J07是等差数列；(2) 设bn 2n，bn的前n项和为Sn,求证：0 1 . anan 16 .已知等差数列 an的前n项和为Sn,公差d 0,S5 4a3 6,且a1，a3,a9成等比数列,(1)求数列 an的通项公式；1 (2)求数列的前n项和Tn.7 .等差数列 an 中，a1 a36,a1121,(1)求数列an的通项

4、公式；设 bn 1，求 Sn bi b2bn.n(an 3)8 .(2010山东)已知等差数列an满足：a3 7,a5 a726, an的前n项和为Sn,(1)求 an 及 Sn；一人1(2)令bn (n N ),求数列 bn的前n项和Tn.an 19. (2013全国1)已知等差数列an的前n项和为Sn,满足S3 0,S55(1)求an的通项公式；1， 一(2)求数列的刖n项和.a2 n 1a2n 110.(2013 江西)正项数列 an 满足：a； (2n 1)an 2n 0,(1)求an的通项公式；1(2)令bn ,求数列bn的前n项和Tn .(n 1)an11.(2017全国3)设数列

5、an满足a1 3a2(2n 1)an 2n(1)求an的通项公式；(2)求数列 an的前n项和.2n 112. (2015安徽)已知数列 an是递增的等比数列，且 a1a4 9, a2a38,(1)求an的通项公式;、一a 设Sn为数列an的前n项和，bn,求数列SnSn1bn的前n项和.13. (2014贵州适应性训练)已知数列an是等差数列,2,a2,a3,a4 1成等比数列,(1)求an的通项公式;,、-2，一.设bn ,求数列 bn的前n项和Sn.n (an 2)14. (2013大连育明高中模拟) 已知数列 an是各项均不为0的等差数列，公差为d, Sn为211其前n项和，且满足a2 S2n 1(n N ),数列bn满足b ，为数列bn的 an an 1前n项和，(1)求 a1，d 和 Tn;(2)是否存在实数，使对彳E意的(n N ),不等式Tn n 8恒成立？若存在，请求出实数 的取值范围；若不存在，说明理由.15. Sn为数列an的前n项和，已知Bn0,a2 2an 4Sn 3,(1)求an的通项公式；(2)设bn ，求数列 bn的前n项和. anan 116.已知等比数列 斗 的公比q 1, a1和a4的等比中项为373, a2和a3的等差中项为6,数列 bn 满足 bnlog3(35n 4 an)(n N