高考数学经典常考题型第66专题直线与圆位置关系

1、第66专题训练 直线与圆位置关系一、基础知识：1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆2、圆的标准方程：设圆心的坐标C(a,b),半径为r,则圆的标准方程为2,22x -a - y -b = r3、圆的一般方程：圆方程为x2 + y2 + Dx + Ey + F = 022 .x ,y的系数相同(2)方程中无xy项2 _ 2 对于D,E,F的取值要求：D +E -4F >04、直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：(1)几何性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径为r ,圆心到直线的距离为 d，则：当r >d

2、时,直线与圆相交当r =d时,直线与圆相切当r <d时,直线与圆相离(2)代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆的方程，再判断解的个数。设直线：Ax + By +C =0,圆：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ,则：By C = 02y2 Dx Ey F消去y可得关于x的一元二次方程=0，考虑其判别式的符号,0,方程组有两组解，所以直线与圆相交；：=0,方程组有一组解，所以直线与圆相切.一二0，方程组无解，所以直线与圆相离 5、直线与圆相交：弦长计算公式：AB = 2 AM = 2“-d26、直线与圆相切(1)如何求得切线方程：主要依

3、据两条性质：一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆心到切线的距离等于半径例:已知圆的方程为：x2 +y2 =4及圆上一点P(1, J3 )求过P的圆的切线3万法一：利用第一条性质：kOP = J3，所以可得切线斜率 k =3.切线方程为：y -73 =.3(x -1 )整理后可得方法二：利用第二条性质：设切线方程l为：y-J3 = k(x-1)3V3 - k即 kx -y +J3-k _ dO_L =r =2,k21解得：k =整理可得：3k2 +2底 +1 =0= (V3k +1 j = 0 .l ： y -、3 = - 9 x -1 = % 3x y = 4(2)圆上点的切线结论：2222

4、圆x +y =r上点P(x0, % )处的切线万程为x0x+y0y = r 圆(xa 2+(yb )2 =r2上 点 P(x0,y0)处 的切线 方程为2x-a x0 - a y -b y° -b =r(3)过圆外一点的切线方程(两条切线):可采取上例方法二的做法，先设出直线方程，再利用圆心到切线距离等于半径求得斜率，从而得到方程。(要注意判断斜率不存在的直线是否为切线) 7、与圆相关的最值问题已知圆C及圆外一定点P ,设圆C的半径为r则圆上点到P点距离的 最小值为 PM|=|PC-r,最大值为 PN| =| PC|十r(即连结PC并延 长，M为PC与圆的交点，N为PC延长线与圆的交

5、点(2)已知圆C及圆内一定点 P,则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦MN解:,弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为AB = 2jr2 _d2，若ab最小，则d要取最大，在圆中CP为定值，在弦绕P旋转的过程中,d <|CP，所以d = |CP时，AB最小已知圆C和圆外的一条直线l ,则圆上点到直线距离的最小值为PM =dc,r ,距离的最大值为 PN| =dc,+r (过圆心C作l的垂线，垂足为P,CP与圆C交于M，其反向延长线交圆C于N已知圆C和圆外的一条直线l ,则过直线l上的点作圆的切线，切线长的最小值为 PM解：|PM | = J|CP|2 r2，则若P

6、M最小,则只需CP最小即可，所以P点为过C作l垂线的垂足时，CP最小二过P作圆的切线，则切线长PM最短 8、圆与圆的位置关系：外离，外切，相交，内切，内含(1)可通过圆心距离与半径的关系判定：设圆。1,。2的半径为ri,2, OO2 = d d a r1 + r2 n 1 0102 外离d =r +r2 n L QO2外切 ri 一 L < d < ri + L = 0i。2 相交 d = r1 r2 = OiJ O2内切 d < r1 r2 = 1 0i,J O2内含(2)可通过联立圆的方程组，从而由方程组解的个数判定两圆位置关系。但只能判断交点的个数。例如方程组的解只有一

7、组时，只能说明两圆有一个公共点，但是外切还是内切无法直接判定。二、典型例题：22例i：已知直线ax + y - 2 = 0与圆心为C的圆(xi) +(y a) =4相交于A, B两点，且 l_ ABC为等边三角形，则实数a =()A .3 八.一 3B.1C. 1 或 73D.思路：因为ABC为等边三角形且 C为圆心，所以该三角形的边长为 2 ,由等边三角形的性质可知高为J3,即C到AB的距离为J3,由圆方程可得：C(1,a%所以利用点到直线距离公式可信：d C _ABa2 1=y13n (2a 2 j =3(a2 +1),解得答案:D2 一例2:圆心在曲线 y= (xa0)上，且与直线x2x

8、 + y + 1= 0相切的面积最小的圆的方程为A. x-1y-2B.x-2 y-1 =5C. x-1 y-2=25D.x-2 y -1 =25思路：不妨设圆心a,一I a，a > 0 ,半径为r ,因为直线与圆相切，所以有2a十2十1a=r ,若圆的面积最小,则半径最小，则r =2a + +1a122a - 15 .a-5 2 2 armin = J5,此时 a = 1所以圆方程一22为：x -1 y -2 =5答案：A例3：设点M (m,1 ),若在圆O :x22y =1上存在点N，使得/OMN=30 ,则m的取值范围是()A. |-,.3, /3B.C.1-2,2 1 D.思路：由

9、圆的性质可知：圆上一点T，与M,O所组成的角OMT，当MT与圆相切时，/OMT最大。所以若圆上存在点N,使得/OMN =30'，则/OMT之30'。由M(m,1)和x2 +y2 =1可知过M且与圆相切的一条直线为y =1,切点T(0,1),所以在直角三角形ot|73OMT 中，tanOMT =至-,从而 TM < 43n -v3 < m < v3TM|3答案:A22例 4：设 m, n w R ,右直线(m + 1)x +( n +1) y 2 =0W 圆(x 1) +(y 1) =1 相切，则m+n的取值范围是()a. 1 - .3,1.3b. 一二,1 一

10、 '.3 U 1 ,3,二C. 2 -2.2,2 2 .2D. -二,2 -2 ,2 U 2 2 j2, ,二思路：通过圆方程可知圆心C(1,1),半径r=1,因为直线与圆相切，所以|m + n2.2.24 f 一dC _l = /22=1= (m + n) =(m+1) +(n+1)，整 理 后 可m 1 i r n 1 之一 m 1 m 12，一，得：mn = m + n+1,BPn=,所以 m + n = m += m-1 + 2,进而由 对勾m -1m-1m-1函数“性质可知m n - 1：,2 -2、2 U 2 2:2, 二答案:D2小专题训练有话说：本题由于mw R,所以对

11、于m-1+ 2不能使用均值不等式，而要通m -1过换元转换为常见函数求得值域例5:若圆x2 + y2 -4x -4y -10 = 0上至少有三个不同的点到直线l : y = kx的距离为2近,则直线l斜率的取值范围是思路：本题的关键在于如何将“至少三个符合条件的不同的点”这个条件与k找到联系。通过22图像可知该条件与圆心到直线的距离相关。圆万程为：(x-2) +(y-2) =18，即圆心为(2,2 ),半径r =3质，作出图像可知若至少有三个不同的点到直线l距离为2 J2 ,则圆心到直2k22线的距离应小于等于 J2,所以dC=/wJ2,即解不等式：(2k-2) E2(k2+1),解,k2 1

12、得：k 2 - . 3,2,.3答案：2- 5,23例6:直线y =x +m与圆x2 + y2 =16交于不同的两点 M , N ,且Mn1|之J30M +ON',其中O是坐标原点，则实数m的取值范围是（）A. 一2收八 2U . 2,2 < 2B.-4,2, -2.2 IJ 2.2,4：. 2C"22 1D.-2 2,2 2思路：不妨设MN的中点为A ,则可知OM +,qn =2&从而MN之2 J3|OA ,在圆x2 + y2 = 16中，可知OA为圆心O到MN的距离，即弦心距。由圆中弦，半径，弦心距的关系:+OA2 =r2 =16，代入2+ OA W16,解

13、一 1可得：1 MN 2得：|OA M2,即 d0,N£2,所以mW卜2点,2拒答案:D27：在平面 直角坐标系 xOy中，已知圆C：X2+（y 3） =2,点A是x轴上的一个 动点,AP, AQ分别切圆C于P,Q两点，则线段PQ的取值范围是（A.B.亚,2©.3 )c.三23思路：如图设 AC, PQ交于M ,则有PQ =2 PM ,只需确认PM的范围即可，由圆方程可得r=J2,设/PCM =8，所以PMPMPC sin 日=V2sin日, 在 Rl PCA 中sin 二APACAC2 -r2ACAC2 11- aC2,下面确定AC 的范围。设可D.A(x,0 ),因为

14、C(0, 3 ,所以,2.2kx下面四个命题：AC2 = X年刊9, 十卡从而解得|PM 答案:B2. 2例8：已知圆M : (x+8峭)+( y sin8 ) = 1,直线l : y对任意实数k与e,直线l和圆M相切;(2)对任意实数k与日，直线l和圆M有公共点； 对任意实数6,必存在实数k ,使得直线l和圆M相切;对任意实数k ,必存在实数6,使得直线l和圆M相切.其中真命题的代号是 思路一(代数运算)：四个命题均和直线与圆位置关系相关 ，所以考虑圆心到直线的距离和半径 的大小关系：由圆 M 方程可知圆心 M(-c oes ,6s)i ,n半径为1,所以I -kc。佳 sin ,，、 2,

15、的大小关系，从而dM=I，为了便于计算，不妨比较dj与1,k2 1一有：dj-1(kcos9 +sin6 2 -k2 -1k2 cos2日+2sin 日 cos日 k+sin29一 k2 12sin k - cosik2 1k2 1k"!1-cos2 1 k2-2sin【cosr kr1-sin2ik2 1所以对任意的实数 k,e ,直线l和圆M有公共点，但不一定相切。故(1)错误(2)正确；(3)(4)2与相切有关，所以考虑diM_L=1,由上式可得：sinH -k=cos8，从而可得，对于任意的实数日,不一定会存在 k ,使得等式成立。例如 sin 8 = 0时，不成立；但对于任

16、意的k，总有,cosu 1k =-= -,使得成立，即直线与圆相切。所以(3)错误,(4)正确，综上所述，正确的是 sin 口tam(2)(4)思路二(数形Z合)：通过观察M (-cos0,sin6 ),可知M为单位圆上的点。则必有 OM = 1,又因为L M的半径为1,所以可得L M过原点。而直线l : y = kx过定点(0,0工所以直线与圆必有公共点。(2)正确。因为(0,0)在圆上，所以可知若直线与圆相切，则原点为切点，故切线也只有一条。所以(1)错误。对于(3)(4),通过前面的结论可知对于任意的一个圆M，均可过原点作出圆的切线。另一方面通过切线也可确定圆心。所以 (4)正确。而(3

17、)忽略了一种情况，当 圆心M位于x轴上时，此时切线为y轴，虽有切线但斜率不存在，所以不能表示为 y = kx的形 式。所以错误答案：(2)(4)例9：设A(1,0), B(0,1)，直线l : y =ax,圆C : (x a f + y2 =1.若圆C既与线段AB又与直 线l有公共点，则实数a的取值范围是 .思路：本题a的取值范围为两个条件的交集。先处理圆C与l有公共点：由圆方程可知圆的圆心2a为（a,0 ）,半径r =1 ,右圆与直线有公共点,则dC<1=> a4 < a2 + 1 ,解.a2 1因为该圆半径不变，圆心在x轴上移动，所以可根据a的符号进行分类讨论：a = 0

18、显然成立当a >0时，由图像可知圆心的最远端为在A的右侧且到 A的距离为1,即0<aM 2,当a<0时，可知圆最左端的位置为与线段AB相切的情况，AB : x + y 1 = 0，所以a -1dC _A B=:?=1,解得：a =1 J2。所以1 J2 E a < 0 ,综上所述：圆与线段AB有公共点1-72 <a <21 - /2 < a <答案：1 -也例10:已知 MBC的三个顶点 A(q，0), B(1, 0) , C(3,2),其外接圆为圆 (1)求圆H的方程；(2)若直线l过点C,且被圆H截得的弦长为2,求直线l的方程；(3)对于线段

19、BH上的任意一点P,若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M,N,使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围解：(1)思路：求圆的方程关键在于确定圆心坐标，条件中给了三个点，考虑两点所成线段的垂直平分线为直径(过原点),所以选择两组点，求出两条直径，即可解出圆心。在本题中抓住A(1,0),B(-1,0),关于y轴对称。从而得到圆心在y轴上，设其坐标为H(0,y)再根据BH = CH，即可解出y值。从而得到圆心坐标，然后计算半径即可得到圆的方程由MBC外接圆为圆H可得：H在AB垂直平分线上；A(1,0 B(1,0 )a H在y轴上 设H(0,y)；BH| =|CH : |BH 2 = CH

20、 2 = 1 + y2 =32 + (y 2)2，解得：y =3. H 0,3BH=10.1H :x2+(y-3j=10(2)思路：已知弦长和半径，可求出弦心距。直线过 C从而可设出直线方程，再利用弦心距解得直线方程即可 设 l:y-2 =k x-3= kx-y 2 -3k -0由弦长为2和=对可彳导：dH_L = Jr2 _12 =3dH _L- + 2-3k|224 =3= (1 + 3k)= 9( k +1 ), 斛佝：k =,k2 13, c 4l:y-2=-x-3=4x-3y-6=0 3-22x y3 =10=4&y =4当斜率不存在时，l : x = 3,联立万程：(

21、9;'x = 3二弦长为2,符合题意 综上所述：l的方程为4x 3y 6=0和x=3(3)思路一：(代数方法)由B,H坐标可求出 BH的方程：3x + y3 = 0,其线段上一点P(m,n )设 N(x,y )则中点 M，由M ,N在圆C上可得(设圆C的半径为(x-32 +(y -2)2 =r2r )：'m +x号缶+y,则存在M , N即方程组有解。方程组中的方程为两-3 I + y -2 I =r2A 2；V 21222222个圆(x3) +(y2，=r ,(x+m6) +(y + n4) =4r ,只需两个圆有公共点即可。所 以 r W,3(6m)2 + 12(4nW3r

22、 ,再 由 3m+ n 3 喋 理 后 可2 . 32 0oo，1r得：r <10m -12m +10 <9r对任意m= 10,1恒成立。可得：<5 ,再有线段BH与9r2 >102232圆C无公共点，即(m - 3) +(n - 2) > r在m =0”恒成立。解得：r< 一 ,从而51 0 . 232口 八十<r2 < ,即可求得r的范围95解：；B(1,0 )H(0,3):. BH 的方程为：x+2=1= 3x+y3 = 03设P(m,n )'P在线段BH上3m+ n -3 =0且 mw 0,1 n = 3 -3mm x n y m

23、 x 3 - 3m y设 N (x, y ). M 为 PN 中点 , N , 1= i, I2,22 ,222设圆C:(x3) +(y -2) =r2,由M,N在圆上可得：2222(x -3 ) +(y -2)=r'fm+x : /33m + y J2，整理后可得：-3 + -2 =r2A 2112)222x -3y -2 ,：二r<：9，若M ,N存在，则方程组有解22o7x m -6 1， y -3m -1= 4r即圆心为C (3,2),半径为r的圆与圆心为C'(6-m,3m+1 )半径为2r的圆有公共点根据两圆位置关系可知：2rrMCC M2r+r,即：r <

24、;y13 -(6 -m )T + 2 -(3m +1<3r 在 m 10,1 恒成立2222，r <(m -3 ) +(3m -1 ) <9r ,整理后可得：, 22 22r Ml0m 72m 10_ 2_2_9r -10m -12m 100,1恒成立r 三 10m -12m 10 .min9r2 - 10m2 -12m 10max325城设 f m =10m2 -12m 10 =10i m - ？5322 . 32r Wg="wr2w%,解得.104/10- r 35f m I。29r2 -10若M为PN中点，则P在圆C外 二(m -32 +(n -2 )>

25、 r2 即(m -3( +(3m +1 )2 > r2 在 m£ b,1恒成立2232,r ： 10m -12m 10= min 54 J0r :二5思路二(数形Z合)：通过图像可观察出,若对于线段BH上任意一点P均满足题意,则需达到综上所述：rM0,"0 35两个条件：第一，P在圆外,可先利用坐标判定出 ZCBH ,N CHB为锐角，从而C在BH上的投影位于线段BH上，所以r M dc_BH ;第二，P到圆上点的最小距离(记为dmin )应小于或等于1 .1 .一一 .到圆上点最大距离(记为dmax )的一半，即dmin <-dmax，否则，若dmin >

26、;-dmax当圆上取其他2 2一、，、一1一八，M,N点时，PM > dmin, PN Edmax,由不等式的传递性可知：PM >- PN , M不可能为2PN中点。因为P在圆外，所以可知在圆上任意一点中，dmin = PC r, dmax = PC + r,代r < dC BH入可得PC M 3r恒成立。综上即可求出r的范围3r > PCmax解：B(1,0 )H (0,3),C(3,2 ),若对任意P点，已知条件均满足则P在C外T T T TBH = -1,3 ,BC = 2,2 ,HB = 1,-3 ,HC = 3,-1T TT T,BH BC 0, HB HC

27、0: /CBH，/CHB 为锐角二C在BH上的投影位于线段 BH上r ： dC -BH3M3+2 -33212 1依题意，若对任意P点,均存在M , N使得PM =一 PN2设P到圆上点的最小距离为dmin ,到圆上点最大距离为dmax ,则有:1d dminmax21否则若d>-d. PM之d PN <d min2 max* | 1 IVI | min , 1 1N max1”二PM >-PN，导致不存在满足条件的M , N2'/P 在圆外 二 dm. = PCr,dmax= PC十r,代入可得：PC -r <-(|PC +r A |PC 43rmax由图可知

28、： V CH |/32 + (2-3；2 =10BC =做3-1 ) +(2-0)222 2C CH > BC即PCmaxC CH =V10上,匕吓 而'4710 ' 综上所述：r e -,35三、历年好题精选221、设圆C:x +y =3，直线l :x +3y 6=0，点P（x0,y0尸l ,若存在点Qw C，使得/OPQ =60 （O为坐标原点），则x0的取值范围是（）A.2,16B. 0-IL 5C. I0,llD.2、已知 A =(x,y )|x(x-1 )<y(1-y ),B = (x,y )|x2 +y2 <a，若 A= B，则实数 a 的取值范围

29、是（A. 0, .23、（2015,广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆A. 2x - y + V5 = 0 或 2x - y - 5 = 0B.C. 12,:22x +y =5相切的直线的方程是（）2x + y + 75 = 0 或 2x+ y-T5 = 0C. 2xy +5 = 0 或 2x y5=0D.2x+y+5 = 0 或 2x + y 5 = 04、（2015,江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1,0）为圆心且与直线mx-y - 2m -1 = 0（mw R ）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 5、（2014,湖北）直线l1:y = x+ a和l2：y=x+b将单位圆

30、C : x2 + y2 =1分成长度相等的四段弧，则a2 + b2 =226、(2014,全国卷)直线li和12是圆x +y =2的两条切线，若li与12的交点为(1,3%则li与12夹 角的正切值等于7、(2016,吉安一中高三期中)已知圆 C:x2 + y2-(62m)x4my+5m2 -6m = 0，直线 1 经过点(1,1)，若对任意的实数 m,直线1被圆C截得的弦长都是定值，则直线1的方程为 2228、已知M(a,b)(ab#0促圆O：x +y =r内一点，现有以M为中点的弦所在直线m 和直线 1 : ax+by =r2,贝U()A. ml/ 1，且1与圆相交B. m_L1，且1与圆

31、相交C. m/ 1 ,且1与圆相离D. m_L1，且1与圆相离229、(2015,广东)已知过原点的动直线1与圆C1 : x + y 6x + 5= 0相交于不同的两点 A,B求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L:y = k(x-4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值 范围；若不存在，说明理由.习题答案：1、答案:B解析:依题意可知 OP 2 = x2 + y2,由P(x0,y0产1可得：y0 = 6一x0。3丁 /OPQ在PQ与圆相切时取得最大值若OP变长，则NOPQ的最大值将变小二当/OPQ =60,且PQ与圆相切时，PO =

32、 2若存在点Q w C，使得NOPQ =601则PO <26 -'xo322,xy° 三 4，解得：Xo W2、答案：C解析：A: x2 -x - y2 y 三0=22'x - I y'y- w1即 A 为以21 2 一2径的圆A的内部，集合B为圆心在原点，半径为 市 的圆B的内部。则A三B表示圆A在圆B的内部，在坐标系中作出圆 A,数形结合即可得到圆B半径的范围为 J2,y)，则a的范围为2,二3、答案：D解析：由平行关系可设切线方程为2x + y + c = 0,则d = % = J5 ,解得：c = ±5，所以切线的方程为 2x + y

33、+5=0 或 2x + y5=04、答案：(x -if + y2 =2解析:方法一：mx y 2m1 =0= (x 2 )m (y+1 )= 0可知动直线过定点(2,1),所以可算出圆心与定点的距离为2，所以半径最大的圆即为以该定点为切点的圆，所以r = 、"2 ,圆2 o万程为：x -1 y2 =2一 如-m -1|(m+19厂_2m_ 广一,一,、一万法一：由相切可知r = LJ-=/1 + < V2，所以半径最大的圆方程为 ,m2 1m2 1.m2 1(x-1 2 +y2 =25、答案：2解析：由直线方程可知|" 12，若将单位圆分成相等的四段弧，则弦端点与圆心所成的角为一，所2、22%以doj1 =do42 =一，所