广东省佛山市2016届高三上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析

1、2015-2016学年广东省佛山市高三(上)期末数学试卷(文科)一、本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1 .若复数z满足zi= - 1 - i ,则在复平面内，z所对应的点在()A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2 .已知 U=R ,函数y=ln (1- x)的定义域为 M,集合N=x|0 v x V 2,则 MA (?U N )=()A . ( - " 0 b .(0, 1) c. 1 , 2) D , 2 , +8)3 .在等差数列a n中，a1 =3 , a10=3a 3,则a n的前12项和S1 2=

2、()A . 120 B , 132 C , 144 D . 1684 .曲线C ： y=xlnx 在点 M (e, e)处的切线方程为()A . y=x - e B , y=x+e C , y=2x - e D , y=2x+ek - y<105 .设变量x, y满足1 0<x+y<20,则2x+3y的最大值为()1My415A . 20 B . 35 C . 45 D . 55八一.八，y。兀人工，、一i , 一皿6 .已知f ( x) =sin ( 2x+ 4)的图象向右平移彳另个单位后得到的函数g ( x)的 -L L-nTTJI图象，则函数g ( x)的图象关于点(=

3、，0)中心对称“是 丁”的()66A ,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7 .已知函数 f ( x) =xln ( e2x+1 ) x2+1 , f ( a) =2 ,则 f ( a)的值为()A . 1 B . 0 C . - 1 D . - 2C .2V10冗8 .已知 sin Q+cos 9=-'-,贝U tan ( 9+-)=()的条件是(A 7 B, 2 C , m 受9 .若如图的框图所给的程序运行结果为S=20 ,那么判断框中应填入的关于kA . k=9 B , k<8 C , k< 8 D , k> 810 .某一简

4、单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是(A . 13 兀 B . 16 兀 C. 25 兀 D . 27 兀2211 .已知Fi , F2分别是双曲线C：三-三=1 ( a> 0, b> 0)的左右两个焦点，/ b2若在双曲线C上存在点P使/F PF2=90 °,且满足2/ PF1F2= / PF2F1 ,那么双曲线C的离心率为()A . F+1 B . 2 C . £d.当12 ,若函数f ( x) =2e xln ( x+m ) +ex - 2存在正的零点，则实数m的取值范围 ( )A . ( 8,五)B .(加，+ oo) C. (- oo,

5、e)D , (e, +8)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. ,_ , , 7 13 .从某班5位老师中随机选两位老师值班，有女老师被选中的概率为左，则 在这5为老师中，女老师有 人.14 .在 4ABC 中，A、B、C 的对边 分别是 a, b, c,且 bcosB 是 acosC , ccosA 的等差中项，则角B=.15 .抛物线C : y 2=4x上到直线l ： y=x距离为的点的个数为.16 .在等腰直角 ABC 中，/ ABC=90 °, AB=BC=2 , M、N为AC边上两个动 点，且满足|MN|= 屈,则西j?帘的取值范围是.三、解答题：本大题共5小

6、题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤.17 .已知数列a n的前n项和为Sn ,且满足an=2S n- 1 ( nCN* )(D求证：数列a n为等比数列；(n)若 bn= ( 2n+1 ) an,求b n的前 n 项和 Tn.18 .某射击爱好者想提高自己的射击水平，制订了了一个训练计划，为了了解 训练效果，执行训练计划前射击了 10发子弹(每发满分为10.9环)，计算出成 绩中位数为9.65环，总成绩为95.1环，成绩标准差为1.09环，执行训练计划 后也射击了 10发子弹，射击成绩茎叶图如图所示.(I )请计算该射击爱好者执行训练计划后射击成绩的中位数、总成绩与标准 差

7、；(n)如果仅从已知的前后两次射击的数据分析，你认为训练计划对该爱好者 射击水平的提高有无帮助？为什么？1.8.9 一10.880 3 5 7 8g4 S19 .如图，三棱柱 ABC - A1B1C1中，侧面AA 1C1C，侧面 ABB 1A1, AC=AA 1 =近AB , / AA 1C1=60 °. AB ± AA 1 , H 为棱 CC 1 的中点，D 为 BB的中点.(I )求证：A 1D，平面 AB 1H ；(n) AB=正，求三棱柱ABC - A1B1C1的体积.20 .已知椭圆r的中心在原点，焦距为2 ,且长轴长是短轴长的加倍.(I)求椭圆r的标准方程；(n

8、)设P( 2, 0),过椭圆r左焦点F的直线1交r于a、B两点，若对满足 条件的任意直线1,不等式百？同忘入(入CR)恒成立，求入的最小值.221 ,设常数 a > 0 ,函数 f(x) =9 - alnx1+x、,3 ,，、一(I)当a=一时，求f ( x)的最小值；4(n)求证：f ( x)有唯一的极值点.请考生在第22、23、24题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题几 份，作答时请写清楚题号.【选修4-1:几何证明选讲】22 .如图，四 边形ABCD 是圆内接四边形，BA、CD的 延长线交于点P,且AB=AD BP=2BC(I )求证：PD=2AB ;(n)当 BC=2 ,

9、 PC=5 时.求 AB 的长.B选修4-4 :坐标系与参数方程选讲23 .已知直线1的方程为y=x+4 ,圆C的参数方程为1x=2cos 白y=2+2sin B。为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴.建立极坐标系.(I)求直线l与圆C的交点的极坐标；(n)若P为圆C上的动点.求P到直线1的距离d的最大值.选 修 4-5 ： 不 等 式 选 讲24 .己知函数 f ( x) =|x 2|+a , g ( x) =|x+4 ,其中 a C R .(I)解不等式 f(x) vg(x) +a；(n)任意xCR, f(x) +g (x) > a2恒成立，求a的取值范围.2015-2016学年

10、广东省佛山市高三(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1 .若复数z满足zi= - 1 - i ,则在复平面内，z所对应的点在()A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义.【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：,复数z满足zi= - 1 - i,-i ?i ?z= - i ( - 1 - i),化为 z= - 1+i .z在复平面内所对应的点的坐标是(-1, 1),在第二象限，故选：B .2 .已知 U=R ,函数

11、y=ln (1- x)的定义域为 M,集合N=x|0 v x V 2,则 MA(?U N )=()A . ( - " 0 b .(0, 1) c. 1 , 2) D , 2 , +8)【考点】交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法.【分析】根据对数函数的图象和性质求出集合M,求出N的补集，找出M与N 补集的交集即可.【解答】解：- 1 - x > 0 , .XV 1 ,M=x|x v 1= ( - 001)又集合 N=x|0 v x v 2, Cu N= ( -0 U 2 , +0°), . M A ( CuN) = ( - oo, 0.故选：A .3 .在等差

12、数列a n中，a1=3 , a10=3a3,则a n的前12项和S12=()A . 120 B , 132 C , 144 D . 168【考点】等差数列的前n项和.【分析】由等差数列的通项公式求出公差，由此能求出a n的前12项和S12 .【解答】解：二在等差数列a n中，a1=3 , a10=3a 3,3+9d=3( 3+2d ),解得d=2 ,2 x 11a n的前 12 项 和 S12=12 X3H5x 2=168 .故选：D .4 .曲线C ： y=xlnx 在点M (e, e)处的切线方程为()A . y=x - e B . y=x+e C . y=2x - e D . y=2x+

13、e【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程.【解 答】解：y=xlnx 的导函数为y =lnx+1 ,令x=e ,求得斜率k=lne+1=2 ,即有在点M (e, e)处的切线方程为y - e=2 ( x - e),即为 y=2x - e.故选：C. - y4105 .设变量x, y满足，Mx+yC20,则2x+3y的最大值为()A . 20 B . 35 C . 45 D . 55【考点】简单线性规划.【分析】先画出满足约束条件 的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函 数z=2x+3y 取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标

14、函数即可求出答案.l y<10【解答】解：满足约束条件,04x+y< 2。的平面区域如下图所示：令z=2x+3y 可得y=则£为直线2x+3y - z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线l : 2x+3y=0把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，,尸 15 .口_由，可得x=5 , y=15 ,此时z=55x+y=20故选D6 .已知f ( x) =sin ( 2x+ 4)的图象向右平移个单位后得到的函数g图象，则函数g ( x)的图象关于点(工，0)中心对称“是三"的66A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点

15、】函数y=Asin ( wx+ g的图象变换.充分条件、必要条件的定义，得出结论.【解答】解函数g ( x ):f ( x) =sin ( 2x+ 4)的图象向右平移工个单位后得到12n冗，一一=sin2 ( x ) +(j)=sin ( 2x+ ()的图象，126(x)的再根据根据函数g ( x)的图象关于点(IT,，一,0)中心对称，可得sin (2?61T、 巾一 )6=0,九.(f)+ -=k 兀,即(j)=k但当"版-7T了时九 一 兀-,k CZ ,可得2?工+。6 n 一、一 不能推出 = = ,故充分性不成立.6C./ CC n,冗、c=0 , sin ( 2?+()

16、 ) =0 ,66【分析】利用y=Asin ( wx+()的图象变换规律可得g ( x)的解析式，7T函数g(x)的图象关于点(二,0)中心对称”，故必要性成立，07 .已知函数 f ( x) =xln ( e2x+1 ) - x2+1 , f ( a) =2 ,则 f ( - a)的值为(A . 1 B . 0 C . - 1 D . - 2【考点】奇函数.【分析】构造函数g (x) =xln ( e2x+1)- x2,可判g(x)为奇函数，易得答x2, (e2x+1 ) - x2案.【解答】解：构造函数g ( x) =xln ( e2x+1 )则 g ( x) +g(x) = - xln

17、( e 2x+1 ) - x2+xln衣+12x 2=xlne 2x - 2x 2=0 ,故函数g(x)为奇函数，又 f ( a) =g (a) +1=2 , g ( a) =1 , ，f ( a) =g ( a) +1= g ( a) +1=0 故选：Bc 一-210冗8 . 已知 sin 9+cos 0=-"-,贝U tan ( 0+) 54“ 1A- 2【考点】两角和与差的正切函数.【分析】由题意和sin 2 e+cos 2 0=1联立解得sin 0和cos 0,进而可得tan 0,再由 两角和的正切公式可得.【解答】解：sin 0+cos普'sin"0&qu

18、ot;1联立解得.A_VioCOS 廿二10一，A汨 sin s:时，cos 9 照10sin 8 F 升o L时，但e 一4tantancos 8sin 9sin 6cos g1 JT)1o-=3 tan ( 0+ )4.W.g-=_ 2.1 - t an 8'1+tan0 门l-tan9 =2故选：D的条件是（9 .若如图的框图所给的程序运行结果为S=20 ,那么判断框中应填入的关于kA . k=9 B【考点】【分析】【解答】.k<8 C . k v 8 D . k> 8程序框图.运行程序框图，确定条件.解：如图：K1098s11120可知，10, 9时条件成立，8时不

19、成立.故选D.视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（10.某一简单几何体的A . 13 % B . 16 % C . 25 % D . 27 兀【考点】由视图求面积、体积.【分析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4,高为3.则长方体 的对角线为外接球的直径.【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4,高为3, 长 方体底面边长为2近.则长方体外接球半径为r,则2r= 7(2V2)2+(2V2)2+3 2=5 . ' .长方体外接球的表面积 故选C .S=4 兀2=25 兀.若在双曲线C八 JF2分别是双曲线C： -a=1 (a>0, b>0)的左右

20、两个焦点，上存在点P使/ F1PF2=90 °,且满足2/ PF1F2=/ PF2F1 ,那么双曲线C的离心率为(A .& +1 B. 2 C. gD.当【考点】双曲线的简单性质.【分析】由已知得/ FPF2=90 °, /PFF2=30 |PF1尸娟|F1F2|=2x ,由此能求出双曲线C【解答】解：如图，-Z F1PF2=90 °,且满足F1PF2=90 °, /PF1F2=30 °, /PF2F1=60 °, 设 |PF2|二x,则 |PF1|=/, |F1F2|=2x ,2a二x一工，2c=2x ,/ PF2F1=60

21、 °,设 |PF2|二x ,则 的离心率.2/ PF1F2=/ PF2F1 ,，双曲线C的离心率e=故选：A .逐一12 .若函数 f ( x) =2e xln ( x+m )( )A . ( 8,正)B .(/，+ oo)【考点】函数零点的判定定理.+ex - 2存在正的零点，则实数m的取值范围C . ( 8 , e) D . ( e, +8)【分析】令g ( x) =ln+ex - 2存在正的零点，(x+m ) , h ( x )=e可得 g ( 0) v h ( 0),工，利用函数f ( x) =2e xin2结合m<0时，显然成立，(x+m )即可求出实数m的取值范围.

22、【解答】解：由 f ( x) =2e xin( x+m ) +ex- 2=0 ,可得 In ( x+m )=y -eK 2令 g ( x) =ln ( x+m ) , h ( x)=,贝Uez 2函数f ( x) =2exin( x+m ) +ex - 2存在正的零点， /. inm < 工，2. 0 < m v 法，m4时，显然成立，m夫,故选：A .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13 .从某班5位老师中随机选两位老师值班，有女老师被选中的概率为古，则在这5为老师中，女老师有 2 人.【考点】古典概型及其概率计算公式.【分析】设在这5为老师中，女老师有x人，则

23、男老师有5- x人，由对立事件 概率计算公式能求出结果.【解答】解：从某班5位老师中随机选两位老师值班，有女老师被选中的概率设在这5为老师中，女老师有x人，则男老师有5- x人，-2 525 C C为 案 答 故14 .在 4ABC 中，A、B、C 的对边 分别是 a, b, c,且 bcosB 是 acosC , ccosA 的等差中项，则角B= §.【考点】等差数列的性质.【分析】由题意可得2bcosB=acosC+ccosA ,结合正弦定理和三角函数公式可得 cosB=:，由三角形内角的范围可得B值.【解答】解：bcosB是acosC , ccosA 的等差中项， 2bcosB

24、=acosC+ccosA ,由正弦定理可得 2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA即 2sinBcosB=sin ( A+C ) =sinB ,又sinB >0,上式两边同除以sinB可得cosB=, 2 0 v B v 兀,.1T B=3故答案为：315 .抛物线C :y 2=4x上到直线l : y=x距离为的点的个数为【考点】抛物线的简单性质.【分析】设点的坐标为（X,y)，：=：",结合抛物线的方程，即可得V2 2出结论.【解答】解：设点的坐标为（X,V），则 |x - y|二i ,2当2-y= ±1,4y2 - 4y M=0 ,1. y=2 或

25、 y=4 i2 班,抛物线C: y2=4x上到直线l :y=x距离为的点的个数为3 .故答案为：3.16 .在等腰直角 ABC 中，/ ABC=90 °, AB=BC=2 , M、N为AC边上两个动点，且满足|MN|=则函?而的取值范围是22【考点】平面向量数量积的运算.【分析】建立平面直角坐标系，设出M , N坐标，利用坐标表示出所而,【解答】解：以等腰直角角形的直角边为坐标轴，建立平面直角坐标系，如图，则B(0, 0),直线AC的方程为x+y=2 .设 M ( a, 2 a),贝U 0 <a<1 , N ( a+1 , 1 - a) , .而=(a, 2 a),新=(

26、a+1 , 1a).BN? BK=a ( a+1)+ ( 2 - a) ( 1 - a) =2a 2 - 2a+2=2 ( a - ,) 2 + 5 巴Ei,0QW1, .当 a时，箴 ?正取得最小值*当a=0或1时，丽 ？面;取得最大值2.3故答案为亍，2.三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤.17 .已知数列a n的前n项和为Sn ,且满足an=2S n- 1 ( nCN* )(D求证：数列a n为等比数列；(n)若 bn= ( 2n+1 ) an,求b n的前 n 项和 Tn.【考点】数列的求和；数列递推式.【分析】(I) an=2S n - 1

27、 ( n CN ),推导出ai=1 , an= - an - 1,由此能证明a n 是首项为1,公比为-1的等比数列.(n)由 %二(-1)仇-< 得 bn= ( 2n+1 ) an= ( 2n+1 )(-1)r1 ,由此利用错位相减法能求出b n的前n项和.【解答】证明：(I) .,数列a n的前n项和为Sn,且满足an=2S n - 1 ( n CN ), 当 n=1 时，a二2S 1 - 1=2a 1 - 1,解得 a1二1 ,当 n 或时，由 an=2S n - 1 ,，得 an- 1=2S n- 1 - 1 ,，-，得：an - an 1 =2a n,整理，得 an= - an

28、 - 1 , a n是首项为1 ,公比为-1的等比数列.解：(n ) : a n是首项为1 ,公比为-1的等比数列，二 ： I'" - bn= ( 2n+1 ) an= ( 2n+1 ) ( T ) n 1,b n的前n项和：Tn=3? ( - 1) 0+5? ( - 1) +7? ( - 1) 2-Tn=3? ( - 1 ) +5? ( - 1) 2+7? ( - 1)+3-，得：2T n=3+2 ? ( - 1 ) + ( - 1 ) ? ( T ) n(2n+1 ) ?(-+ ( 2n+1 ) ?(1 ) + , ,+ (1) nJ-1) n，T) n(2n+1 )=3

29、+2 X(2n 1)1)=(2n+2 )(-1) n 1+2 ,1 T n= ( n+1 ) ? ( T ) n 1+1 .18 .某射击爱好者想提高自己的射击水平，制订了了一个训练计划，为了了解 训练效果，执行训练计划前射击了 10发子弹(每发满分为10.9环)，计算出成绩中位数为9.65环，总成绩为95.1环，成绩标准差为1.09环，执行训练计划 后也射击了 10发子弹，射击成绩茎叶图如图所示.(I )请计算该射击爱好者执行训练计划后射击成绩的中位数、总成绩与标准 差；(n)如果仅从已知的前后两次射击的数据分析，你认为训练计划对该爱好者 射击水平的提高有无帮助？为什么？7.8.9.10.S

30、80 3 54 8【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图.【分析】(I)由茎叶图能求出该射击爱好者执行训练计划后射击成绩的中位数、 总成绩与标准差.(n)中位数与总成绩训练前都比训练后大，此训练计划对该爱好者射击水平 的提高没有帮助.【解答】解：(I)由茎叶图知：该射击爱好者执行训练计划后射击成绩的中位数为：-蓝，=9.6 (环)，bi总成绩为：7.8+8.8+9.0+9.5+9.7+9.8+9.8+10.4+10.8=94.9(环)，方差为：s2=.；'m："；LoJ,.64 ,标准差为：S=而.64=0.8 .(n) 9.65 > 9.6 , 95.1

31、 > 94.9 ,中位数与总成绩训练前都比训练后大，而这是衡量一个人平均射击水平的主要 指标，可见训练前的平均水平还比训练后的平均水平要好，故此训练计划对该爱好者射击水平的提高没有帮助.19 .如图，三棱柱 ABC - A1B1C1中，侧面AA 1C1C，侧面 ABB 1A1, AC=AA 1 =近AB , Z AA 1C1=60 °. AB ± AA 1 , H 为棱 CC 1 的中点，D 为 BB 1 的 中点.(I )求证：A1D，平面 AB 1H ；(n) AB=我，求三棱柱ABC - A1B1C1的体积.【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积.

32、【分析】(1 )由 ACC 1是等边三角形可得AH，CC 1 ,所以AH，AA i ,利用面 面垂直的性质得AH，平面ABB 1A1 ,故AH，A iD ,在矩形ABB iA i中，由 AA 1=72AB 可证 A1DXAB 1 ,从而 AD,平面 AB 1H .(2)连结BH ,则可证明AA 1，平面ABH ,由分割补形可知棱柱的体积等于 Sab h?AA 1 .【解答】证明：(1)连结 AC 1, AC=AA 1, / ACC 1=/ AA 小1=60。，/. ACC 1 是等边三角形，AH ± CC1 , CC 1 / AA 1 , AH ± AA 1 ,又二侧面 A

33、A 1C1C，侧面 ABB 1A1,侧面 AA ££侧面 ABB 1A1二AA 1, AH ?平 面 AA 1C1C ,AH，平 面 ABB 1A1 , 1 A1D?平面 ABB 1A1 ,.AH ± A 1 D ,边形ABB 1A 1是平行四边形AB ± AA 1 , .四边形ABB 1Al是矩形，.L _- AA 1 = %AB , .l. B1 D= -AB ,"亚业一返2 . 2，又 / DB 1A1= / B1A1A=90DA 1B1=Z A1AB1 = Z ABDB 1A1A B1A1A , ./ AB 1D+ / A1DB 1=/

34、 DA 1B1 + Z A1DB 1=90 °, A1DXAB 1,又. AH ?平面 AB 1H , AB 1?平面 AB 1H , AH AAB 1=A ,AD,平面 AB 1H .(2) 连结 BH , - AH ± AA 1 , AB ± AA 1 , AH ?平面 ABH , AB ?平面 ABH ,AB AAH=A ,AA 1，平面 ABH , AH，平 面 AB 1BA 1 , AB ?平面 ABB 1A 1 , AH ± AB . AB= 加，AC=AA 1=2 , AH=花.V 棱柱ABC-A EtC =Szabh?AA 1 = VXV

35、2x = J111z20 .已知椭圆r的中心在原点，焦距为2 ,且长轴长是短轴长的加倍.（D 求椭圆r的标准方程；（n）设P（ 2, 0）,过椭圆r左焦点F的直线1交r于a、B两点，若对满足 条件的任意直线1,不等式有？宜WX入CR）恒成立，求入的最小值.【考点】椭圆的简单性质.【分析】（I）由已知得a= 5/2!:, c=1 ,由此能求出椭圆的标准方程.(n)设 A (xi, yi), B (x2, y2),位谣=(xi - 2) ( x2 - 2) +yiy2,当直线 .17l垂直于x轴时，位五=,当直线l不垂直于x轴时，设直线l： y=k ( x+i ), 与椭圆联立，得(i+2k 2)

36、 x2+4k 2x+2k 2 - 2=0 ,由 此利用韦达定理、向 量的数量 积能求出入的最小值.【解答】解：(I) .椭圆r的中心在原点，焦距为2,且长轴长是短轴长的近 倍， 1- a= & H c=1 , a =b +c ,2.椭圆的标准方程为号+¥？二.PA-P£= ( xi - 2 , yi) ?(X2- 2, y2)(n)设 A ( xi , yi) , B (x2, y2), (x2) (x2 2) +y i y2,当直线l垂直于x轴时，Xi=x 2= - 1 ,yi= - y2,且 ¥此时，五=(-3, yi),证=(-3,包亚=(-3)2-

37、 yj=¥，当直线l不垂直于x轴时，设直线l :y=k ( x+1 ),2 12'yi),消去 y,整理得(i+2k 2) x2+4k2x+2k- 41?2k2-2l+2k2l+2k2 . i= ：. iV , I ! 4! L - I >' i 1 1 1 :：: ! !=(i+k2) * 工2+(k * - 2)(工i + x 2)+升 k，22=(i+k2) ? 2k = 2 (k2 2)? 4k +4+k 2 l+2kl+2k2_ nV+2"2k2+ln "一n=2 - 2(2k+l)J 2，要使不等式血正W入(入CR)恒成立， .1

38、Y只需 入汽PA*PE)max=., -入的最小值为.22i.设常数 a > 0 ,函数 f(x) =-alnx1+x(I)当a= 时，求f( x)的最小值；4(n)求证：f ( x)有唯一的极值点.【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(D 求 出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间， 从而求出函数的最小值；(n)令g(x) =x3+(2 - a) x2- 2ax - a,要证f ( x)有唯一的极值点，即证 g(x)在(0, +叼 有唯一的变号零点，求出g (x)的导数，得到g(x2)?g (a+1 ) < 0,从而证出结论.【解

39、答】解：(I) f (x)的定义域是(0, +00), f.(x)=2t!i£h!4x3 + 5x£ 3 (x 1)(4x2+9x+3)4x(1 fx) 2x > 0,4x(l+x)2令 f'(x) >0,解得：x > 1 ,令 f'(x) V0,解得：0vxv1, ，f (x)在(0, 1)递减，在(1, +8)递增，x=1时，f ( x)最小，最小值是f ( 1)=工；二(n)由(I)得：f' (x)乂 " (2 _ a)/-2丑k(1+x) 2令 g ( x) =x3+( 2 - a) x2 - 2ax - a,要证

40、f ( x)有唯一的极值点，即证g ( x)在(0, +°°)有唯一的变号零点， 而 g ' ( x) =3x 2+ ( 4 - 2a) x - 2a ,令 g'(x) =0,解得：x2 = "*,其中 x1<0, x2>0, < g ' ( 0) = - 2a< 0,且 g'(x)的图象开口 向上，故在区间(0, x2)上，g'(x) <0, g(x)递减，g ( x2) v g ( 0) = - a< 0 ,在区间(x2, +8)上，g ' (x) > 0, g ( x)递增，. g(x)=x 2( x - a)+2x ( x - a) - a,g(a+1) =( a+1 )2+a+2 > 0,g(x2)?g( a+1 )< 0 ,即 g ( x)在(0, +8)上有唯一零点，即f ( x)在(0 , +°°)上有唯一的极值点且是极小值点.请考生在第22、23、24题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题几 份，作答时请写清楚题号.【选修4-1:几何证明选讲】22 .如图，四 边形ABCD 是圆内接四边形，BA、CD的 延长线交于点P,且AB=AD BP=2BC(I )求证：PD=2A