121任意角的三角函数1

1、1.2.1任意角的三角函数 在初中我们是如何定义锐角三角函数的？在初中我们是如何定义锐角三角函数的？sincostancacbba 复习回顾复习回顾:OabMPcOabMP yx 1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？三角函数？新课引入新课引入:22:OMaMPbOPrab其中 yx1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？cosO MaO PrsinM PbO PrtanM PbO MabaP,Mor rb ba a如果改变点在终边上的位置，如果改变点在终边上的位置，这这三个比值会改变三个比值会改变吗？吗？

2、PMOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMPPMOPOPMPOOMMOPMMOyxP(a,b)诱思探究诱思探究:能否通过能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？取特殊值将表达式简化呢？OPMPsinOPOMcosOMMPtan，则若1 rOPbaab以原点为圆心以原点为圆心, ,以单位以单位长度为半径的圆叫做长度为半径的圆叫做单位圆单位圆. .22,( , ),0:P x yrxyr设 是一个任意角是其终边上任意一点 记那么(1),sin,sin;yyrr叫做 的正弦 记作即(2),cos,cos;xxrr叫做 的余弦 记作即(3),tan,tan0 ;yyxxx叫做 的正切 记作即2

3、.2.任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义( , ),:P x y任意角 的终边与单位圆交于点特地时别(1)sin; y(2)cos; x(3)tan0 ;yxxyx任意角的三角函数定义域任意角的三角函数定义域 因为，正弦，余弦，正切都是以因为，正弦，余弦，正切都是以角为角为自变量自变量，以，以点的坐标与该点到原点的距离点的坐标与该点到原点的距离或坐标与坐标的比值或坐标与坐标的比值为函数值的函数，所为函数值的函数，所以以,我们将他们称为我们将他们称为三角函数三角函数. 所以所以,使比值有意义的角使比值有意义的角的集合就是三角函数的定义域的集合就是三角函数的定义域. 因为任意因为任意角角 的

4、三角函数值仅与的三角函数值仅与有有关，而与点关，而与点P在角的终边上的位置无关在角的终边上的位置无关.三角函三角函数数定义定义定义域定义域y=siny=siny/rRy=cosy=cosx/rRy=tany=tany/x| kk+ /2, kZ三角函数的值在各象限的符号：三角函数的值在各象限的符号：+_+sinyrcosxrtan0yxx三角函数的值由三角函数的值由终边所在象限的坐标的值确定终边所在象限的坐标的值确定三角函数的几何表示：三角函数的几何表示：1.规定了方向（即规定了起点和终点）的线段称规定了方向（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段；为有向线段；2.规定了正方向的直线称为有向直

5、线；规定了正方向的直线称为有向直线；3.有向线段与有向直线平行时，它们的方向相同有向线段与有向直线平行时，它们的方向相同或相反，或相反，思考：思考：能否用能否用有向线段有向线段来表示角来表示角的三个三角函的三个三角函 数值？数值？ 分别把它的长度添上正号或负号，这样分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数叫做有向线段的数量；所得的数叫做有向线段的数量； 记为记为AB。yxo 的终边MPATyxo 的终边MPAT 设设是一个任意角，它的终边与单位圆交于是一个任意角，它的终边与单位圆交于点点P(x,y),由于由于r=1,则则sinx=y,cosx=x,tanx=y/x.过过P作作X轴的垂线轴的垂

6、线,交交X轴于轴于M(x,0)MP=y=sin,OM=x=cos,MP=y=sin,OM=x=cos,三角函数线三角函数线MPMP是是的的正弦线正弦线OMOM是是的的余弦线余弦线思考思考: :如何用有向线段表示如何用有向线段表示的正切的正切? ?ATAT是正切线是正切线 三角函数三角函数三角函数线三角函数线正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数正切线正切线ATyx xO-1PMA(1,0)Tsin =MPcos =OMtan =AT注意：注意：三角三角函数线是函数线是有有向线段向线段！正弦线正弦线MP余弦线余弦线OM数形结合数形结合: :用有向线段表示三角函数值用有向线段表示三角函数

7、值例例1 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：在直角坐标系中，作解：在直角坐标系中，作 AOB，易知，易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 )23,21(所以所以 53sin3251cos325tan33思考：若把角思考：若把角 改为改为 呢呢? 356771sin,62 ， 73cos,6273tan63xyoAB35例题讲解例题讲解: :135122222yxr135sinry1312cosrx125tanxy于是于是，练习练习1 已知角已知角 的终边过点的终边过点 ， 求求 的三个三角函数值的三个三角函数值.5 ,12P解：由已知可得：

8、解：由已知可得：巩固练习巩固练习: (1)已知角已知角的终边过点的终边过点P(2a，- -3a), 求求的正的正弦、余弦、正切弦、余弦、正切. (2)已知角已知角600的终边上有一点的终边上有一点P(- -4，a)，求，求a的值的值.例题例题2： (1)试作出角试作出角的终边，使的终边，使sin=0 . 5； (2)根据根据(1)求出所有满足求出所有满足sin=0 . 5的角的角的集合的集合. (3)根据根据(1)、(2)求出所有满足求出所有满足sin0 . 5的角的角的集的集合合. (4)根据根据(1)、(2)求出所有满足求出所有满足sin0 . 5的角的角的集的集合合. 例例3 求证：当且

9、仅当下列不等式组成立时，角求证：当且仅当下列不等式组成立时，角 为为第三象限角第三象限角.0tan 0sin 证明：证明： 因为式因为式 成立成立,所以所以 角的终边可能位于第三角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；轴的非正半轴上；0sin 又因为式又因为式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于的终边可能位于第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因为式都成立，所以角因为式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限的终边只能位于第三象限.于是角于是角 为第三象限角为第三象限角.反过来请同学们自己证明反过来请同学们自己证明.巩固练习巩固练习:(1)若角若角是第二象限角，且是第二象限角，且则则 是第是第 象限角；象限角；(2)若若是第二象限角，则函数值是第二象限角，则函数值sin(cos) cos(sin)是是号号.|cos|cos,22 21. 内容总结：内容总结： 三角函数的概念三角函数的概念