一个整数的约数个数与约数和的计算方法

1、 一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少? 【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5； 360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为03,6为02,c为01)因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×

2、;(2+1)×(1+1)=24 我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w； 我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w； 最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5) 于是,我们计算出值:13×15×

3、6=1170 所以,360所有约数的和为1170 评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论： I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身).约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积如：21000=23×3×53×7,所以21000所有约数的和为(1+2+22

4、+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=748802.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?【分析与解】 设这个数为A,有A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数 【分析与解】 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数

5、)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身) 如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数 由以上分析知,我们所求的为360630之间有多少个完全平方数? 18×18=324,19×19=361,25×25=

6、625,26×26=676,所以在360630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,6254.今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆? 【分析与解】 显然堆数是42的约数,是112的约数,是70的约数.即为42,112,70的公约数,有(42,112,70)=14所以,最多可以分成14堆5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工

7、人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人? 【分析与解】 为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即6,10,15=30所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人6.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚? 【分析与解】 设在

8、x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍 即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数 有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30 即在30分钟后,3人又可以相聚7.3条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长千米,中圈跑道长千米,外圈跑道长千米.甲每小时跑3千米,乙每小时跑4千米,丙每小时

9、跑5千米.问他们同时出发,几小时后,3人第一次同时回到出发点? 【分析与解】 甲跑完一圈需小时,乙跑一圈需小时,丙跑一圈需则他们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为,的倍数,即它们的公倍数而.所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.8.甲数和乙数的最大公约数是6

10、最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？ 【分析与解】 有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90=540，则乙数为540÷18=309.A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少? 【分析与解】 方法一:由题意知A可以写成3×52×a，B可以写成3×52×6,其中a、b为整数且只含质因子3、5. 即A:31+x×52+y,B=31+m×52+n,其中x、Y、m、n均

11、为自然数(可以为0) 由A有12个约数,所以(1+x)+1× (2+y)+1=(2+x)×(3+y)=12，所以.对应A为31+2×52=675,31+1×52+1=1125,或31+0×52+4=46875； 由B有10个约数,所以(1+m)+1×(2+n)+l=(2+m)×(3+n):10,所以.对应B为31+0×52+2=1875只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875那么A,B两数的和为675+1875=2550方法二:由题中条件知A、B中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,

12、先假设它出现了N次3,则约数有:(2+1)×(N+1)：3×(N+1)个 12与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A，即A=33×52=675 那么B的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M次5,则有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×54=1875那么A,B两数的和为675+1875=2550 10.有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少? 【分析与解】 设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2

13、 它们的和为:a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297 它们的最大公约数与最小公倍数的和为： a,b+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693， 且(q1,q2)=1. 综合、知(a,b)是297,693的公约数,而(297，693)=99,所以(a,b)可以是99,33,1l,9,3,1 :(a,b)=99,则(q1+q2)=3,(qlq2+1)=7,即qlq2=6=2×3,无满足条件的ql,q2； :(a,b)=33,则(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即q1q2=20=22×5,则ql=5

14、,q2=4时满足,a=(a,b)q1=33×5=165,b=(a,b)q2=33×4=132,则a-b=165-132=33； :(a,b)=11,则(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即qq2=62=2×31,无满足条件的q1,q2； 一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的q1q2所以,这个两个自然数的差为33 11.两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数共有多少组? 【分析与解】 设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2 它们的和为:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2

15、=(a,b)(ql+q2)=60 它们的最大公约数与最小公倍数的和为： a,b+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60， 且(q1,q2)=1 联立、有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1 即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记a=kb(k为非零整数)， 有,即确定，则k确定，则kb即a确定 60的约数有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这11个，b可以等于2，3，4，5，6，1012，15，20，30这10个数，除了60，因为如果6=60，则(k+1)=1，而

16、k为非零整数 对应的a、b有10组可能的值，即这样的自然数有10组 进一步，列出有(a,b)为(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20),(30,30) 评注:如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系12.3个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少? 【分析与解】 若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半； 若三个连续的自然数中只存在一个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数的乘积 则当a,a+1,a+2中有2

17、个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828×2， 当a,a+1,a+2中有1个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828 对9828分解质因数:9828=2×2×3×3×3×7×13,我们注意,13是其最大的质因数,验证不存在3个连续的自然数的积为9828则这三个自然数的积只能是9828×2,此时这三个数中存在两个偶数,有9828×2=2×2×2×3×3×3×7×13 13×2=26,有26,27,28三个数的积为9828

18、15;2,所以这三个连续的自然数为26,27,28,其中有两个偶数,满足题意 所以,这三个数的和为26+27+28=81 评注:我们知道两个连续的自然数互质,而两个互质的数的公倍数等于它们的积,即0,b=a×b 记这3个连续的自然数为a,a+1,a+2 有a,a+1,a+2=a,a+1,a+1,a+2=a,a+1,a+1,a+2=a×(a+1)，(a+1)×(a+2)=(a+1)×a,a+2 因为a,a+2同奇同偶， 当a,a+2均是偶数时,a,a+2的最大公约数为2,则它们的最小公倍数为； 当a,a+2均是奇数时,a,a+2互质,则它们的最小公倍数为a

19、×(a+2) 所以(a+1)×a,a+2=. 即a,a+1,a+2为a(a+1)(a+2)或若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积13.甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少? 【分析与解】 对90分解质因数:90=2×3×3×5. 因为5126,所以5甲,即甲中不含因数5,于是乙必含因数5 因为2105,所以2乙,即乙中不含因数2,于是甲必含2×2 因为910

20、5,所以9乙,即乙最多含有一个因数3 :当乙只含一个因数3时,乙=3×5=15,由甲,乙=90=2×32×5,则甲=2×32=18； :当乙不含因数3时,乙=5,由甲,乙=90=2×32×5,则甲=2×32=18，综上所需,甲为18 评注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值如a=2×33×52×7,b=23×32×5×7×11,则A、B的最小公倍数含有质因子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a、b中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个,3个,2个,1