第十二章数的开方

1、第十二章数的开方一、知识点回顾：1如果一个数的 等于，那么这个数就叫做的平方根（或二次方根）。正数有两个平方根，它们互为 数，用符号表示为 ，其中 叫做的算术平方根，用符号记作 。0的平方根是 ； 没有平方根，也没有算术平方根。平方根和算术平方根等于它本身的数是 。2如果一个数的 等于，那么这个数就叫做的立方根（或三次方根），用符号记作 ，根指数为 。任何数都有 个立方根，且立方根的符号与它本身符号相同。 数有一个正的立方根，负数有一个 的立方根， 的立方根是0。立方根等于它本身的数是 。3求一个数的平方根或立方根的运算叫做 运算，其中求一个数的平方根的运算叫做 运算；求一个数的立方根的运算叫

2、做 运算。4无限不循环小数叫做 ；实数包括 数和 数。与数轴上的点一一对应的数是 。所有的 数都可以用分数表示。5常见无理数的表现形式有两种：一种是含型，另一种是带根号型。但带根号的数不一定是无理数，只有那些 的数才是无理数。【附】比较实数大小的常用方法：（1）数轴法（数轴上的任意两个点，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大）； （2）绝对值法（两个负数，绝对值大的反而小）；（3）估算法（将无理数转化为近似的有理数后，再进行比较）； （4）平方法（对于两个正数，则）； （5）作差法（若0，则）；（6）作商法（对于两个正数，若1，则）二、易错点纠正：1无视根号的存在 例：的算术平方根是4

3、纠正：16的算术平方根是4,即=4 ，而4的算术平方根是2 的算术平方根是22 错用运算律 例： 纠正：根号具有双重功能，除了表示开方运算之外，它还具有括号的功能，应先算括号内的，再进行其他的运算。因此，正确的解法是3 对无理数认识不足而造成误解 例1：带根号的数都是无理数 纠正：虽然许多带根号的数是无理数，但并非所有带根号的数都是无理数。如，带有根号，但=3,而3是有理数。 例2:无理数都是带根号的数 纠正：许多无理数带有根号，但还有不少无理数不带根号。就是不带根号的无理数。4 估算时缩放偏大，导致结果不精确 例：估计在哪两个整数之间？错解：479 , ，即23. 46纠正：这种估算方法是不

4、合理的，虽然这里对的估算没有错，但估算时存在的误差，到时误差就扩大为2倍。为了缩小估算的误差，应该先将化为（化简过程）。正确的估计过程为：252836 , 56 故在5和6这两个整数之间。三、考点分析：1开方运算 例：的算术平方根是（ ） A.2 B.±2 C. D.± 分析：求一个数的方根是实数问题中最常见的一种开方运算，关键在于正确理解方根的意义，切忌忽视符号。2 大小估计 例：估计20的算术平方根的大小在整数 和 之间。分析：无理数的估算问题，是将被开方数进行适当放大或缩小，缩放时要注意估算范围的要求，不可盲目放大或缩小。3与开方有关的求值 例：当时，代数式的值是 。

5、分析：用数值代替字母时，根号照样保留，最后进行开方运算。4实数的概念理解 例：的绝对值是 。分析：实数的绝对值、相反数和倒数的意义与有理数的绝对值、相反数和倒数的意义相同，只是带有根号的实数如果能够开方的要先开方，再进行求解。5 实数的运算 例1：下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 分析：在有关实数的计算中，要注意理解符号的意义及计算的顺序。例2:下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 分析：在进行实数的加减法运算时，只有当被开方数相同时，两个带根号的无理数才可视为同类项进行合并。6 实数在数轴上的表示 例：如图，数轴上A、B两点表示的数分别是，点B关于点A的对称点

6、为点C，则点C所表示的数为（ ）A. B. C. D.分析：实数与数轴上的点一一对应，在解决实数与数轴关系的问题时，要运用数形结合思想，认真观察，利用数轴的直观性，细心计算，准确确定数的大小。四、补充专题练习：（一）关于（0）的非负性（即0；常与的非负性结合出题）1.求使下列各式有意义的未知数的取值范围：（1） （ ） （2） （ ） （3） （ ）（4） （ ） （5） （ ） （6） （ ）2.已知，求的值。3.已知，求的倒数。4. 已知，求代数式的算术平方根。5.实数m满足，求m的值。6.实数满足，求的平方根。实数满足，求的平方根。（2） 关于的化简：1.当1时，化简。 2.化简3.若，

7、求的值。 4.求的值。5.若，求的取值范围。已知，求的值。五、综合练习：1.在给出的实数中，有理数 是 ，无理数是 ，负无理数是 。2.已知01，那么在中，最大的数是 。3.实数4-的整数部分是 ，小数部分是 。4. 比较大小： 1.42； ； 15 155.若a、b是两个连续整数，且满足ab，则 。6.已知，其中是整数，且01，求的值。7.已知实数满足，求的值。8.计算：9.如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心， 将 过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处， 则点A表示的数是 (   )(A) 1.4 (B

8、) (C) (D) 10.借助圆规和直尺，在数轴上作出表示实数 的点。11. 试作一个矩形，使得宽为，长为2。12.数轴上，点A数-1,点O为原点，以OA为边长作正方形OABC，再以点A为圆 心，AC长为半径画弧，交数轴于点P，则点P对应的实数是 或 。13.如图，每个小正方形的边长均为1，把阴影部分剪下来，用剪 下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是 。14.青蛙在如图8×8的正方形（每个小正方形的边长为1） 网格的格点（小正方形的顶点）上跳跃，青蛙每次所跳 的最远距离为，青蛙从点A开始连续跳六次正好跳回 到点A，则所构成的封闭图形的面积的最大值是(