3.1.1　方程的根与函数的零点

1、.第三章 函数的应用3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点【选题明细表】知识点、方法题号求函数的零点及零点区间1,2,3,4,5,11判断函数零点个数6,7,10函数零点的应用8,9,12,131.函数y=4x-2的零点是DA2 B-2,0 C12,0 D12解析:令y=4x-2=0,得x=12.所以函数y=4x-2的零点为12.应选D.2.函数fx=lgx-1的零点是CA1 B0,2 C2 D2,0解析:由fx=0,即lgx-1=0,解得x=2.应选C.3.以下图象表示的函数中没有零点的是A解析:因为B,C,D项函数的图象均与x轴有交点,所以函数均有零点,A项的图象与x轴没有交点

2、,故函数没有零点,应选A.4.函数fx=x+log2x的零点所在区间为AA14,12B18,14C0,18D12,1解析:因为f14=4+log214<0,f12=2+log212>0,所以f14·f12<0,故函数fx=x+log2x的零点所在区间为14,12.应选A.5.函数fx=ax2+2ax+ca0的一个零点为-3,那么它的另一个零点是BA-1 B1 C-2 D2解析:由根与系数的关系得方程fx=0的两根x1,x2满足x1+x2=-2aa=-2,所以方程的另一个根为1.应选B.6.函数fx=x2-2,x0,2x-6+lnx,x>0的零点个数是 .

3、60;解析:当x0时,令x2-2=0,解得x=-2正根舍去,所以在-,0上有一个零点.当x>0时,fx在0,+上是增函数.又因为f2=-2+ln 2<0,f3=ln 3>0,f2·f3<0,所以fx在2,3内有一个零点.综上,函数fx的零点个数为2.答案:27.方程|x2-2x|=a2+1a>0的解的个数是 . 解析:数形结合法因为a>0,所以a2+1>1.而y=|x2-2x|的图象如下图,所以y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.即方程|x2-2x|=a2+1a>0有两个解.答案:28.关于x的方程mx2

4、+2m+3x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m的取值范围.解:令fx=mx2+2m+3x+2m+14.依题意得m>0,f(4)<0或m<0,f(4)>0,即m>0,26m+38<0或m<0,26m+38>0,解得-1913<m<0.即m的取值范围是-1913,0.9.函数fx=log2x,x>0,3x,x0,直线y=a与函数fx的图象恒有两个不同的交点,那么a的取值范围是AA0,1 B0,1 C0,1 D-,1解析:作出函数fx的图象如下图,假设直线y=a与函数fx的图象恒有两个不同的交点,那么0<a

5、1.10.函数fx=2x+x2-3的零点个数是CA0B1C2D3解析:函数fx=2x+x2-3的零点个数,即函数y=2x与函数y=3-x2的图象的交点的个数.数形结合可得,函数y=2x与函数y=3-x2交点个数 为2.11.假设函数fx的图象在R上连续不断,且满足f0<0,f1>0,f2> 0,那么以下说法正确的选项是CAfx在区间0,1上一定有零点,在区间1,2上一定没有零点Bfx在区间0,1上一定没有零点,在区间1,2上一定有零点Cfx在区间0,1上一定有零点,在区间1,2上可能有零点Dfx在区间0,1上可能有零点,在区间1,2上一定有零点解析:根据零点存在性定理,由于f

6、0·f1<0,f1·f2>0,所以fx在区间0,1上一定有零点,在区间1,2上无法确定,可能有,也可能没有,如下图.应选C.12.函数fx是定义在R上的奇函数,当x0时,fx=x2-2x.1求fx的解析式,并画出fx的图象;2设gx=fx-k,利用图象讨论:当实数k为何值时,函数gx有一个零点?两个零点?三个零点?解:1当x0时,fx=x2-2x.设x<0,可得-x>0,那么f-x=-x2-2-x=x2+2x,因为函数fx为奇函数,那么fx=-f-x=-x2-2x,所以fx=x2-2x,x0,-x2-2x,x<0,函数的图象如下图.2由gx=f

7、x-k=0,可得fx=k,结合函数的图象可知,当k<-1或k>1时,y=k与y=fx的图象有一个交点,即 gx=fx-k有一个零点;当k=-1或k=1时,y=k与y=fx的图象有两个交点,即gx=fx-k有两个零点;当-1<k<1时,y=k与y=fx的图象有三个交点,即gx=fx-k有三个零点.13.1fx=23x-1+m是奇函数,求常数m的值;2画出函数y=|3x-1|的图象,并利用图象答复:k为何值时,方程|3x-1|=k无解?有一解?有两解?解:1因为3x-10,所以x0,故函数定义域为x|x0,因为fx是奇函数,有f-1=-f1,得23-1-1+m=-231-1-m,解得m=1.2y=|3x-1|的图象如下图,当k<0时,直线y=k与函数y=|