3.1.5　空间向量运算的坐标表示

1、.3.1.5空间向量运算的坐标表示【选题明细表】 知识点、方法题号空间向量的坐标运算1,8平行问题3,10垂直问题2,6,11夹角与间隔 4,5,13综合问题7,9,12【根底稳固】1.a=1,1,0,b=0,1,1,c=1,0,1,p=a-b,q=a+2b-c,那么p·q等于AA-1 B1C0 D-2解析:因为p=a-b=1,0,-1,q=a+2b-c=0,3,1,所以p·q=1×0+0×3+-1×1=-1.应选A.2.AB=1,2,-1,CD=x,-2,3,假设ABCD,那么x等于BA1 B7 C-1 D-4解析:由题,x-4-3=0,解得

2、x=7,应选B.3.向量a=x,2,4,b=3,y,12,且ab,那么x+y的值为CA1B6C7D15解析:因为ab,所以存在实数使得b=a,所以3=x,y=2,12=4,解得=3,x=1,y=6.所以x+y=7.应选C.4.假设a=2,-2,-2,b=2,0,4,那么sin<a,b>等于AA21015 B6985 C48585 D1解析:由题意得,cos<a,b>=a·b|a|·|b|=4+0-823·25=-1515,所以sin<a,b>=1-(-1515) 2=21015.应选A.5.假设ABC的顶点分别为A1,

3、-1,5,B5,-1,2,C1,3,-1,那么AC边上的中线BM的长为CA3 B23C25 D5解析:因为ABC的顶点分别为A1,-1,5,B5,-1,2,C1,3,-1,所以AC的中点M1,1,2,所以AC边上的中线BM的长为|BM|=(5-1)2+(-1-1)2+(2-2)2=25.应选C.6.空间向量a=1,n,2,b=-2,1,2,假设2a-b与b垂直,那么|a|=解析:由题意得2a-b=4,2n-1,2,因为2a-b与b垂直,所以2a-b·b=0,所以-8+2n-1+4=0,解得n=52,所以a=1,52,2,所以|a|=12+22+(52) 2=352.答案:3

4、527.2019·山东新市期末点Ax,5-x,2x-1,B1,x+2,2-x,那么|AB|的最小值为. 解析:因为点Ax,5-x,2x-1,B1,x+2,2-x,所以|AB|=(x-1)2+(3-2x)2+(3x-3)2=14x2-32x+19=14(x-87) 2+57357.所以当x=87时,|AB|取最小值357.答案:3578.A1,0,0,B0,1,0,C0,0,2.是否存在实数,使得AC=AB+BC成立?假设存在,求出,的值;假设不存在,说明理由.解:存在.依题意AB=-1,1,0,AC=-1,0,2,BC=0,-1,2.假设存在实数,使得AC=AB+

5、BC成立,那么有-1,0,2=-1,1,0+0,-1,2=-,-,2,所以-=-1,-=0,2=2,解得=1,=1.故存在=1,使得AC=AB+BC成立.【才能提升】9.a=2,-1,2,b=2,2,1,那么以a,b为邻边的平行四边形的面积为AA65 B652 C4D8解析:因为cos<a,b>=a·b|a|b|=2×2+(-1)×2+2×13×3=49,所以sin<a,b>=659,所以面积S=|a|b| sin<a,b>=65,应选A.10.点A1,0,0,B0,1,0,C0,0,2,那么满足DBAC,D

6、CAB的点D的坐标为. 解析:设点D的坐标为x,y,z,由易得DB=-x,1-y,-z,AC=-1,0,2,DC=-x,-y,2-z,AB=-1,1,0,因为DBAC,DCAB,所以存在实数,使得DB=AC,DC=AB,所以(-x,1-y,-z)=(-1,0,2),(-x,-y,2-z)=(-1,1,0),所以x=,y=1,z=-2且x=,y=-,2-z=0,所以解得=-1,x=-1,y=1,z=2,即D-1,1,2.答案:-1,1,211.假设AB=-4,6,-1,AC=4,3,-2,|a|=1,且aAB,aAC,那么a=解析:设a=x,y,z,由题意有a·AB=0,a&

7、#183;AC=0,|a|=1,代入坐标可解得x=313,y=413,z=1213或x=-313,y=-413,z=-1213.答案:313,413,1213或-313,-413,-121312.在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,DAB=60°,对角线AC与BD相交于点O,PO平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°.1求四棱锥P-ABCD的体积;2假设E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.解:1因为四边形ABCD是边长为2的菱形,且DAB=60°,所以OA=OC=3,OB=OD=1,S菱形ABCD=12×2×2

8、3=23.在RtPOB中,PBO=60°,所以PO=OB·tan 60°=3.所以VPABCD=13S菱形ABCD·PO=13×23×3=2.2如图,以O为原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,那么B1,0,0,C0,3,0,D-1,0,0,A0,-3,0,P0,0,3.所以E12,0,32,所以DE=32,0,32,PA=0,-3,-3.所以DE·PA=0+0+32×-3=-32,|DE|=3,|PA|=6.所以cos<DE,PA>=DE·PA|DE|PA|=-323×6=-24.因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为24.【探究创新】13.将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,假设点P满足BP=12BA-12BC+BD,那么|BP|的值为AA32B2C10-24D94解析:设BD中点为O,连接OA,OC,那么OC平面ABD,以O为原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,OC所在直线为z轴建立空间直角坐标系,那么A22,0,0,B0,22,0,C0,0,22,D0,-22,0,所