3.1.2　用二分法求方程的近似解

1、.3.1.2 用二分法求方程的近似解【选题明细表】知识点、方法题号二分法的概念1,2,3二分法的步骤4,5,6二分法求方程的近似解或函数零点7,8,9,10,111.用二分法求如下图函数fx的零点时,不可能求出的零点是CAx1Bx2Cx3Dx4解析:观察图象可知,零点x3的附近两边的函数值都为负值,所以零点x3不能用二分法求.2.用二分法研究函数fx=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算得f 0<0,f0.5>0,那么其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为DA0,0.5,f0.125B0.5,1,f0.875C0.5,1,f0.75D0,0.5,f0.25解析:因为

2、fx=x5+8x3-1,f0<0,f0.5>0,所以f0f0.5<0,所以其中一个零点所在的区间为0,0.5,第二次应计算的函数值应为f0.25,应选D.3.设fx=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x1,2内近似解的过程中得f1<0,f1.5>0,f1.25<0,f2>0,那么方程的根应落在区间BA1,1.25B1.25,1.5C1.5,2D不能确定解析:因为f1.5>0,f1.25<0,所以在区间1.25,1.5内函数fx =3x+3x-8存在一个零点,由此可得方程3x+3x-8=0的根落在区间1.25,1.5内.4.图

3、象连续不断的函数y=fx在区间0,0.1上有唯一零点,假如用“二分法求这个零点准确度0.01的近似值,那么应将区间0,0.1等分的次数至少为BA3B4C5D6解析:由0.12n<0.01,得2n>10,所以n的最小值为4.应选B.5.用二分法求方程x2-5=0在区间2,3内的近似解,经过次二分后准确度能到达0.01. 解析:因为初始区间的长度为1,准确度要求是0.01,所以12n0.01,化为2n100,解得n7.答案:76.在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全一样的假币质量小一点,如今只有一台天平,那么应用二分法的思想,最多称次就可以发现这枚假币. 解

4、析:将26枚金币平均分成两份,放在天平上,那么假币一定在质量小的那13枚金币里面;从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,放在天平上,假设天平平衡,那么假币一定是拿出的那一枚;假设不平衡,那么假币一定在质量小的那6枚金币里面;将这6枚金币平均分成两份,放在天平上,那么假币一定在质量小的那3枚金币里面;从这3枚金币中任拿出2枚放在天平上,假设天平平衡,那么剩下的那一枚即是假币;假设不平衡,那么质量小的那一枚即是假币.综上可知,最多称4次就可以发现这枚假币.答案:47.利用计算器,求方程2x+x=4的近似解准确度0.1.解:方程2x+x=4可以化为2x=4-x.分别画函数y=

5、2x与y=4-x的图象,如下图,由图象可以知道,方程2x+x=4的解在区间1,2内,那么对于区间1,2,利用二分法就可以求得它的近似解.设fx=2x+x-4,利用计算器计算得,f1<0,f2>0x11,2,f1<0,f1.5>0x11,1.5, f1.25<0,f1.5>0x11.25,1.5,f1.375<0,f1.5>0x11.375,1.5,f1.437 5>0,f1.375<0x11.375,1.437 5.由于|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1,所以原方程的近似解可取为1.437 5.8.借助计算器

6、或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解.准确度0.1解:原方程即2x+3x-7=0,令fx=2x+3x-7,用计算器或计算机作出函数fx=2x+3x-7的对应值表如下:x012345678fx=2x+3x-7-6-2310214075142273观察表可知f1·f2<0,说明这个函数在区间1,2内有零点x0.取区间1,2的中点x1=1.5,用计算器算得f1.50.33.因为f1·f1.5<0,所以x01,1.5.再取区间1,1.5的中点x2=1.25,用计算器算得f1.25-0.87.因为f1.25·f1.5<0,所以x01.25,1.5.

7、同理可得,x01.375,1.5,x01.375,1.437 5.由于|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1,所以原方程的近似解可取为1.437 5.9.利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:x-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20y=2x0.329 90.378 90.435 30.50.574 30.659 80.757 90.870 61y=x22.561.961.4410.640.360.160.040假设方程2x=x2有一个根位于区间a,a+0.4a在表格中第一栏里的数据中取值,那么a的值为 .  解析:令fx=2x-x

8、2,由表中的数据可得f-1<0,f-0.6>0;f-0.8<0,f-0.4>0,所以根在区间-1,-0.6与-0.8,-0.4内,所以a=-1或a=-0.8.答案:-1或-0.810.函数fx=13x3-x2+1.1证明方程fx=0在区间0,2内有实数解;2使用二分法,取区间的中点三次,指出方程fx=0x0,2的实数解x0在哪个较小的区间内.1证明:因为f0=1>0,f2=-13<0,所以f0·f2<0,由函数的零点存在性定理可得方程fx=0在区间0,2内有实数解.2解:取x1=120+2=1,得f1=13>0,由此可得f1·

9、f2<0,下一个有解区间为1,2.再取x2=121+2=32,得f32=-18<0,所以f1·f32<0,下一个有解区间为1,32.再取x3=121+32=54,得f54=17192>0,所以f54·f32<0,下一个有解区间为54,32.综上所述,得所求的实数解x0在区间54,32内.11.下面是函数fx在区间1,2上的一些点的函数值.x11.251.3751.406 51.4381.51.611.8752fx-2-0.9840.260-0.0520.1650.625-0.3154.356由此可判断:方程fx=0在1,2上解的个数AA至少5个 B5个C至多5个 D4个解析:由所给的函数值的表格可以看出,在x=1.25与x=1.375这两个数字对应的函数值的符号不同,即f1.25f1.375&