3.1.4　空间向量的正交分解及其坐标表示

1、.3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示【选题明细表】 知识点、方法题号空间向量根本定理的概念1,2用基底表示向量4,6,9,10,11空间向量的坐标表示3,5,7,8【根底稳固】1.有以下三个命题:三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,那么a,b,c共面;假设两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,那么a,b共线;假设a,b是两个不共线向量,而c=a+b,R且0,那么a,b,c能构成空间的一个基底.其中真命题的个数是CA0B1C2D3解析:正确,中,由平面向量的根本定理可知a,b,c共面,故为假命题.选C.2.设p:a,b,c是三个非零向量;q:a,b,c为空间的

2、一个基底,那么p是q的BA充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析:当非零向量a,b,c不共面时,a,b,c可以当基底,否那么不能当基底.当a,b,c为基底时,一定有a,b,c为非零向量.因此p/ q,qp.应选B.3.在空间直角坐标系Oxyz中,以下说法正确的选项是DA向量AB的坐标与点B的坐标一样B向量AB的坐标与点A的坐标一样C向量AB与向量OB的坐标一样D向量AB与向量OB-OA的坐标一样解析:因为A点不一定为坐标原点,所以A不正确;同理B,C都不正确;由于AB=OB-OA,所以D正确.4.2019·武汉检测长方体ABCD-A1B1C1D1中,AC

3、与BD的交点为M.设A1B1=a,A1D1=b,A1A=c,那么以下向量中与B1M相等的向量是AA-12a+12b+cB12a+12b+cC12a-12b+cD-12a-12b+c解析:B1M=B1B+BM=A1A+12BD=A1A+12BA+BC=A1A+12B1A1+A1D1=c+12-a+b=-12a+12b+c.应选A.5.三棱锥P-ABC中,ABC为直角,PB平面ABC,AB=BC=PB=1,M为PC的中点,N为AC的中点,以BA,BC,BP为基底,那么MN的坐标为解析:MN=BN-BM=12BA+BC-12BP+BC=12BA-12BP,即MN=12,0,-12.答案:12,0,-

4、126.四面体ABCD,DA=a,DB=b,DC=c,点M在棱DA上,DM=3MA,N为BC中点,那么MN=. 解析:如下图,连接DN,那么MN=MD+DN=-34DA+12DB+DC=-34a+12b+12c.答案:-34a+12b+12c7.ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体,E,F分别为BB1和DC的中点,建立如下图的空间直角坐标系,试写出DB1,DE,DF的坐标.解:设x,y,z轴的单位向量分别为e1,e2,e3,其方向与各轴的正方向一样,那么DB1=DA+AB+BB1=2e1+2e2+2e3,所以DB1=2,2,2.因为DE=DA+AB+BE=2e1+2e2+e3

5、,所以DE=2,2,1.因为DF=e2,所以DF=0,1,0.【才能提升】8.以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,那么平面AA1B1B对角线交点的坐标为BA0,12,12B12,0,12C12,12,0D12,12,12解析:如图,由题意知平面AA1B1B对角线交点的横坐标为AB的中点值,竖坐标为AA1的中点值,纵坐标为0,所以平面AA1B1B对角线交点的坐标为12,0,12.应选B.9.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC和BD的交点,假设AB=a,AD=b,AA1=c,那么B1M=.

6、60;解析:B1M=AM-AB1=12AB+AD-AB+AA1=-12AB+12AD-AA1=-12a+12b-c.答案:-12a+12b-c10.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且BE=13BB1,DF=23DD1.1证明:A,E,C1,F四点共面;2假设EF=xAB+yAD+zAA1,求x+y+z的值.1证明:因为AC1=AB+AD+AA1=AB+AD+13AA1+23AA1=AB+13AA1+AD+23AA1=AB+BE+AD+DF=AE+AF,所以A,E,C1,F四点共面.2解:因为EF=AF-AE=AD+DF-AB+BE=AD+23DD1-AB-13BB1=-AB+AD+13AA1,所以x=-1,y=1,z=13,所以x+y+z=13.【探究创新】11.如图,在平行六面体ABCD-ABCD中,E,F,G分别是AD,DD,DC的中点,请选择恰当的基底向量证明:1EGAC;2平面EFG平面ABC.证明:取基底AA',AB,AD,1因为EG=ED'+D'G=12AD+12AB,AC=AB+