3.4.1圆周角定理及其推论1

1、.4圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角定理及其推论1关键问答圆周角和圆心角的顶点位置有何区别？同一段弧所对的圆心角和圆周角又有什么关系？ 一条弧所对的圆周角有多少个？这些圆周角的大小有怎样的关系？1如图341，A，B，C是O上的三点，且ABC70°，那么AOC的度数是图341A35° B140° C70° D70°或140°2如图342，点A，B，C，D都在O上，AC，BD相交于点E，那么ABD与以下哪个角相等图342AACD BADB CAED DACB32019·哈尔滨如图343，O中，弦AB，CD相交于点P，A42&#

2、176;，APD77°，那么B的度数是图343A43° B35° C34° D44°命题点 1利用圆周角定理进展计算或证明热度：96%4.如图344，在O中，O为圆心，点A，B，C在圆上，假设OAAB，那么ACB的度数为图344A15° B30° C45° D60°方法点拨解决圆中与圆周角有关的问题，常找出同弧所对的圆心角，通过圆心角和圆周角的关系找到解题的途径5如图345，AOB100°，点C在O上，且点C不与点A，B重合，那么ACB的度数为图345A50° B80°或50

3、° C130° D50°或130°易错警示点C的位置固定吗？有几种不同的情况？62019·菏泽如图346，在O中，OCAB，ADC32°，那么OBA的度数是图346A64° B58° C32° D26°7.如图347，O的半径为6，点A，B，C在O上，且ACB45°，那么弦AB的长是_图347命题点 2利用圆周角定理的推论1进展计算或证明热度：96%82019·北京如图348，点A，B，C，D在O上，CAD30°，ACD50°，那么ADB_图3489.：如

4、图349，CACBCD，过A，C，D三点的O交AB于点F.图349求证：CF平分BCD.解题打破连接AD，你能得到哪些角相等？10.如图3410所示，AB是O的一条弦，ODAB，垂足为C，交O于点D，点E在O上图34101假设AOD52°，求DEB的度数；2假设OC3，OA5，求tanAEB的值方法点拨1圆心角，要求圆周角，首先要联想到圆周角定理2AEB所在的三角形不是直角三角形，那么是否可以将它转化到一个直角三角形中呢？11.如图3411，ABC的三个顶点都在O上，ABCC，点D在弧BC上运动，过点D作DEBC交直线AB于点E，连接BD.1求证：ADBE；2求证：AD2AC

5、3;AE；3当点D运动到什么位置时，DBEADE？请你利用图进展探究和证明图3411方法点拨在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角的根本性质进展两种转化：一是利用同弧或等弧所对的圆周角相等，进展角与角之间的转化；二是将圆周角相等的问题，根据“同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，转化为弦相等或线段相等的问题.12如图3412，点A，B，C在O上，ACBC，D为O中上一点，延长DA至点E，使CECD，连接BD.1求证：AEBD；2假设ACBC，求证：ADBDCD.图3412命题点 3圆周角在实际中的应用热度：70%13.如图3413所示，在小岛周围的内有暗礁，在A，B两点各建一座航标灯塔，且APB

6、，上任一点P都是有触礁危险的临界点，APB就是“危险角船要在两航标灯北侧绕过暗礁区，应怎样航行？为什么？图3413方法点拨三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；一条弧所对的角的顶点在圆外的角都小于顶点在圆上的角，一条弧所对的角的顶点在圆内的角都大于顶点在圆上的角.14.：如图3414，O1和O2相交于A，B两点，动点P在O2上，且在O1外，直线PA，PB分别交O1于点C，D，O1的弦CD的长是否随点P的运动而发生变化？假如发生变化，请你确定弦CD最长和最短时点P的位置；假如不发生变化，请你给出证明图3414解题打破在同一个圆中，判断弦的长有无变化可以判断弦所对的圆心角或圆周角有无变化，

7、只要弦所对的圆心角或圆周角不变，那么弦的长也不变.详解详析1B2A解析 ABD与ACD对着同一条弧，根据“同弧所对的圆周角相等可知ABDACD.3B4B解析 OAAB，OAOB，AOB是等边三角形，AOB60°，ACB30°.应选B.5D解析 利用同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半，求得圆周角的度数即可，注意点C可能在优弧上也可能在劣弧上，分两种情况讨论当点C在优弧上时，ACBAOB×100°50°；当点C在劣弧上时，ACB360°AOB×360°100°130°.应选D.6D解析 如图，

8、由OCAB，得，OEB90°，23.2212×32°64°，364°.在RtOBE中，OEB90°，B90°390°64°26°.应选D.76 解析 连接OA，OB，AOB2ACB2×45°90°，那么AB6 .870°解析 ，CAD30°，CADCAB30°，DBCDAC30°.ACD50°，ABD50°，ADBACB180°CABABC180°30°50°30&#

9、176;70°.9证明：连接AD.CACD，DCAD.DCFA，CADCFA.CFABFCB，CAFFADBFCB.CACB，CAFB，FADFCB.又FADFCD，FCBFCD，即CF平分BCD.10解：1ODAB，DEBAEDAOD×52°26°.2OC3，OA5，AC4.，AEBAOC，tanAEBtanAOC.11解：1证明：DEBC，ABCE.ADB，C都是所对的圆周角，ADBC.ABCC，ADBE.2证明：ADBE，BADDAE，ADBAED，即AD2AB·AE.ABCC，ABAC，AD2AC·AE.3当点D运动到弧BC的

10、中点时，DBEADE. 证明：DEBC，EDBDBC.，DBCEAD，EDBEAD.又DEBAED，DBEADE.12解析 1根据同弧所对的圆周角相等，得CBACDE，进而可得ACBECD，可证明ACEBCD，那么AEBD；2根据条件，得CEDCDE45°，那么DECD，从而证出结论证明：1在ABC中，ACBC，CABCBA.在ECD中，CECD，ECDE.CBACDE同弧所对的圆周角相等，CABE，ACBECD，ACBACDECDACD，即BCDACE.在ACE和BCD中，CECD，ACEBCD，ACBC，ACEBCD，AEBD.2ACBC，ACB90°.由1知ACBEC

11、D，ECD90°，CEDCDE45°，DECD.又ADBDADAEDE，ADBDCD.13解：船在航行的过程中，始终保持对两灯塔A，B的视角小于，即可平安绕过暗礁区理由：如下图1在外任取一点C，连接CA，CB.设CA交于点F，连接FB.AFB，AFBC，C.2在内任取一点D，连接AD并延长交于点E，连接DB，EB.E，ADBE，ADB.由12知，在航标灯A，B所在直线的北侧，在外任一点对A，B的视角都小于，在上任一点对A，B的视角都等于，在内任一点对A，B的视角都大于，因此，只有对两灯塔的视角小于的点才是平安点14解析 连接AD，AB，ADP在O1中所对的弦为AB，所以ADP为定值，P在O2中所对的弦为AB，所以P为定值再利用三角形内角与外角的关系求出CAD为定值，那么弦CD为定值，与点P的位置无关解：当点P运动时，弦CD的长保持不变证明：如图，连接AD，AB，点A，B是O1与